Fórmula de Cauchy-Binet - Cauchy–Binet formula

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , la fórmula de Cauchy-Binet , que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy y Jacques Philippe Marie Binet , es una identidad para el determinante del producto de dos matrices rectangulares de formas transpuestas (de modo que el producto está bien definido y cuadrado ). Generaliza el enunciado de que el determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de sus determinantes. La fórmula es válida para matrices con las entradas de cualquier anillo conmutativo .

Declaración

Sea A una matriz m × n y B una matriz n × m . Escriba [ n ] para el conjunto {1, ...,  n }, y para el conjunto de m - combinaciones de [ n ] (es decir, subconjuntos de tamaño m ; hay de ellos). Para , escriba A _{[ m ], S} para la matriz m × m cuyas columnas son las columnas de A en los índices de S , y B _{S , [ m ]} para la matriz m × m cuyas filas son las filas de B en los índices de S . La fórmula de Cauchy-Binet luego establece ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}}}$${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {m}}}$${\ Displaystyle S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}}$

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det (A _ {[m], S}) \ det (B_ {S, [m ]}).}$

Ejemplo: Tomando m  = 2 yn  = 3, y matrices y , la fórmula de Cauchy-Binet da el determinante ${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\\ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix}}}$

${\ Displaystyle \ det (AB) = \ left | {\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \ end {matrix}} \ right | \ cdot \ left | {\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \ end {matrix }} \ right | + \ left | {\ begin {matrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \ end {matrix}} \ right | \ cdot \ left | {\ begin {matrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \ end {matrix} } \ right | + \ left | {\ begin {matrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \ end {matrix}} \ right | \ cdot \ left | {\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \ end {matrix}} \ right |.}$

De hecho , y su determinante es cuál es igual al lado derecho de la fórmula. ${\ displaystyle AB = {\ begin {pmatrix} 4 y 6 \\ 6 y 2 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle -28}$${\ Displaystyle -2 \ times -2 + -3 \ times 6 + -7 \ times 2}$

Casos especiales

Si n  <  m entonces es el conjunto vacío, y la fórmula dice que det ( AB ) = 0 (su lado derecho es una suma vacía ); de hecho, en este caso, el rango de la matriz AB m × m es como máximo  n , lo que implica que su determinante es cero. Si n = m , el caso donde A y B son matrices cuadradas, (un conjunto singleton ), entonces la suma solo involucra S  = [ n ], y la fórmula establece que det ( AB ) = det ( A ) det ( B ) . ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}}}$${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {m}} = \ {[n] \}}$

Para m  = 0, A y B son matrices vacías (pero de formas diferentes si n  > 0), al igual que su producto AB ; la suma implica un solo término S  = Ø, y la fórmula establece 1 = 1, con ambos lados dados por el determinante de la matriz 0 × 0. Para m  = 1, la suma varía sobre la colección de los n singleton diferentes tomados de [ n ], y ambos lados de la fórmula dan , el producto escalar del par de vectores representados por las matrices. El valor más pequeño de m para el que la fórmula establece una igualdad no trivial es m  = 2; se discute en el artículo sobre la identidad Binet-Cauchy . ${\ Displaystyle {\ tbinom {[n]} {1}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {1, j} B_ {j, 1}}$

En el caso n  = 3

Sean vectores tridimensionales. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}}, {\ boldsymbol {b}}, {\ boldsymbol {c}}, {\ boldsymbol {d}}, {\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}} , {\ boldsymbol {z}}, {\ boldsymbol {w}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & 1 = 1 & (m = 0) \\ [10pt] & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3} & (m = 1) \\ [10pt] & {\ begin {vmatrix} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} \\ {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {y }} \ end {vmatrix}} \\ [4pt] = {} & {\ begin {vmatrix} a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {2} & b_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {2} & y_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} a_ {3} & a_ {1} \\ b_ {3} & b_ { 1} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {3} & y_ {3} \\ x_ {1} & y_ {1} \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {2} \\ b_ {1} & b_ {2} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} \ \ [4pt] = {} & ({\ boldsymbol {a}} \ times {\ boldsymbol {b}}) \ cdot ({\ boldsymbol {x}} \ times {\ boldsymbol {y}}) & (m = 2) \\ [10pt] & {\ begin {vmatrix} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} \\ {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsym bol {y}} & {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} \\ {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} & {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \ \ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1 } \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3} \ end {vmatrix}} \\ [4pt] = {} & [{\ boldsymbol {a }} \ cdot ({\ boldsymbol {b}} \ times {\ boldsymbol {c}})] [{\ boldsymbol {x}} \ cdot ({\ boldsymbol {y}} \ times {\ boldsymbol {z}} )] & (m = 3) \\ [10pt] & {\ begin {vmatrix} {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol { y}} & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} & {\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \\ {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} & {\ boldsymbol {b}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} & {\ boldsymbol {b}} \ cdot { \ boldsymbol {w}} \\ {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} & {\ boldsymbol {c}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} & {\ boldsymbo l {c}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \\ {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {x}} & {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {y}} & {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {z}} & {\ boldsymbol {d}} \ cdot {\ boldsymbol {w}} \ end {vmatrix}} = 0 & (m = 4) \ end {alineado }}}$

