Teorema de Brunn-Minkowski - Brunn–Minkowski theorem

Damos un argumento bien conocido que sigue una receta general de argumentos en la teoría de la medida; es decir, establece un caso simple por análisis directo, usa la inducción para establecer una extensión finitaria de ese caso especial y luego usa la maquinaria general para obtener el caso general como límite. Una discusión de esta historia de esta demostración se puede encontrar en el Teorema 4.1 en la encuesta de Gardner sobre Brunn-Minkowski .

Demostramos la versión del teorema de Brunn-Minkowski que solo requiere ser medible y no vacío. ${\ textstyle A, B, A + B}$

• El caso de que A y B sean cuadros alineados con el eje:

Por invariancia de traducción de volúmenes, basta con tomar . Entonces . En este caso especial, la desigualdad de Brunn-Minkowski afirma eso . Después de dividir ambos lados por , esto se desprende de la desigualdad AM-GM : . ${\ textstyle A = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i}], B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, b_ {i}]}$${\ textstyle A + B = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [0, a_ {i} + b_ {i}]}$${\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n} \ geq \ prod a_ {i} ^ {1 / n} + \ prod b_ {i} ^ {1 / n}}$${\ textstyle \ prod (a_ {i} + b_ {i}) ^ {1 / n}}$${\ textstyle (\ prod {\ frac {a_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} + (\ prod {\ frac {b_ {i}} {a_ { i} + b_ {i}}}) ^ {1 / n} \ leq \ sum {\ frac {1} {n}} {\ frac {a_ {i} + b_ {i}} {a_ {i} + b_ {i}}} = 1}$

• El caso en el que A y B son uniones disjuntas de un número finito de cajas de este tipo:

Usaremos la inducción sobre el número total de cajas, donde el cálculo anterior establece el caso base de dos cajas. En primer lugar, observamos que hay un hiperplano H alineado con el eje de tal manera que cada lado de H contiene una caja completa de A. Para ver esto, basta reducir al caso donde A consta de dos cajas, y luego calcular que la negación de esta afirmación implica que las dos cajas tienen un punto en común.

Para un cuerpo X, denotamos las intersecciones de X con los medios espacios "derecho" e "izquierdo" definidos por H. Observando nuevamente que el enunciado de Brunn-Minkowski es invariante en la traducción, luego traducimos B de modo que ; tal traslación existe por el teorema del valor intermedio porque es una función continua, si v es perpendicular a H tiene valores límites 0 y as , asume en algún punto. ${\ textstyle X ^ {-}, X ^ {+}}$${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$${\ textstyle t \ to \ mu ((B + tv) ^ {+})}$ ${\ textstyle {\ frac {\ mu ((B + tv) ^ {+})} {\ mu ((B + tv) ^ {-})}}}$${\ textstyle \ infty}$${\ Displaystyle t \ a - \ infty, t \ a \ infty}$${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (A ^ {-})}}}$

Ahora tenemos las piezas en su lugar para completar el paso de inducción. Primero, observe que y son subconjuntos disjuntos de , y así Ahora, ambos tienen una caja menos que A , mientras que cada uno tiene como máximo tantas cajas como B. Por lo tanto, podemos aplicar la hipótesis de inducción: y . ${\ textstyle A ^ {+} + B ^ {+}}$${\ Displaystyle A ^ {-} + B ^ {-}}$${\ textstyle A + B}$${\ estilo de texto \ mu (A + B) \ geq \ mu (A ^ {+} + B ^ {+}) + \ mu (A ^ {-} + B ^ {-}).}$${\ textstyle A ^ {+}, A ^ {-}}$${\ textstyle B ^ {+}, B ^ {-}}$${\ estilo de texto \ mu (A ^ {+} + B ^ {+}) \ geq (\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$${\ estilo de texto \ mu (A ^ {-} + B ^ {-}) \ geq (\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) ^ {n}}$

