Mapa bilineal - Bilinear map

En matemáticas , un mapa bilineal es una función que combina elementos de dos espacios vectoriales para producir un elemento de un tercer espacio vectorial, y es lineal en cada uno de sus argumentos. La multiplicación de matrices es un ejemplo.

Definición

Espacios vectoriales

Sean y tres espacios vectoriales sobre el mismo campo base . Un mapa bilineal es una función${\ Displaystyle V, W}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle B: V \ times W \ to X}$

tal que para todos , el mapa ${\ Displaystyle w \ in W}$${\ Displaystyle B_ {w}}$

${\ Displaystyle v \ mapsto B (v, w)}$

es una función lineal de la que , por todas , el mapa ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle v \ in V}$${\ Displaystyle B_ {v}}$

${\ Displaystyle w \ mapsto B (v, w)}$

es un mapa lineal de a . En otras palabras, cuando mantenemos la primera entrada del mapa bilineal fija mientras dejamos que la segunda entrada varíe, el resultado es un operador lineal, y de manera similar cuando mantenemos la segunda entrada fija. ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle X}$

Dicho mapa satisface las siguientes propiedades. ${\ Displaystyle B}$

• Para cualquier , . ${\ Displaystyle \ lambda \ en F}$${\ Displaystyle B (\ lambda v, w) = B (v, \ lambda w) = \ lambda B (v, w)}$
• El mapa es aditivo en ambos componentes: si y , luego y . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle v_ {1}, v_ {2} \ in V}$${\ Displaystyle w_ {1}, w_ {2} \ in W}$${\ Displaystyle B (v_ {1} + v_ {2}, w) = B (v_ {1}, w) + B (v_ {2}, w)}$${\ Displaystyle B (v, w_ {1} + w_ {2}) = B (v, w_ {1}) + B (v, w_ {2})}$

Si V = W y tenemos B ( v , w ) = B ( w , v ) para todo v , w en V , entonces decimos que B es simétrico . Si X es el campo base F , entonces el mapa se llama forma bilineal , que está bien estudiada (ver, por ejemplo , Producto escalar , Producto interno y Forma cuadrática ).

Módulos

Las obras definición sin ningún cambio si en lugar de espacios vectoriales sobre un cuerpo F , utilizamos módulos sobre un anillo conmutativo R . Se generaliza a funciones n -arias, donde el término adecuado es multilineal .

Para los anillos no conmutativos R y S , un módulo R izquierdo M y un módulo S derecho N , un mapa bilineal es un mapa B  : M × N → T con T an ( R , S ) - bimódulo , y para el cual cualquier n en N , m ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de módulo R , y para cualquier m en M , n ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de módulo S. Esto satisface

B ( r ⋅ m , norte ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

para todos m en M , n en N , r en R y s en S , así como B siendo aditivo en cada argumento.

Propiedades

Una consecuencia inmediata de la definición es que B ( v , w ) = 0 _X siempre que v = 0 _V o w = 0 _W . Esto se puede ver escribiendo el vector cero 0 _V como 0 ⋅ 0 _V (y de manera similar para 0 _W ) y moviendo el escalar 0 "afuera", delante de B , por linealidad.

El conjunto L ( V , W ; X ) de todos los mapas bilineal es un subespacio lineal del espacio ( viz. Espacio vectorial , módulo de todos los mapas de) V × W en X .

Si V , W , X son de dimensión finita , entonces también lo es L ( V , W ; X ) . Para X = F , es decir, formas bilineales, la dimensión de este espacio es dim V × dim W (mientras que el espacio L ( V × W ; F ) de las formas lineales es de dimensión dim V + dim W ). Para ver esto, elija una base para V y W ; entonces cada mapa bilineal puede ser representado de forma única por la matriz B ( e _i , f _j ) , y viceversa. Ahora, si X es un espacio de dimensión superior, obviamente tenemos dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X .