En el caso de m  > 3, el lado derecho siempre es igual a 0.

Una simple prueba

La siguiente prueba simple presentada en se basa en dos hechos que se pueden probar de varias formas diferentes:

1. Para cualquier, el coeficiente de en el polinomio es la suma de los principales menores de .${\ Displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$${\ Displaystyle z ^ {nk}}$${\ Displaystyle \ det (zI_ {n} + X)}$${\ Displaystyle k \ times k}$${\ Displaystyle X}$
2. Si y es una matriz y una matriz, entonces${\ Displaystyle m \ leq n}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle m \ times n}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle n \ times m}$

${\ Displaystyle \ det (zI_ {n} + BA) = z ^ {nm} \ det (zI_ {m} + AB)}$.

Ahora, si comparamos el coeficiente de en la ecuación , el lado izquierdo dará la suma de los principales menores de mientras que el lado derecho dará el término constante de , que es simplemente , que es lo que dice la fórmula de Cauchy-Binet. , es decir ${\ Displaystyle z ^ {nm}}$${\ Displaystyle \ det (zI_ {n} + BA) = z ^ {nm} \ det (zI_ {m} + AB)}$${\ displaystyle BA}$${\ Displaystyle \ det (zI_ {m} + AB)}$${\ Displaystyle \ det (AB)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ det (AB) = \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det ((BA) _ {S, S}) = \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det (B_ {S, [m]}) \ det (A _ {[m], S}) \\ [5pt] = {} & \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det (A _ {[m], S}) \ det (B_ {S, [m]}). \ end {alineado}}}$

Prueba

Hay varios tipos de pruebas que se pueden dar para la fórmula de Cauchy-Binet. La siguiente demostración se basa únicamente en manipulaciones formales y evita el uso de cualquier interpretación particular de los determinantes, que pueden considerarse definidos por la fórmula de Leibniz . Sólo se utilizan su multilinealidad con respecto a filas y columnas, y su propiedad alterna (desapareciendo en presencia de filas o columnas iguales); en particular, la propiedad multiplicativa de los determinantes para matrices cuadradas no se utiliza, sino que se establece (el caso n  =  m ). La prueba es válida para anillos de coeficientes conmutativos arbitrarios.

La fórmula se puede probar en dos pasos:

1. utilizar el hecho de que ambos lados son multilineales (más precisamente 2 m- lineales) en las filas de A y las columnas de B , para reducir al caso de que cada fila de A y cada columna de B tiene solo una entrada distinta de cero, que es 1.
2. maneje ese caso usando las funciones [ m ] → [ n ] que mapean respectivamente los números de fila de A al número de columna de su entrada diferente de cero, y los números de columna de B al número de fila de su entrada diferente de cero.

Para el paso 1, observe que para cada fila de A o columna de B , y para cada combinación de m S , los valores de det ( AB ) y det ( A _{[ m ], S} ) det ( B _{S , [ m ]} ) de hecho dependen linealmente de la fila o columna. Para este último, esto es inmediato a partir de la propiedad multilineal del determinante; para el primero se debe además comprobar que tomar una combinación lineal para la fila de A o columna de B dejando el resto sin cambios solo afecta a la fila o columna correspondiente del producto AB , y por la misma combinación lineal. Por lo tanto, uno puede calcular ambos lados de la fórmula de Cauchy-Binet por linealidad para cada fila de A y luego también para cada columna de B , escribiendo cada una de las filas y columnas como una combinación lineal de vectores de base estándar. Las sumas múltiples resultantes son enormes, pero tienen la misma forma para ambos lados: los términos correspondientes involucran el mismo factor escalar (cada uno es un producto de las entradas de A y de B ), y estos términos solo difieren al involucrar dos expresiones diferentes en términos de matrices constantes del tipo descrito anteriormente, cuyas expresiones deben ser iguales de acuerdo con la fórmula de Cauchy-Binet. Esto logra la reducción del primer paso.