El álgebra elemental muestra que si , entonces también , podemos calcular: ${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}}}$${\ textstyle {\ frac {\ mu (A ^ {+})} {\ mu (B ^ {+})}} = {\ frac {\ mu (A ^ {-})} {\ mu (B ^ {-})}} = {\ frac {\ mu (A)} {\ mu (B)}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mu (A + B) \ geq \ mu (A ^ {+} + B ^ {+}) + \ mu (A ^ {-} + B ^ {-}) \ geq (\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}) ^ {n} + (\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n} + \ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}) ^ {n} \\ = \ mu (B ^ {+}) (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {+}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {+}) ^ {1 / n}}}) ^ {n} + \ mu (B ^ {-}) (1 + {\ frac {\ mu (A ^ {-}) ^ {1 / n}} {\ mu (B ^ {-}) ^ {1 / n}}}) ^ {n} = (1 + {\ frac {\ mu (A) ^ {1 / n}} {\ mu (B) ^ {1 / n}}}) ^ {n} (\ mu (B ^ {+}) + \ mu (B ^ {-})) = (\ mu (B) ^ {1 / n} + \ mu (A) ^ {1 / n}) ^ {n} \ end {alineado}}}$

• El caso de que A y B sean conjuntos abiertos acotados:

En este escenario, ambos cuerpos pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante uniones de rectángulos alineados con ejes disjuntos contenidos en su interior; esto se sigue de hechos generales sobre la medida de Lebesgue de conjuntos abiertos. Es decir, tenemos una secuencia de cuerpos , que son uniones disjuntas de un número finito de rectángulos alineados con el eje, dónde , y lo mismo . Entonces tenemos eso , entonces . El lado derecho converge a as , estableciendo este caso especial. ${\ textstyle A_ {k} \ subseteq A}$${\ estilo de texto \ mu (A \ setminus A_ {k}) \ leq 1 / k}$${\ textstyle B_ {k} \ subseteq B}$${\ estilo de texto A + B \ supseteq A_ {k} + B_ {k}}$${\ estilo de texto \ mu (A + B) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k}) ^ {1 / n}}$${\ estilo de texto \ mu (A) ^ {1 / n} + \ mu (B) ^ {1 / n}}$${\ textstyle k \ to \ infty}$

• El caso de que A y B sean conjuntos compactos:

Para un cuerpo compacto X , defina como el -espesor de X. Aquí cada una es la bola abierta de radio , por lo que es un conjunto abierto acotado. Observamos eso , de modo que si X es compacto, entonces . Mediante el uso de asociatividad y conmutatividad de la suma de Minkowski, junto con el caso anterior, podemos calcular eso . Enviar a 0 establece el resultado. ${\ textstyle X _ {\ epsilon} = X + B (0, \ epsilon)}$${\ textstyle \ epsilon}$${\ textstyle B (0, \ epsilon)}$${\ textstyle \ epsilon}$${\ textstyle X _ {\ epsilon}}$${\ textstyle \ bigcap _ {\ epsilon> 0} X _ {\ epsilon} = {\ text {cl}} (X)}$${\ textstyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ mu (X _ {\ epsilon}) = \ mu (X)}$${\ textstyle \ mu ((A + B) _ {2 \ epsilon}) ^ {1 / n} = \ mu (A _ {\ epsilon} + B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} \ geq \ mu (A _ {\ epsilon}) ^ {1 / n} + \ mu (B _ {\ epsilon}) ^ {1 / n}}$${\ textstyle \ epsilon}$

• El caso de conjuntos medibles acotados:

Recuerde que según el teorema de regularidad para la medida de Lebesgue para cualquier conjunto medible acotado X, y para cualquiera , hay un conjunto compacto con . Por tanto, para todo k, se utiliza el caso de Brunn-Minkowski que se muestra para conjuntos compactos. El envío establece el resultado. ${\ textstyle k> \ geq}$${\ textstyle X_ {k} \ subseteq X}$${\ estilo de texto \ mu (X \ setminus X_ {k}) <1 / k}$${\ estilo de texto \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k} ) ^ {1 / n}) ^ {n}}$${\ textstyle k \ to \ infty}$

