Función omega de Wright - Wright omega function

La función omega de Wright a lo largo de parte del eje real

En matemáticas , la función omega de Wright o función de Wright , denotada ω , se define en términos de la función W de Lambert como:

${\ Displaystyle \ omega (z) = W _ {{\ big \ lceil} {\ frac {\ mathrm {Im} (z) - \ pi} {2 \ pi}} {\ big \ rceil}} (e ^ { z}).}$

Usos

Una de las principales aplicaciones de esta función es la resolución de la ecuación z  = ln ( z ), ya que la única solución viene dada por z  =  e ^{−ω ( π  i )} .

y = ω ( z ) es la única solución, cuando para x  ≤ −1, de la ecuación y  + ln ( y ) =  z . Excepto en esos dos rayos, la función omega de Wright es continua , incluso analítica . ${\ Displaystyle z \ neq x \ pm i \ pi}$

Propiedades

La función omega de Wright satisface la relación . ${\ Displaystyle W_ {k} (z) = \ omega (\ ln (z) +2 \ pi ik)}$

También satisface la ecuación diferencial

${\ displaystyle {\ frac {d \ omega} {dz}} = {\ frac {\ omega} {1+ \ omega}}}$

donde ω es analítico (como se puede ver al realizar la separación de variables y recuperar la ecuación ), y como consecuencia su integral se puede expresar como: ${\ Displaystyle \ ln (\ omega) + \ omega = z}$

${\ Displaystyle \ int w ^ {n} \, dz = {\ begin {cases} {\ frac {\ omega ^ {n + 1} -1} {n + 1}} + {\ frac {\ omega ^ { n}} {n}} & {\ mbox {if}} n \ neq -1, \\\ ln (\ omega) - {\ frac {1} {\ omega}} & {\ mbox {if}} n = -1. \ End {casos}}}$

Su serie de Taylor alrededor del punto toma la forma: ${\ Displaystyle a = \ omega _ {a} + \ ln (\ omega _ {a})}$

${\ Displaystyle \ omega (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {q_ {n} (\ omega _ {a})} {(1+ \ omega _ {a} ) ^ {2n-1}}} {\ frac {(za) ^ {n}} {n!}}}$

dónde

${\ Displaystyle q_ {n} (w) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} {\ bigg \ langle} \! \! {\ bigg \ langle} {\ begin {matrix} n + 1 \\ k \ end {matriz}} {\ bigg \ rangle} \! \! {\ bigg \ rangle} (- 1) ^ {k} w ^ {k + 1}}$

en el cual

${\ displaystyle {\ bigg \ langle} \! \! {\ bigg \ langle} {\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} {\ bigg \ rangle} \! \! {\ bigg \ rangle }}$

es un número euleriano de segundo orden .

Valores

${\ Displaystyle {\ begin {array} {lll} \ omega (0) & = W_ {0} (1) & \ approx 0.56714 \\\ omega (1) & = 1 & \\\ omega (-1 \ pm i \ pi) & = - 1 & \\\ omega (- {\ frac {1} {3}} + \ ln \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) + i \ pi) & = - {\ frac {1} {3}} & \\\ omega (- {\ frac {1} {3}} + \ ln \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) -i \ pi ) & = W _ {- 1} \ left (- {\ frac {1} {3}} e ^ {- {\ frac {1} {3}}} \ right) & \ approx -2.237147028 \\\ end { formación}}}$

Parcelas

• Gráficas de la función omega de Wright en el plano complejo
• 

  z = Re ( ω ( x + i y ))

• 

  z = Im ( ω ( x + i y ))

• 

  ω ( x + i y )

Notas

Referencias

• "Sobre la función de Wright ω", Robert Corless y David Jeffrey