Concretamente, las sumas múltiples se pueden agrupar en dos sumas, una sobre todas las funciones f : [ m ] → [ n ] que para cada índice de fila de A da un índice de columna correspondiente, y una sobre todas las funciones g : [ m ] → [ n ] que para cada índice de columna de B da un índice de fila correspondiente. Las matrices asociadas af y g son

${\ Displaystyle L_ {f} = {\ bigl (} (\ delta _ {f (i), j}) _ {i \ in [m], j \ in [n]} {\ bigr)} \ quad { \ text {y}} \ quad R_ {g} = {\ bigl (} (\ delta _ {j, g (k)}) _ {j \ in [n], k \ in [m]} {\ bigr )}}$

donde " " es el delta de Kronecker , y la fórmula de Cauchy-Binet para probar se ha reescrito como ${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ sum _ {f: [m] \ to [n]} \ sum _ {g: [m] \ to [n]} p (f, g) \ det (L_ {f} R_ {g}) \\ [5pt] = {} & \ sum _ {f: [m] \ a [n]} \ sum _ {g: [m] \ a [n]} p (f , g) \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det ((L_ {f}) _ {[m], S}) \ det ((R_ {g}) _ {S, [m]}), \ end {alineado}}}$

donde p ( f , g ) denota el factor escalar . Queda por demostrar la fórmula de Cauchy-Binet para A  =  L _f y B  =  R _g , para todo f , g : [ m ] → [ n ]. ${\ Displaystyle \ textstyle (\ prod _ {i = 1} ^ {m} A_ {i, f (i)}) (\ prod _ {k = 1} ^ {m} B_ {g (k), k} )}$

Para este paso 2, si f no es inyectiva, entonces L _f y L _f R _g tienen dos filas idénticas, y si g no es inyectiva, entonces R _g y L _f R _g tienen dos columnas idénticas; en cualquier caso, ambos lados de la identidad son cero. Suponiendo ahora que tanto f como g son mapas inyectivos [ m ] → [ n ], el factor de la derecha es cero a menos que S  =  f ([ m ]), mientras que el factor es cero a menos que S  =  g ([ m ]). Entonces, si las imágenes de f y g son diferentes, el lado derecho solo tiene términos nulos, y el lado izquierdo también es cero, ya que L _f R _g tiene una fila nula (para i con ). En el caso restante donde las imágenes de f y g son los mismos, por ejemplo f ([ m ]) =  S  =  g ([ m ]), necesitamos demostrar que ${\ Displaystyle \ det ((L_ {f}) _ {[m], S})}$${\ Displaystyle \ det ((R_ {g}) _ {S, [m]})}$${\ Displaystyle f (i) \ notin g ([m])}$

${\ Displaystyle \ det (L_ {f} R_ {g}) = \ det ((L_ {f}) _ {[m], S}) \ det ((R_ {g}) _ {S, [m] }). \,}$

Sea h la única biyección creciente [ m ] →  S , y π , σ las permutaciones de [ m ] tales que y ; entonces es la matriz de permutación para π , es la matriz de permutación para σ , y L _f R _g es la matriz de permutación para , y dado que el determinante de una matriz de permutación es igual a la firma de la permutación, la identidad se sigue del hecho de que las firmas son multiplicativo. ${\ Displaystyle f = h \ circ \ pi ^ {- 1}}$${\ Displaystyle g = h \ circ \ sigma}$${\ Displaystyle (L_ {f}) _ {[m], S}}$${\ Displaystyle (R_ {g}) _ {S, [m]}}$${\ Displaystyle \ pi \ circ \ sigma}$

No es necesario usar multilinealidad con respecto a las filas de A y las columnas de B en la demostración; se podría usar solo uno de ellos, digamos el primero, y usar que un producto matricial L _f B consiste en una permutación de las filas de B _{f ([ m ]), [ m ]} (si f es inyectiva), o tiene al menos dos filas iguales.