• El caso de conjuntos medibles:

Dejamos , y nuevamente argumentamos usando el caso anterior que , por lo tanto, el resultado sigue enviando k al infinito. ${\ textstyle A_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap A, B_ {k} = [- k, k] ^ {n} \ cap B}$${\ estilo de texto \ mu (A + B) \ geq \ mu (A_ {k} + B_ {k}) \ geq (\ mu (A_ {k}) ^ {1 / n} + \ mu (B_ {k} ) ^ {1 / n}) ^ {n}}$

Damos una prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski como corolario de la desigualdad de Prékopa-Leindler , una versión funcional de la desigualdad de BM. Primero probaremos PL, y luego mostraremos que PL implica una versión multiplicativa de BM, luego mostraremos que BM multiplicativo implica BM aditivo. El argumento aquí es más simple que la prueba a través de cuboides, en particular, solo necesitamos probar la desigualdad de BM en una dimensión. Esto sucede porque el enunciado más general de la desigualdad PL que la desigualdad BM permite un argumento de inducción.

• La forma multiplicativa de la desigualdad BM

En primer lugar, observamos que la desigualdad de Brunn-Minkowski implica una versión multiplicativa, utilizando la desigualdad , que es válida para . En particular ,. La desigualdad de Prékopa-Leindler es una generalización funcional de esta versión de Brunn-Minkowski. ${\ estilo de texto \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {\ lambda}}$${\ textstyle x, y \ geq 0, \ lambda \ in [0,1]}$${\ estilo de texto \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq (\ lambda \ mu (A) ^ {1 / n} + (1- \ lambda) \ mu (B) ^ {1 / n }) ^ {n} \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$

• Desigualdad Prékopa-Leindler

Teorema ( desigualdad de Prékopa-Leindler ) : Fix . Sean funciones no negativas, medibles y satisfactorias para todos . Entonces . ${\ estilo de texto \ lambda \ in (0,1)}$${\ textstyle f, g, h: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$${\ textstyle h (\ lambda x + (1- \ lambda) y) \ geq f (x) ^ {\ lambda} g (y) ^ {1- \ lambda}}$${\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} h (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$

Prueba (principalmente después de esta conferencia ):

Necesitaremos la versión unidimensional de BM, es decir, si son medibles, entonces . Primero, asumiendo que están acotados, cambiamos de modo que . Así, de donde por casi desarticulación tenemos eso . Luego pasamos al caso ilimitado filtrando con los intervalos${\ textstyle A, B, A + B \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ estilo de texto \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$${\ textstyle A, B}$${\ textstyle A, B}$${\ textstyle A \ cap B = \ {0 \}}$${\ textstyle A + B \ supset A \ cup B}$${\ estilo de texto \ mu (A + B) \ geq \ mu (A) + \ mu (B)}$${\ estilo de texto [-k, k].}$

Primero mostramos el caso de la desigualdad PL. Déjalo , y nota eso . Así, por la versión unidimensional de Brunn-Minkowski, tenemos eso . Recordamos que si no es negativo, entonces el teorema de Fubini lo implica . Luego, tenemos eso , donde en el último paso usamos la desigualdad AM-GM ponderada , que afirma eso para . ${\ textstyle n = 1}$${\ textstyle L_ {h} (t) = \ {x: h (x) \ geq t \}}$${\ textstyle L_ {h} (t) \ supseteq \ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)}$${\ estilo de texto \ mu (L_ {h} (t)) \ geq \ mu (\ lambda L_ {f} (t) + (1- \ lambda) L_ {g} (t)) \ geq \ lambda \ mu ( L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ mu (L_ {g} (t))}$${\ textstyle f (x)}$${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt}$${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R}} h (x) dx = \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {h} (t)) dt \ geq \ lambda \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {f} (t)) + (1- \ lambda) \ int _ {t \ geq 0} \ mu (L_ {g} (t)) = \ lambda \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx + (1- \ lambda) \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} f (x) dx) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} g (x) dx) ^ {1- \ lambda}}$${\ estilo de texto \ lambda x + (1- \ lambda) y \ geq x ^ {\ lambda} y ^ {1- \ lambda}}$${\ textstyle \ lambda \ in (0,1), x, y \ geq 0}$

