Brahmagupta - Brahmagupta

Brahmagupta
Nació C.  598 d.C.
Murió C.  668 d.C. (entre 59 y 60 años)
Conocido por
Carrera científica
Los campos Astronomía , matemáticas
Influenciado Prácticamente todas las matemáticas posteriores sobre todo indios y musulmanes matemáticas

Brahmagupta ( c.  598 - c.  668 d. C. ) fue un matemático y astrónomo indio . Es autor de dos trabajos tempranos sobre matemáticas y astronomía : el Brāhmasphuṭasiddhānta (BSS, " doctrina correctamente establecida de Brahma ", fechado en 628), un tratado teórico, y el Khaṇḍakhādyaka ("bocado comestible", fechado en 665), un tratado más práctico. texto.

Brahmagupta fue el primero en dar reglas para calcular con cero . Los textos compuestos por Brahmagupta estaban en verso elíptico en sánscrito , como era una práctica común en las matemáticas indias . Como no se dan pruebas, no se sabe cómo se obtuvieron los resultados de Brahmagupta.

Vida y carrera

Brahmagupta nació en 598 EC según su propia declaración. Vivió en Bhillamāla en Gurjaradesa (actual Bhinmal en Rajasthan , India) durante el reinado del gobernante de la dinastía Chavda , Vyagrahamukha . Era hijo de Jishnugupta y era hindú por religión, en particular, Shaivita . Vivió y trabajó allí durante buena parte de su vida. Prithudaka Svamin , un comentarista posterior, lo llamó Bhillamalacharya , el maestro de Bhillamala.

Bhillamala fue la capital de Gurjaradesa , el segundo reino más grande de la India occidental, que comprende el sur de Rajasthan y el norte de Gujarat en la India actual. También fue un centro de aprendizaje de matemáticas y astronomía. Brahmagupta se convirtió en astrónomo de la escuela Brahmapaksha , una de las cuatro principales escuelas de astronomía india durante este período. Estudió los cinco Siddhantas tradicionales sobre astronomía india, así como el trabajo de otros astrónomos como Aryabhata I , Latadeva, Pradyumna, Varahamihira , Simha, Srisena, Vijayanandin y Vishnuchandra.

En el año 628, a la edad de 30 años, compuso el Brāhmasphuṭasiddhānta ("tratado mejorado de Brahma") que se cree que es una versión revisada del Siddhanta recibido de la escuela de astronomía Brahmapaksha . Los estudiosos afirman que incorporó una gran originalidad en su revisión, agregando una cantidad considerable de material nuevo. El libro consta de 24 capítulos con 1008 versos en la métrica ārya . Gran parte de ella es astronomía, pero también contiene capítulos clave sobre matemáticas, que incluyen álgebra, geometría, trigonometría y algoritmos, que se cree que contienen nuevos conocimientos gracias al propio Brahmagupta.

Más tarde, Brahmagupta se mudó a Ujjaini , Avanti , que también era un importante centro de astronomía en el centro de la India. A la edad de 67 años, compuso su próxima obra conocida Khanda-khādyaka , un manual práctico de astronomía india en la categoría karana destinado a ser utilizado por los estudiantes.

Brahmagupta murió en 668 EC, y se presume que murió en Ujjain.

Obras

Brahmagupta compuso los siguientes tratados:

  • Brāhmasphuṭasiddhānta , compuesto en 628 EC.
  • Khaṇḍakhādyaka , compuesto en 665 EC.
  • Grahaṇārkajñāna , (atribuido en un manuscrito)

Recepción

Los avances matemáticos de Brahmagupta fueron llevados adelante por Bhāskara II , un descendiente lineal en Ujjain, quien describió a Brahmagupta como el ganaka-chakra-chudamani (la joya del círculo de matemáticos). Prithudaka Svamin escribió comentarios sobre sus dos obras, traduciendo versos difíciles en un lenguaje más simple y agregando ilustraciones. Lalla y Bhattotpala en los siglos VIII y IX escribieron comentarios sobre el Khanda-khadyaka . Se siguieron escribiendo comentarios adicionales durante el siglo XII.