Relación con el delta de Kronecker generalizado

Como hemos visto, la fórmula de Cauchy-Binet es equivalente a lo siguiente:

${\ Displaystyle \ det (L_ {f} R_ {g}) = \ sum _ {S \ in {\ tbinom {[n]} {m}}} \ det ((L_ {f}) _ {[m] , S}) \ det ((R_ {g}) _ {S, [m]}),}$

dónde

${\ Displaystyle L_ {f} = {\ bigl (} (\ delta _ {f (i), j}) _ {i \ in [m], j \ in [n]} {\ bigr)} \ quad { \ text {y}} \ quad R_ {g} = {\ bigl (} (\ delta _ {j, g (k)}) _ {j \ in [n], k \ in [m]} {\ bigr )}.}$

En términos de delta de Kronecker generalizado , podemos derivar la fórmula equivalente a la fórmula de Cauchy-Binet:

${\ Displaystyle \ delta _ {g (1) \ dots g (m)} ^ {f (1) \ dots f (m)} = \ sum _ {k: [m] \ to [n] \ encima de k ( 1) <\ puntos <k (m)} \ delta _ {k (1) \ puntos k (m)} ^ {f (1) \ puntos f (m)} \ delta _ {g (1) \ puntos g (m)} ^ {k (1) \ dots k (m)}.}$

Interpretaciones geométricas

Si A es un verdadero m × n matriz, entonces det ( A  A ^T ) es igual al cuadrado de la m volumen -dimensional de la paralelotopo abarcado en R ⁿ por las m filas de A . La fórmula de Binet establece que esto es igual a la suma de los cuadrados de los volúmenes que surgen si el paralelepípedo se proyecta ortogonalmente sobre los planos de coordenadas m -dimensionales (de los cuales los hay ). ${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {m}}}$

En el caso m  = 1, el paralelopo se reduce a un solo vector y su volumen es su longitud. La declaración anterior luego establece que el cuadrado de la longitud de un vector es la suma de los cuadrados de sus coordenadas; este es de hecho el caso por la definición de esa longitud, que se basa en el teorema de Pitágoras .

Generalización

La fórmula de Cauchy-Binet se puede extender de manera sencilla a una fórmula general para los menores del producto de dos matrices. El contexto de la fórmula se da en el artículo sobre menores , pero la idea es que tanto la fórmula para la multiplicación de matrices ordinaria como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales del siguiente enunciado general sobre los menores de un producto de dos matrices. Suponga que A es una matriz m × n , B es una matriz n × p , I es un subconjunto de {1, ..., m } con k elementos y J es un subconjunto de {1, ..., p } con k elementos. Luego

${\ Displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {I, J} = \ sum _ {K} [\ mathbf {A}] _ {I, K} [\ mathbf {B}] _ {K, J} \ ,}$

donde la suma se extiende a todos los subconjuntos K de {1, ..., n } con k elementos.

Versión continua

Una versión continua de la fórmula de Cauchy-Binet, conocida como identidad de Andréief-Heine o identidad de Andréief, aparece comúnmente en la teoría de matrices aleatorias. Se expresa de la siguiente manera: sean y sean dos secuencias de funciones integrables, apoyadas en . Luego ${\ Displaystyle \ left \ {f_ {j} (x) \ right \} _ {j = 0} ^ {N-1}}$${\ Displaystyle \ left \ {g_ {j} (x) \ right \} _ {j = 0} ^ {N-1}}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle \ int _ {I} \ cdots \ int _ {I} \ det \ left [f_ {j-1} (x_ {k}) \ right] _ {j, k = 1} ^ {N} \ det \ left [g_ {j-1} (x_ {k}) \ right] _ {j, k = 1} ^ {N} dx_ {1} \ cdots dx_ {n} = N! \, \ det \ left [\ int _ {I} f_ {j} (x) g_ {k} (x) dx \ right] _ {j, k = 0} ^ {N-1}.}$

Forresterdescibes cómo recuperar la fórmula habitual de Cauchy-Binet como una discretización de la identidad anterior.

Referencias

• Joel G. Broida y S. Gill Williamson (1989) Una introducción completa al álgebra lineal , §4.6 teorema de Cauchy-Binet, págs. 208-14, Addison-Wesley ISBN  0-201-50065-5 .
• Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) Linear Algebra 2nd edition, Ejemplo 2.15 Fórmula de Binet-Cauchy, págs. 66,7, Birkhäuser ISBN  0-8176-4294-3 .
• IR Shafarevich y AO Remizov (2012) Álgebra lineal y geometría , §2.9 (p. 68) y §10.5 (p. 377), Springer ISBN  978-3-642-30993-9 .
• ML Mehta (2004) Matrices aleatorias , 3.a ed., Elsevier ISBN  9780120884094 .

enlaces externos

• Aaron Lauve (2004) Una breve prueba combinatoria de la fórmula de Cauchy – Binet Archivado el 4 de marzo de 2019 en la Wayback Machine de la Université du Québec à Montréal .
• Peter J. Forrester (2018) Conoce a Andréief, Burdeos 1886 y Andreev, Kharkov 1882–83