Ahora probamos el caso. Porque , escogemos y configuramos . Para cualquier c, definimos , es decir, definir una nueva función en n-1 variables estableciendo que la última variable sea . Aplicando la hipótesis y haciendo nada más que manipulación formal de las definiciones, tenemos eso . ${\ estilo de texto n> 1}$${\ textstyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n-1}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$${\ textstyle \ lambda \ in [0,1]}$${\ estilo de texto \ gamma = \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta}$${\ textstyle h_ {c} (x) = h (x, c)}$${\ textstyle c}$${\ textstyle h _ {\ gamma} (\ lambda x + (1- \ lambda) y) = h (\ lambda x + (1- \ lambda) y, \ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta)) = h (\ lambda (x, \ alpha) + (1- \ lambda) (y, \ beta)) \ geq f (x, \ alpha) ^ {\ lambda} g (y, \ beta) ^ {1- \ lambda} = f _ {\ alpha} (x) ^ {\ lambda} g _ {\ beta} (y) ^ {1- \ lambda}}$

Así, por el caso inductivo aplicado a las funciones , obtenemos . Definimos y de manera similar. En esta notación, el cálculo anterior se puede reescribir como: . Dado que hemos probado esto para cualquier fijo , esto significa que la función satisface la hipótesis para la versión unidimensional del teorema PL. Por lo tanto, tenemos eso , lo que implica la afirmación del teorema de Fubini. QED ${\ textstyle h _ {\ gamma}, f _ {\ alpha}, g _ {\ beta}}$${\ textstyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz \ geq (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} f _ {\ alpha} (z) dz) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} g _ {\ beta} (z) dz) ^ {1- \ lambda}}$${\ estilo de texto H (\ gamma): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n-1}} h _ {\ gamma} (z) dz}$${\ textstyle F (\ alpha), G (\ beta)}$${\ textstyle H (\ lambda \ alpha + (1- \ lambda) \ beta) \ geq F (\ alpha) ^ {\ lambda} G (\ beta) ^ {1- \ lambda}}$${\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$${\ textstyle H, F, G}$${\ estilo de texto \ int _ {\ mathbb {R}} H (\ gamma) d \ gamma \ geq (\ int _ {\ mathbb {R}} F ​​(\ alpha) d \ alpha) ^ {\ lambda} (\ int _ {\ mathbb {R}} F ​​(\ beta) d \ beta) ^ {1- \ lambda}}$

• PL implica BM multiplicativo

La versión multiplicativa de Brunn-Minkowski se sigue de la desigualdad PL, tomando . ${\ textstyle h = 1 _ {\ lambda A + (1- \ lambda) B}, f = 1_ {A}, g = 1_ {B}}$

• BM multiplicativo implica BM aditivo

Ahora explicamos cómo derivar la desigualdad BM de la desigualdad PL. En primer lugar, mediante el uso de las funciones de los indicadores para Prekopa-Leindler desigualdad rápidamente da la versión multiplicativa de Brunn-Minkowski: . Ahora mostramos cómo la desigualdad BM multiplicativa implica la versión aditiva habitual. ${\ estilo de texto A, B, \ lambda A + (1- \ lambda) B}$${\ estilo de texto \ mu (\ lambda A + (1- \ lambda) B) \ geq \ mu (A) ^ {\ lambda} \ mu (B) ^ {1- \ lambda}}$