Unas décadas después de la muerte de Brahmagupta, Sindh quedó bajo el califato árabe en 712 EC. Se enviaron expediciones a Gurjaradesa (" Al-Baylaman en Jurz ", según los historiadores árabes). El reino de Bhillamala parece haber sido aniquilado, pero Ujjain rechazó los ataques . La corte del califa Al-Mansur (754–775) recibió una embajada de Sindh, incluido un astrólogo llamado Kanaka, que trajo (posiblemente memorizado) textos astronómicos, incluidos los de Brahmagupta. Los textos de Brahmagupta fueron traducidos al árabe por Muhammad al-Fazari , un astrónomo de la corte de Al-Mansur con los nombres de Sindhind y Arakhand . Un resultado inmediato fue la difusión del sistema numérico decimal utilizado en los textos. El matemático Al-Khwarizmi (800-850 d.C.) escribió un texto llamado al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Suma y resta en aritmética india), que se tradujo al latín en el siglo XIII como Algorithmi de numero indorum. . A través de estos textos, el sistema numérico decimal y los algoritmos aritméticos de Brahmagupta se han extendido por todo el mundo. Al-Khwarizmi también escribió su propia versión de Sindhind , basándose en la versión de Al-Fazari e incorporando elementos ptolemaicos. El material astronómico indio circuló ampliamente durante siglos, incluso pasando a textos latinos medievales.

El historiador de la ciencia George Sarton llamó a Brahmagupta "uno de los más grandes científicos de su raza y el más grande de su tiempo".

Matemáticas

Álgebra

Brahmagupta dio la solución de la ecuación lineal general en el capítulo dieciocho de Brahmasphuṭasiddhānta ,

La diferencia entre rupas , cuando se invierte y se divide por la diferencia de los [coeficientes] de las incógnitas, es la incógnita en la ecuación. Las rupas se [restan en el lado] debajo de lo que se resta el cuadrado y la incógnita.

que es una solución para la ecuación bx + c = dx + e donde rupas se refiere a las constantes c y e . La solución dada es equivalente ax = e - c/b - d. Además, dio dos soluciones equivalentes a la ecuación cuadrática general

18,44. Disminuya por el [número] medio la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por cuatro veces el cuadrado y aumentada por el cuadrado del [número] medio; divide el resto por dos veces el cuadrado. [El resultado es] el [número] del medio.
18.45. Cualquiera que sea la raíz cuadrada de las rupas multiplicada por el cuadrado [y] aumentado por el cuadrado de la mitad de lo desconocido, disminuyó eso por la mitad de lo desconocido [y] divide [el resto] por su cuadrado. [El resultado es] lo desconocido.

que son, respectivamente, soluciones para la ecuación ax 2 + bx = c equivalente a,

y

Continuó resolviendo sistemas de ecuaciones indeterminadas simultáneas , indicando que la variable deseada primero debe aislarse y luego la ecuación debe dividirse por el coeficiente de la variable deseada . En particular, recomendó usar "el pulverizador" para resolver ecuaciones con múltiples incógnitas.

18,51. Resta los colores diferentes al primer color. [El resto] dividido por el primer [coeficiente de color] es la medida del primero. [Términos] de dos en dos [se] consideran [cuando se reducen a] divisores similares, [y así sucesivamente] repetidamente. Si hay muchos [colores], se [utilizará] el pulverizador.

Como el álgebra de Diofanto , el álgebra de Brahmagupta estaba sincopado. La suma se indicó colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, similar a nuestra notación pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaron mediante abreviaturas de términos apropiados. Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa , si la hay, y es posible que tanto la síncopa griega como la india se deriven de una fuente babilónica común.

Aritmética

Las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) eran conocidas por muchas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema actual se basa en el sistema de numeración hindú-árabe y apareció por primera vez en el Brāhmasphuṭasiddhānta . Brahmagupta describe la multiplicación de la siguiente manera:

El multiplicando se repite como una cuerda para el ganado, siempre que haya partes integrantes en el multiplicador y se multiplica repetidamente por ellas y los productos se suman. Es multiplicación. O el multiplicando se repite tantas veces como componentes haya en el multiplicador.

La aritmética india se conocía en la Europa medieval como modus Indorum, que significa "método de los indios". En el Brāhmasphuṭasiddhānta , se describieron cuatro métodos de multiplicación, incluido el gomūtrikā , que se dice que está cerca de los métodos actuales. Al comienzo del capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado "Cálculo", Brahmagupta detalla las operaciones sobre fracciones. Se espera que el lector conozca las operaciones aritméticas básicas en cuanto a sacar la raíz cuadrada, aunque explica cómo encontrar el cubo y la raíz cúbica de un número entero y luego da reglas que facilitan el cálculo de cuadrados y raíces cuadradas. Luego da reglas para tratar con cinco tipos de combinaciones de fracciones:a/C + B/C; a/C × B/D; a/1 + B/D; a/C + B/D × a/C = a ( d + b )/CD; ya/C - B/D × a/C = a ( d - b )/CD.

Serie

Brahmagupta luego pasa a dar la suma de los cuadrados y cubos de los primeros n enteros.