Ejemplos de

• La multiplicación de matrices es un mapa bilineal M ( m , n ) × M ( n , p ) → M ( m , p ) .
• Si un espacio vectorial V sobre el números reales R lleva un producto interno , entonces el producto interior es un mapa bilineal V × V → R .
• En general, para un espacio vectorial V sobre un campo F , una forma bilineal en V es el mismo que un mapa bilineal V × V → F .
• Si V es un espacio vectorial con espacio dual V ^∗ , entonces el operador de la aplicación, b ( f , v ) = f ( v ) es un mapa bilineal desde V ^∗ × V al campo base.
• Deje que V y W sean espacios vectoriales sobre el mismo campo de base F . Si f es miembro de V ^* y g un miembro de W ^* , entonces b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) define un mapa bilineal V × W → F .
• El producto cruzado en R ³ es un mapa bilineal R ³ × R ³ → R ³ .
• Deje B  : V × W → X ser un mapa bilineal, y L  : T → W ser un mapa lineal , a continuación, ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) es un mapa bilineal en V × U .

Continuidad y continuidad separada

Suponga que X , Y y Z son espacios vectoriales topológicos y sea ​​un mapa bilineal. Entonces se dice que b es continuo por separado si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\ Displaystyle b: X \ times Y \ to Z}$

1. para todos , el mapa dado por es continuo; ${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle Y \ to Z}$${\ Displaystyle y \ mapsto b (x, y)}$
2. para todos , el mapa dado por es continuo. ${\ Displaystyle y \ in Y}$${\ Displaystyle X \ to Z}$${\ Displaystyle x \ mapsto b (x, y)}$

Muchos bilineales continuos por separado que no son continuos satisfacen una propiedad adicional: la hipocontinuidad . Todos los mapas bilineales continuos son hipocontinuos.

Condiciones suficientes para la continuidad

Muchos mapas bilineales que se producen en la práctica son continuos por separado, pero no todos son continuos. Aquí enumeramos las condiciones suficientes para que un bilineal continuo por separado sea continuo.

• Si X es un espacio de Baire e Y es metrizable, entonces cada mapa bilineal continuo por separado es continuo. ${\ Displaystyle b: X \ times Y \ to Z}$
• Si X , Y y Z son los duales fuertes de los espacios de Fréchet, entonces cada mapa bilineal continuo por separado es continuo. ${\ Displaystyle b: X \ times Y \ to Z}$
• Si un mapa bilineal es continuo en (0, 0), entonces es continuo en todas partes.

Mapa de composición

Sean X , Y y Z espacios de Hausdorff localmente convexos y sea ​​el mapa de composición definido por . En general, el mapa bilineal C no es continuo (no importa qué topologías se den los espacios de los mapas lineales). Sin embargo, tenemos los siguientes resultados: ${\ Displaystyle C: L \ left (X; Y \ right) \ times L \ left (Y; Z \ right) \ to L \ left (X; Z \ right)}$${\ Displaystyle C (u, v): = v \ circ u}$

Asigne a los tres espacios de mapas lineales una de las siguientes topologías:

1. dar a los tres la topología de convergencia acotada;
2. dar a los tres la topología de convergencia compacta;
3. dar a los tres la topología de convergencia puntual.

• Si E es un subconjunto equicontinuo de, entonces la restricción es continua para las tres topologías. ${\ Displaystyle L \ left (Y; Z \ right)}$${\ Displaystyle C {\ big \ vert} _ {L \ left (X; Y \ right) \ times E}: L \ left (X; Y \ right) \ times E \ to L \ left (X; Z \ derecho)}$
• Si Y es un espacio de barril, entonces para cada secuencia que converge hacia u en y cada secuencia que converge hacia v en , la secuencia converge hacia adentro . ${\ Displaystyle \ left (u_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle L \ left (X; Y \ right)}$${\ Displaystyle \ left (v_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle L \ left (Y; Z \ right)}$${\ Displaystyle \ left (v_ {i} \ circ u_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle v \ circ u}$${\ Displaystyle L \ left (Y; Z \ right)}$

Ver también

• Producto tensor
• Forma sesquilineal
• Filtrado bilineal
• Mapa multilineal

Referencias

Bibliografía

• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN   978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN   978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

enlaces externos

• "Mapeo bilineal" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]