Función automórfica - Automorphic function

En matemáticas, una función automórfica es una función en un espacio que es invariante bajo la acción de algún grupo , en otras palabras, una función en el espacio del cociente . A menudo, el espacio es una variedad compleja y el grupo es un grupo discreto .

Factor de automorfia

En matemáticas , la noción de factor de automorfia surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supongamos que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Luego, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde los números complejos. Una función se denomina forma automórfica si se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f (gx) = j_ {g} (x) f (x)}$

donde es una función holomórfica distinta de cero en todas partes. De manera equivalente, una forma automórfica es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de . ${\ Displaystyle j_ {g} (x)}$${\ Displaystyle G}$

El factor de automorfia para la forma automórfica es la función . Una función automórfica es una forma automórfica para la cual es la identidad. ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle j}$

Algunos datos sobre los factores de la automorfia:

• Cada factor de automorfia es un ciclo para la acción de sobre el grupo multiplicativo de funciones holomórficas distintas de cero en todas partes.${\ Displaystyle G}$
• El factor de automorfía es un co-límite si y solo si surge de una forma automórfica distinta de cero en todas partes.
• Para un factor dado de automorfia, el espacio de formas automórficas es un espacio vectorial.
• El producto puntual de dos formas automórficas es una forma automórfica correspondiente al producto de los factores correspondientes de automorfia.

Relación entre factores de automorfia y otras nociones:

• Sea una celosía en un grupo de Lie . Entonces, un factor de automorfia para corresponde a un paquete de líneas en el grupo de cocientes . Además, las formas automórficas para un factor dado de automorfia corresponden a secciones del paquete de líneas correspondiente.${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle G / \ Gamma}$

El caso específico de un subgrupo de SL (2,  R ), actuando sobre el semiplano superior , se trata en el artículo sobre factores automórficos . ${\ Displaystyle \ Gamma}$

Ejemplos de

• Grupo kleiniano
• Función modular elíptica
• Función modular
• Toro complejo

Referencias

• AN Parshin (2001) [1994], "Forma automórfica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Andrianov, AN; Parshin, AN (2001) [1994], "Función automórfica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Ford, Lester R. (1929), Funciones automórficas , Nueva York, McGraw-Hill, ISBN 978-0-8218-3741-2, JFM  55.0810.04
• Fricke, Robert ; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Banda de Zweiter: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01