12.20. La suma de los cuadrados es que [suma] multiplicada por dos veces el [número de] pasos aumentados por uno [y] dividido por tres. La suma de los cubos es el cuadrado de esa [suma]. Montones de estos con bolas idénticas [también se pueden calcular].

Aquí Brahmagupta encontró el resultado en términos de la suma de los primeros n enteros, en lugar de en términos de n como es la práctica moderna.

Da la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales comon ( n + 1) (2 n + 1)/6y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como (n ( n + 1)/2)2
.

Cero

Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que proporciona reglas para las manipulaciones aritméticas que se aplican al cero y a los números negativos . El Brahmasphuṭasiddhānta es el primer texto conocido en tratar el cero como un número por derecho propio, en lugar de simplemente un dígito de marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo de la falta de cantidad como lo hizo Ptolomeo y los romanos . En el capítulo dieciocho de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta describe operaciones con números negativos. Primero describe la suma y la resta,

18.30. [La suma] de dos positivos es positivo, de dos negativos negativos; de un positivo y un negativo [la suma] es su diferencia; si son iguales es cero. La suma de un negativo y un cero es negativa, [eso] de un positivo y un cero positivo, [y eso] de dos ceros cero.

[...]

18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo [menos cero] positivo; cero [menos cero] es cero. Cuando se va a restar un positivo de un negativo o un negativo de un positivo, entonces se debe sumar.

Continúa describiendo la multiplicación,

18.33. El producto de un negativo y un positivo es negativo, de dos negativos positivos y de dos positivos positivos; el producto de cero y un negativo, de cero y un positivo, o de dos ceros es cero.

Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:

18.34. Un positivo dividido por un positivo o un negativo dividido por un negativo es positivo; un cero dividido por un cero es cero; un positivo dividido por un negativo es negativo; un negativo dividido por un positivo es [también] negativo.
18.35. Un negativo o un positivo dividido por cero tiene ese [cero] como divisor, o el cero dividido por un negativo o un positivo [tiene ese negativo o positivo como divisor]. El cuadrado de un negativo o de un positivo es positivo; [el cuadrado] de cero es cero. Aquello de lo cual [el cuadrado] es el cuadrado es [su] raíz cuadrada.

Aquí Brahmagupta afirma que 0/0 = 0 y en cuanto a la pregunta de a/0donde a ≠ 0 no se comprometió. Sus reglas para la aritmética sobre números negativos y cero están bastante cerca de la comprensión moderna, excepto que en las matemáticas modernas la división por cero no está definida .

Análisis diofantino

Trillizos pitagóricos

En el capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar triples pitagóricos :

12.39. La altura de una montaña multiplicada por un multiplicador dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando se divide por el multiplicador aumentado por dos es el salto de uno de los dos que hacen el mismo recorrido.

O, en otras palabras, si d =mx/x + 2, entonces un viajero que "salta" verticalmente hacia arriba una distancia d desde la cima de una montaña de altura m , y luego viaja en línea recta a una ciudad a una distancia horizontal mx de la base de la montaña, viaja la misma distancia que uno que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja a lo largo de la horizontal hasta la ciudad. Expresado geométricamente, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud a = mx y una altitud de longitud b = m + d , entonces la longitud, c , de su hipotenusa viene dada por c = m (1 + x ) - d . Y, de hecho, la manipulación algebraica elemental muestra que a 2 + b 2 = c 2 siempre que d tenga el valor indicado. Además, si m y x son racionales, también lo son d , un , b y c . Por tanto, una de Pitágoras de triple se puede obtener de un , b y c multiplicando cada uno de ellos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores .

Ecuación de Pell

Brahmagupta pasó a dar una relación de recurrencia para generar soluciones a ciertos casos de ecuaciones diofánticas de segundo grado, como Nx 2 + 1 = y 2 (llamada ecuación de Pell ) mediante el uso del algoritmo euclidiano . El algoritmo euclidiano le era conocido como el "pulverizador", ya que descompone los números en partes cada vez más pequeñas.

La naturaleza de los cuadrados:
18,64. [Ponga] dos veces la raíz cuadrada de un cuadrado dado por un multiplicador y aumentada o disminuida por un [número] arbitrario. El producto del primer [par], multiplicado por el multiplicador, con el producto del último [par], es el último calculado.
18,65. La suma de los productos Thunderbolt es la primera. El aditivo es igual al producto de los aditivos. Las dos raíces cuadradas, divididas por el aditivo o el sustractivo, son las rupas aditivas .