Suponemos que tanto A como B tienen un volumen positivo, ya que de lo contrario la desigualdad es trivial, y los normalizamos para que tengan un volumen 1 estableciendo . Definimos ; nota eso . Con estas definiciones, y usando eso , calculamos usando la desigualdad multiplicativa de Brunn-Minkowski que: ${\ textstyle A '= {\ frac {A} {\ mu (A) ^ {1 / n}}}, B' = {\ frac {B} {\ mu (B) ^ {1 / n}}} }$${\ textstyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B ) ^ {1 / n}}}}$${\ textstyle 1- \ lambda '= {\ frac {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n}} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}}$${\ estilo de texto \ mu (A ') = \ mu (B') = 1}$

${\ Displaystyle \ mu ({\ frac {(1- \ lambda) A + \ lambda B} {(1- \ lambda) \ mu (A) ^ {1 / n} + \ lambda \ mu (B) ^ {1 / n}}}) = \ mu ((1- \ lambda ') A' + \ lambda 'B) \ geq \ mu (A') ^ {1- \ lambda '} \ mu (B') ^ {\ lambda '} = 1.}$

La forma aditiva de Brunn-Minkowski ahora sigue sacando la escala del cálculo de volumen más a la izquierda y reordenando.

En primer lugar, observamos que Brunn-Minkowski implica , donde en la última desigualdad que se utilizó para . Usamos este cálculo para el límite inferior del área de superficie de vía. A continuación, usamos el hecho de que , que se sigue de la fórmula de Minkowski-Steiner , para calcular Reordenando esto se obtiene la desigualdad isoperimétrica:${\ estilo de texto \ mu (K + \ epsilon B) \ geq (\ mu (K) ^ {1 / n} + \ epsilon V (B) ^ {1 / n}) ^ {n} = V (K) (1 + \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}) ^ {n} \ geq \ mu (K) (1 + n \ epsilon ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}),}$${\ estilo de texto (1 + x) ^ {n} \ geq 1 + nx}$${\ textstyle x \ geq 0}$${\ textstyle K}$${\ textstyle S (K) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ mu (K + \ epsilon B) - \ mu (K)} {\ epsilon}} \ geq n \ mu (K) ({\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}.}$${\ estilo de texto S (B) = n \ mu (B)}$${\ textstyle {\ frac {S (K)} {S (B)}} = {\ frac {S (K)} {n \ mu (B)}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ( {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (K)}}) ^ {1 / n}} {\ mu (B)}} = \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} { n}} \ mu (B) ^ {\ frac {1-n} {n}}.}$${\ textstyle {\ frac {\ mu (B) ^ {1 / n}} {S (B) ^ {1 / (n-1)}}} \ geq {\ frac {\ mu (K) ^ {1 / n}} {S (K) ^ {1 / (n-1)}}}.}$

Recordamos los siguientes hechos sobre volúmenes mixtos  :, de modo que en particular si , entonces . ${\ textstyle \ mu (\ lambda _ {1} K_ {1} + \ lambda _ {2} K_ {2}) = \ sum _ {j_ {1}, \ ldots, j_ {n} = 1} ^ { r} V (K_ {j_ {1}}, \ ldots, V (K_ {j_ {n}}) \ lambda _ {j_ {1}} \ ldots \ lambda _ {j_ {n}}}$${\ estilo de texto g (t) = \ mu (K + tL) = \ mu (V) + nV (K, \ ldots, K, L) t + \ ldots}$${\ textstyle g '(0) = nV (K, \ ldots, K, L)}$

Deja . El teorema de Brunn implica que esto es cóncavo para . Por lo tanto, donde denota la derivada derecha. También tenemos eso . De esto obtenemos , donde aplicamos BM en la última desigualdad. ${\ textstyle f (t): = \ mu (K + tL) ^ {1 / n}}$${\ textstyle t \ in [0,1]}$${\ textstyle f ^ {+} (0) \ geq f (1) -f (0) = \ mu (K + L) ^ {1 / n} -V (K) ^ {1 / n}}$${\ textstyle f ^ {+} (0)}$${\ textstyle f ^ {+} (0) = {\ frac {1} {n}} \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} nV (K, \ ldots, K, L )}$${\ textstyle \ mu (K) ^ {\ frac {n-1} {n}} V (K, \ ldots, K, L) \ geq \ mu (K + L) ^ {1 / n} -V ( K) ^ {1 / n} \ geq V (L) ^ {1 / n}}$

