Filosofía realista aristotélica de las matemáticas - Aristotelian realist philosophy of mathematics
En la filosofía de las matemáticas , el realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría , la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico (o en cualquier otro mundo que pueda existir). Contrasta con el platonismo al sostener que los objetos de las matemáticas, como los números, no existen en un mundo "abstracto", sino que pueden realizarse físicamente. Contrasta con el nominalismo y el ficcionalismo al sostener que las matemáticas no se tratan de meros nombres o métodos de inferencia o cálculo, sino de ciertos aspectos reales del mundo.
Los realistas aristotélicos enfatizan las matemáticas aplicadas, especialmente el modelado matemático , en lugar de las matemáticas puras como filosóficamente más importantes. Marc Lange sostiene que "el realismo aristotélico permite que los hechos matemáticos sean explicadores en explicaciones distintivamente matemáticas" en la ciencia, ya que los mismos hechos matemáticos se refieren al mundo físico. Paul Thagard describe el realismo aristotélico como "la filosofía actual de las matemáticas que encaja mejor con lo que se conoce sobre la mente y la ciencia".
Historia
Aunque Aristóteles no escribió extensamente sobre la filosofía de las matemáticas, sus diversas observaciones sobre el tema exhiben una visión coherente del tema tanto en cuanto a abstracciones como aplicable al mundo real del espacio y el conteo. Hasta el siglo XVIII, la filosofía más común de las matemáticas era la visión aristotélica de que es la "ciencia de la cantidad ", con la cantidad dividida en continua (estudiada por geometría ) y discreta (estudiada por aritmética).
Los enfoques aristotélicos de la filosofía de las matemáticas eran raros en el siglo XX, pero fueron revividos por Penelope Maddy en Realism in Mathematics (1990) y por varios autores desde 2000 como James Franklin , Anne Newstead, Donald Gillies y otros.
Números y conjuntos
Los puntos de vista aristotélicos de los números ( cardinales o contables) comienzan con la observación de Aristóteles de que el número de un montón o colección es relativo a la unidad o medida elegida: "'número' significa una pluralidad medida y una pluralidad de medidas ... la medida siempre debe ser algo idéntico predecible de todas las cosas que mide, por ejemplo, si las cosas son caballos, la medida es 'caballo' ". Glenn Kessler desarrolla esto en el punto de vista de que un número es una relación entre un montón y un universal que lo divide en unidades; por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser un loro" que divide el montón en tantos loros.
Desde el punto de vista aristotélico, las proporciones no están estrechamente relacionadas con los números cardinales. Son relaciones entre cantidades como alturas. Una relación de dos alturas puede ser la misma que la relación entre dos masas o dos intervalos de tiempo.
Los aristotélicos consideran que tanto los conjuntos como los números están instanciados en el mundo físico (en lugar de ser entidades platónicas). Maddy argumentó que cuando se abre un cartón de huevos, se percibe un conjunto de tres huevos (es decir, una entidad matemática realizada en el mundo físico). Sin embargo, no todo el discurso matemático necesita interpretarse de manera realista; por ejemplo, los aristotélicos pueden considerar el conjunto vacío y el cero como ficciones, y posiblemente infinitos superiores.
Propiedades estructurales
Los aristotélicos consideran las propiedades estructurales no numéricas como la simetría, la continuidad y el orden tan importantes como los números. Tales propiedades se realizan en la realidad física y son el tema de algunas partes de las matemáticas. Por ejemplo , la teoría de grupos clasifica los diferentes tipos de simetría, mientras que el cálculo estudia la variación continua. Los resultados demostrables sobre tales estructuras pueden aplicarse directamente a la realidad física. Por ejemplo, Euler demostró que era imposible caminar una vez y solo una vez por los siete puentes de Königsberg .
Epistemología
Dado que las propiedades matemáticas se realizan en el mundo físico, pueden percibirse directamente. Por ejemplo, los humanos perciben fácilmente la simetría facial .
Los aristotélicos también otorgan un papel a la abstracción y la idealización en el pensamiento matemático. Este punto de vista se remonta a la afirmación de Aristóteles en su Física de que la mente "separa" en el pensamiento las propiedades que estudia en matemáticas, considerando las propiedades intemporales de los cuerpos aparte del mundo del cambio (Física II.2.193b31-35).
En los niveles superiores de las matemáticas, los aristotélicos siguen la teoría de la Analítica posterior de Aristóteles , según la cual la prueba de una proposición matemática permite idealmente al lector comprender por qué la proposición debe ser verdadera.
Objeciones al realismo aristotélico
Un problema para el realismo aristotélico es qué explicación dar de los infinitos superiores , que pueden no ser realizados o realizables en el mundo físico. Mark Balaguer escribe:
- "La teoría de conjuntos está comprometida con la existencia de conjuntos infinitos que son tan enormes que simplemente eclipsan los conjuntos infinitos de variedad de jardín, como el conjunto de todos los números naturales. Simplemente no hay una manera plausible de interpretar esta charla sobre conjuntos infinitos gigantes objetos físicos ".
Los aristotélicos responden que las ciencias pueden tratar con universales no autenticados; por ejemplo, la ciencia del color puede tratar con un tono de azul que no ocurre en ningún objeto real. Sin embargo, eso requiere negar el principio de instanciación , sostenido por la mayoría de los aristotélicos, que sostiene que todas las propiedades genuinas son instanciadas. Un filósofo aristotélico de las matemáticas que niega el principio de instanciación sobre la base de la distinción de Frege entre sentido y referencia es Donald Gillies . Ha utilizado este enfoque para desarrollar un método para tratar con cardenales transfinitos muy grandes desde un punto de vista aristotélico.
Otra objeción al aristotelismo es que las matemáticas tratan con idealizaciones del mundo físico, no con el mundo físico en sí. El propio Aristóteles era consciente del argumento de que los geómetras estudian círculos perfectos, pero los aros en el mundo real no son círculos perfectos, por lo que parece que las matemáticas deben estar estudiando algún mundo no físico (platónico). Los aristotélicos responden que las matemáticas aplicadas estudiaron aproximaciones en lugar de idealizaciones y que, como resultado, las matemáticas modernas pueden estudiar las formas complejas y otras estructuras matemáticas de las cosas reales.
Referencias
Bibliografía
- John Bigelow, 1988, La realidad de los números , Clarendon, Oxford, ISBN 9780198249573
- James Franklin, 2014, Una filosofía realista aristotélica de las matemáticas: las matemáticas como ciencia de la cantidad y la estructura , Palgrave Macmillan, Basingstoke, ISBN 9781137400727 .
- Keith Hossack, 2020, Conocimiento y filosofía del número: qué son los números y cómo se conocen , Bloomsbury, Londres, ISBN 9781350102927
- Andrew Irvine , 1990. Physicalism in Mathematics , Dordrecht, Londres, ISBN 9780792305132
- Bob Knapp, 2014, Las matemáticas son sobre el mundo , Lexington KY, ISBN 9781500551971
- Penelope Maddy, 1990, Realismo en matemáticas , Oxford University Press, Nueva York, ISBN 9780198240358
- Woosuk Park, 2018, La pérdida de la lógica de la filosofía a las matemáticas , Springer, Cham, ISBN 9783319951461