La clave de su solución fue la identidad,

que es una generalización de una identidad que fue descubierta por Diofanto ,

Usando su identidad y el hecho de que si ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) son soluciones de las ecuaciones x 2 - Ny 2 = k 1 y x 2 - Ny 2 = k 2 , respectivamente, entonces ( x 1 x 2 + Ny 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) es una solución de x 2 - Ny 2 = k 1 k 2 , pudo encontrar soluciones integrales a la ecuación de Pell a través de una serie de ecuaciones de la forma x 2 - Ny 2 = k i . Brahmagupta no pudo aplicar su solución de manera uniforme para todos los valores posibles de N , sino que solo pudo demostrar que si x 2 - Ny 2 = k tiene una solución entera para k = ± 1, ± 2 o ± 4, entonces x 2 - Ny 2 = 1 tiene una solución. La solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar a Bhāskara II en c.  1150 CE .

Geometría

Fórmula de Brahmagupta

Diagrama de referencia

El resultado más famoso de Brahmagupta en geometría es su fórmula para cuadriláteros cíclicos . Dadas las longitudes de los lados de cualquier cuadrilátero cíclico, Brahmagupta dio una fórmula aproximada y exacta para el área de la figura,

12.21. El área aproximada es el producto de las mitades de las sumas de los lados y lados opuestos de un triángulo y un cuadrilátero. El [área] exacta es la raíz cuadrada del producto de las mitades de las sumas de los lados disminuidas por [cada] lado del cuadrilátero.

Así, dada la longitud de p , q , r y s de un cuadrilátero cíclico, el área aproximada esp + r/2 · q + s/2mientras, dejando t =p + q + r + s/2, el área exacta es

( t - p ) ( t - q ) ( t - r ) ( t - s ) .

Aunque Brahmagupta no establece explícitamente que estos cuadriláteros sean cíclicos, de sus reglas se desprende que este es el caso. La fórmula de Heron es un caso especial de esta fórmula y se puede derivar estableciendo uno de los lados igual a cero.

triangulos

Brahmagupta dedicó una parte sustancial de su trabajo a la geometría. Un teorema da las longitudes de los dos segmentos en los que se divide la base de un triángulo por su altitud:

12.22. La base disminuyó y aumentó por la diferencia entre los cuadrados de los lados divididos por la base; cuando se divide por dos, son los segmentos verdaderos. La perpendicular [altitud] es la raíz cuadrada del cuadrado de un lado disminuido por el cuadrado de su segmento.

Así, las longitudes de los dos segmentos son 1/2( b ±c 2 - a 2/B) .

Además, da un teorema sobre triángulos racionales . Un triángulo con lados racionales a , b , cy área racional tiene la forma:

para algunos números racionales u , v y w .

Teorema de Brahmagupta

El teorema de Brahmagupta establece que AF = FD .

Brahmagupta continúa,

12.23. La raíz cuadrada de la suma de los dos productos de los lados y lados opuestos de un cuadrilátero no desigual es la diagonal. El cuadrado de la diagonal se reduce al cuadrado de la mitad de la suma de la base y la parte superior; la raíz cuadrada es la perpendicular [altitudes].

Entonces, en un cuadrilátero cíclico "no desigual" (es decir, un trapezoide isósceles ), la longitud de cada diagonal es pr + qs .

Continúa dando fórmulas para las longitudes y áreas de figuras geométricas, como el circunradio de un trapezoide isósceles y un cuadrilátero escaleno, y las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero cíclico escaleno. Esto conduce al famoso teorema de Brahmagupta ,

12.30–31. Al tomar imágenes de dos triángulos dentro de [un cuadrilátero cíclico] con lados desiguales, las dos diagonales son las dos bases. Sus dos segmentos son por separado los segmentos superior e inferior [formados] en la intersección de las diagonales. Los dos [segmentos inferiores] de las dos diagonales son dos lados de un triángulo; la base [del cuadrilátero es la base del triángulo]. Su perpendicular es la parte inferior de la perpendicular [central]; la parte superior de la perpendicular [central] es la mitad de la suma de las perpendiculares [lados] disminuidas por la [parte inferior de la perpendicular] central.

Pi

En el versículo 40, da valores de π ,

12.40. El diámetro y el cuadrado del radio [cada uno] multiplicado por 3 son [respectivamente] la circunferencia práctica y el área [de un círculo]. Los [valores] precisos son las raíces cuadradas de los cuadrados de esos dos multiplicados por diez.

Entonces Brahmagupta usa 3 como un valor "práctico" de π , y como un valor "exacto" de π , con un error menor al 1%.