Prueba: Deja y deja . Entonces, uno puede mostrar, usar y para , eso . En particular ,. ${\ textstyle \ delta = \ epsilon ^ {2} / 8}$${\ textstyle Y = S \ setminus X _ {\ epsilon}}$${\ textstyle x \ en X, y \ en Y}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} || x + y || ^ {2} = || x || ^ {2} + || y || ^ {2} - {\ frac {1 } {2}} || xy || ^ {2}}$${\ textstyle {\ sqrt {1-x}} \ leq 1-x / 2}$${\ textstyle x \ leq 1}$${\ estilo de texto || {\ frac {x + y} {2}} || \ leq 1- \ delta}$${\ textstyle {\ frac {x + y} {2}} \ in (1- \ delta) B (0,1)}$

Dejamos , y nuestro objetivo es demostrarlo . Deja . El siguiente argumento será simétrico en , por lo que asumimos sin pérdida de generalidad que y conjunto . Luego, ${\ textstyle {\ overline {X}} = {\ text {Conv}} (X, \ {0 \}), {\ overline {Y}} = {\ text {Conv}} (Y, \ {0 \ })}$${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ subseteq (1- \ delta) B (0,1)}$${\ textstyle x \ in X, y \ in Y, \ alpha, \ beta \ in [0,1], {\ bar {x}} = \ alpha x, {\ bar {y}} = \ alpha y}$${\ textstyle {\ bar {x}}, {\ bar {y}}}$${\ textstyle \ alpha \ geq \ beta}$${\ textstyle \ gamma = \ beta / \ alpha \ leq 1}$

${\ Displaystyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} = {\ frac {\ alpha x + \ beta y} {2}} = \ alpha {\ frac { x + \ gamma y} {2}} = \ alpha (\ gamma {\ frac {x + y} {2}} + (1- \ gamma) {\ frac {x} {2}}) = \ alpha \ gamma {\ frac {x + y} {2}} + \ alpha (1- \ gamma) {\ frac {x} {2}}}$.

Esto implica eso . (Uso de que para cualquier cuerpo convexo K y , .) ${\ textstyle {\ frac {{\ bar {x}} + {\ bar {y}}} {2}} \ in \ alpha \ gamma (1- \ delta) B + \ alpha (1- \ gamma) (1 - \ delta) B = \ alpha (1- \ delta) B \ subseteq (1- \ delta) B}$${\ textstyle \ gamma \ in [0,1]}$${\ estilo de texto \ gamma K + (1- \ gamma) K = K}$

Por lo tanto, lo sabemos , entonces . Aplicamos la forma multiplicativa de la desigualdad de Brunn-Minkowski para limitar el primer término por , dándonos . ${\ textstyle {\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}} \ subseteq (1- \ delta) B (0,1)}$${\ textstyle \ mu ({\ frac {{\ overline {X}} + {\ overline {Y}}} {2}}) \ leq (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B (0, 1))}$${\ textstyle {\ sqrt {\ mu ({\ bar {X}}) \ mu ({\ bar {Y}})}}}$${\ textstyle (1- \ delta) ^ {n} \ mu (B) \ geq \ mu ({\ bar {X}}) ^ {1/2} \ mu ({\ bar {Y}}) ^ { 1/2}}$

${\ Displaystyle 1 - {\ frac {\ nu (X _ {\ epsilon})} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ nu (Y)} {\ nu (S)}} = {\ frac {\ mu ({\ bar {Y}})} {\ mu (B)}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ mu (B)} {\ mu ({\ bar {X}})}} \ leq (1- \ delta) ^ {2n} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} \ leq e ^ {- 2n \ delta} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}} = e ^ {- n \ epsilon ^ {2} / 4} {\ frac {\ nu (S)} {\ nu (X)}}}$. QED