Medidas y construcciones

En algunos de los versículos anteriores al versículo 40, Brahmagupta da construcciones de varias figuras con lados arbitrarios. Básicamente manipuló triángulos rectángulos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapezoides isósceles, trapezoides isósceles con tres lados iguales y un cuadrilátero cíclico escaleno.

Después de dar el valor de pi, se ocupa de la geometría de figuras planas y sólidos, como encontrar volúmenes y áreas de superficie (o espacios vacíos excavados en sólidos). Encuentra el volumen de prismas rectangulares, pirámides y el tronco de una pirámide cuadrada. Además, encuentra la profundidad media de una serie de pozos. Para el volumen del tronco de una pirámide, da el valor "pragmático" como la profundidad multiplicada por el cuadrado de la media de los bordes de las caras superior e inferior, y da el volumen "superficial" como la profundidad multiplicada por su media. zona.

Trigonometría

Mesa de seno

En el capítulo 2 de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado Longitudes verdaderas planetarias , Brahmagupta presenta una tabla de senos:

2.2–5. Los senos: Los Progenitores, gemelos; Ursa Major, gemelos, los Vedas; los dioses, fuegos, seis; sabores, dados, los dioses; la luna, cinco, el cielo, la luna; la luna, flechas, soles [...]

Aquí Brahmagupta usa nombres de objetos para representar los dígitos de los números de valor posicional, como era común con los datos numéricos en los tratados sánscritos. Progenitores representa los 14 Progenitores ("Manu") en la cosmología india o 14, "gemelos" significa 2, "Ursa Major" representa las siete estrellas de Ursa Major o 7, "Vedas" se refiere a los 4 Vedas o 4, los dados representan el número de lados del dado tradicional o 6, y así sucesivamente. Esta información se puede traducir a la lista de senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159 , 3207, 3242, 3263 y 3270, con un radio de 3270 (estos números representan para ).

Fórmula de interpolación

En 665 Brahmagupta ideó y utilizó un caso especial de la fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segundo orden para interpolar nuevos valores de la función seno a partir de otros valores ya tabulados. La fórmula da una estimación del valor de una función f en un valor a + xh de su argumento (con h > 0 y −1 ≤ x ≤ 1 ) cuando su valor ya se conoce en a - h , a y a + h .

La fórmula para la estimación es:

donde Δ es el operador de diferencia hacia adelante de primer orden , es decir

Astronomía

Brahmagupta dirigió una gran cantidad de críticas hacia el trabajo de astrónomos rivales, y su Brāhmasphuṭasiddhānta muestra uno de los primeros cismas entre los matemáticos indios. La división se centró principalmente en la aplicación de las matemáticas al mundo físico, más que en las matemáticas en sí. En el caso de Brahmagupta, los desacuerdos se derivaron en gran parte de la elección de parámetros y teorías astronómicas. Las críticas de las teorías rivales aparecen a lo largo de los primeros diez capítulos astronómicos y el undécimo capítulo está completamente dedicado a la crítica de estas teorías, aunque no aparecen críticas en los capítulos duodécimo y decimoctavo.

Algunas de las contribuciones importantes hechas por Brahmagupta en astronomía son sus métodos para calcular la posición de los cuerpos celestes en el tiempo ( efemérides ), su salida y puesta, conjunciones y el cálculo de eclipses solares y lunares .

En el capítulo siete de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado Creciente lunar , Brahmagupta refuta la idea de que la Luna está más lejos de la Tierra que el Sol. Lo hace explicando la iluminación de la Luna por el Sol.

1. Si la luna estuviera por encima del sol, ¿cómo se produciría el poder de las crecientes y menguantes, etc., a partir del cálculo de la longitud de la luna? La mitad cercana siempre sería brillante.

2. De la misma manera que la mitad vista por el sol de una olla que está a la luz del sol es brillante, y la mitad invisible es oscura, así es [la iluminación] de la luna [si está] debajo del sol.

3. El brillo aumenta en la dirección del sol. Al final de un medio mes brillante [es decir, creciente], la mitad cercana es brillante y la mitad lejana es oscura. Por lo tanto, la elevación de los cuernos [de la media luna se puede derivar] del cálculo. [...]

Explica que dado que la Luna está más cerca de la Tierra que el Sol, el grado de la parte iluminada de la Luna depende de las posiciones relativas del Sol y la Luna, y esto se puede calcular a partir del tamaño del ángulo entre los dos. cuerpos.

El trabajo adicional que explora las longitudes de los planetas, la rotación diurna, los eclipses lunares y solares, salidas y puestas, la media luna de la luna y las conjunciones de los planetas, se analizan en su tratado Khandakhadyaka .

Ver también

Citas y notas a pie de página

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos