Integrales de Wallis - Wallis' integrals

En matemáticas , y más precisamente en análisis , las integrales de Wallis constituyen una familia de integrales introducidas por John Wallis .

Definición, propiedades básicas

Las integrales de Wallis son los términos de la secuencia definida por ${\ Displaystyle (W_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

${\ Displaystyle W_ {n} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx,}$

o equivalentemente (por la sustitución ), ${\ Displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {2}} - t}$

${\ Displaystyle W_ {n} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {n} x \, dx.}$

Los primeros términos de esta secuencia son:

${\ Displaystyle W_ {0}}$	${\ Displaystyle W_ {1}}$	${\ Displaystyle W_ {2}}$	${\ Displaystyle W_ {3}}$	${\ Displaystyle W_ {4}}$	${\ Displaystyle W_ {5}}$	${\ Displaystyle W_ {6}}$	${\ Displaystyle W_ {7}}$	${\ Displaystyle W_ {8}}$	...	${\ Displaystyle W_ {n}}$
${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {2} {3}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {3 \ pi} {16}}}$	${\ displaystyle {\ frac {8} {15}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {5 \ pi} {32}}}$	${\ displaystyle {\ frac {16} {35}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {35 \ pi} {256}}}$	...	${\ Displaystyle {\ frac {n-1} {n}} W_ {n-2}}$

La secuencia es decreciente y tiene términos positivos. De hecho, para todos ${\ Displaystyle (W_ {n})}$${\ Displaystyle n \ geq 0:}$

• ${\ Displaystyle W_ {n}> 0,}$ porque es una integral de una función continua no negativa que no es idénticamente cero;
• ${\ Displaystyle W_ {n} -W_ {n + 1} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx- \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n + 1} x \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ sin ^ {n} x) (1- \ sin x) \, dx> 0,}$ nuevamente porque la última integral es de una función continua no negativa.

Dado que la secuencia es decreciente y está limitada por debajo de 0, converge a un límite no negativo. De hecho, el límite es cero (ver más abajo). ${\ Displaystyle (W_ {n})}$

Relación de recurrencia

Mediante la integración por partes se puede obtener una relación de recurrencia . Usando la identidad , tenemos para todos , ${\ Displaystyle \ sin ^ {2} x = 1- \ cos ^ {2} x}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ sin ^ {n-2} x) (1- \ cos ^ {2} x) \, dx \\ & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} { 2}} \ sin ^ {n-2} x \, dx- \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-2} x \ cos ^ {2} x \, dx. \ qquad {\ text {Ecuación (1)}} \ end {alineado}}}$

Integrando la segunda integral por partes, con:

• ${\ Displaystyle u '(x) = \ cos (x) \ sin ^ {n-2} (x)}$ , cuyo anti-derivado es ${\ Displaystyle u (x) = {\ frac {1} {n-1}} \ sin ^ {n-1} (x)}$
• ${\ Displaystyle v (x) = \ cos (x)}$ , cuya derivada es ${\ Displaystyle v '(x) = - \ sin (x)}$

tenemos:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-2} x \ cos ^ {2} x \, dx = \ left [{\ frac {\ sin ^ {n-1} x} {n-1}} \ cos x \ right] _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} + {\ frac {1} {n-1}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n-1} x \ sin x \, dx = 0 + {\ frac {1} {n-1}} W_ {n }.}$

Sustituyendo este resultado en la ecuación (1) se obtiene

${\ Displaystyle W_ {n} = W_ {n-2} - {\ frac {1} {n-1}} W_ {n},}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle W_ {n} = {\ frac {n-1} {n}} W_ {n-2},}$

para todos ${\ Displaystyle n \ geq 2.}$

Esta es una relación de recurrencia que da en términos de . Esto, junto con los valores de y nos da dos conjuntos de fórmulas para los términos en la secuencia , dependiendo de si es par o impar: ${\ Displaystyle W_ {n}}$${\ Displaystyle W_ {n-2}}$${\ Displaystyle W_ {0}}$${\ Displaystyle W_ {1},}$${\ Displaystyle (W_ {n})}$${\ Displaystyle n}$

• ${\ Displaystyle W_ {2p} = {\ frac {2p-1} {2p}} \ cdot {\ frac {2p-3} {2p-2}} \ cdots {\ frac {1} {2}} W_ { 0} = {\ frac {(2p-1) !!} {(2p) !!}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {(2p)!} {2 ^ { 2p} (p!) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}},}$
• ${\ Displaystyle W_ {2p + 1} = {\ frac {2p} {2p + 1}} \ cdot {\ frac {2p-2} {2p-1}} \ cdots {\ frac {2} {3}} W_ {1} = {\ frac {(2p) !!} {(2p + 1) !!}} = {\ frac {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}} {(2p + 1) !}}.}$

Otra relación para evaluar las integrales de Wallis

Las integrales de Wallis se pueden evaluar utilizando integrales de Euler :

1. Integral de Euler del primer tipo : la función Beta :

   ${\ Displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \, dt = {\ frac { \ Gamma (x) \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}$ para Re ( x ), Re ( y )> 0

2. Integral de Euler del segundo tipo : la función Gamma :

   ${\ Displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, dt}$ para Re ( z )> 0 .

Si hacemos la siguiente sustitución dentro de la función Beta: obtenemos: ${\ Displaystyle \ quad \ left \ {{\ begin {matrix} t = \ sin ^ {2} u \\ 1-t = \ cos ^ {2} u \\ dt = 2 \ sin u \ cos udu \ end {matriz}} \ derecha.}$

${\ Displaystyle \ mathrm {B} (a, b) = 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {2a-1} u \ cos ^ {2b-1} u \, du,}$

entonces esto nos da la siguiente relación para evaluar las integrales de Wallis:

${\ Displaystyle W_ {n} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {B} \ left ({\ frac {n + 1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ derecha) = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {n + 1} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right)} {2 \, \ Gamma \ left ({\ tfrac {n} {2}} + 1 \ right)}}.}$

Entonces, por extraño que parezca , tenemos: ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = 2p + 1}$

${\ Displaystyle W_ {2p + 1} = {\ frac {\ Gamma \ left (p + 1 \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {2 \, \ Gamma \ left (p + 1 + {\ frac {1} {2}} \ right)}} = {\ frac {p! \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {( 2p + 1) \, \ Gamma \ left (p + {\ frac {1} {2}} \ right)}} = {\ frac {2 ^ {p} \; p!} {(2p + 1) !! }} = {\ frac {2 ^ {2 \, p} \; (p!) ^ {2}} {(2p + 1)!}}}$

mientras que incluso , escribiendo y sabiendo eso , obtenemos: ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = 2p}$${\ Displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) = {\ sqrt {\ pi}}}$

${\ Displaystyle W_ {2p} = {\ frac {\ Gamma \ left (p + {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {2 \, \ Gamma \ left (p + 1 \ right)}} = {\ frac {(2p-1) !! \; \ pi} {2 ^ {p + 1} \; p!}} = { \ frac {(2p)!} {2 ^ {2 \, p} \; (p!) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}}.}$

Equivalencia

• De la fórmula de recurrencia anterior , podemos deducir que ${\ Displaystyle \ mathbf {(2)}}$

${\ Displaystyle \ W_ {n + 1} \ sim W_ {n}}$ (equivalencia de dos secuencias).

De hecho, para todos  : ${\ Displaystyle n \ in \, \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle \ W_ {n + 2} \ leqslant W_ {n + 1} \ leqslant W_ {n}}$ (ya que la secuencia es decreciente)

${\ Displaystyle {\ frac {W_ {n + 2}} {W_ {n}}} \ leqslant {\ frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} \ leqslant 1}$ (desde ) ${\ Displaystyle \ W_ {n}> 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {n + 1} {n + 2}} \ leqslant {\ frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} \ leqslant 1}$ (por ecuación ). ${\ Displaystyle \ mathbf {(2)}}$

Mediante el teorema del sándwich , concluimos que , y por tanto . ${\ Displaystyle {\ frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} \ to 1}$${\ Displaystyle \ W_ {n + 1} \ sim W_ {n}}$

• Al examinar , se obtiene la siguiente equivalencia: ${\ Displaystyle W_ {n} W_ {n + 1}}$

${\ Displaystyle W_ {n} \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2 \, n}}} \ quad}$ (y consecuentemente ). ${\ Displaystyle \ quad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt {n}} \, W_ {n} = {\ sqrt {\ pi / 2}} \ quad}$

Deduciendo la fórmula de Stirling

Supongamos que tenemos la siguiente equivalencia (conocida como fórmula de Stirling ):

${\ Displaystyle n! \ sim C {\ sqrt {n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n},}$

para alguna constante que deseamos determinar. Desde arriba, tenemos ${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle W_ {2p} \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {4p}}} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {p}}}}}$ (ecuación (3))

Al expandir y usar la fórmula anterior para los factoriales, obtenemos ${\ Displaystyle W_ {2p}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} W_ {2p} & = {\ frac {(2p)!} {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} { 2}} \\ & \ sim {\ frac {C \ left ({\ frac {2p} {e}} \ right) ^ {2p} {\ sqrt {2p}}} {2 ^ {2p} C ^ { 2} \ left ({\ frac {p} {e}} \ right) ^ {2p} \ left ({\ sqrt {p}} \ right) ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}} \\ & = {\ frac {\ pi} {C {\ sqrt {2p}}}}. {\ Text {(ecuación (4))}} \ end {alineado}}}$

De (3) y (4), obtenemos por transitividad:

${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {C {\ sqrt {2p}}}} \ sim {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {p}}}}.}$

Resolver para da En otras palabras, ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C = {\ sqrt {2 \ pi}}.}$

${\ Displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}.}$

Evaluación de la integral gaussiana

La integral gaussiana se puede evaluar mediante el uso de integrales de Wallis.

Primero probamos las siguientes desigualdades:

• ${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ forall u \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad u \ leqslant n \ quad \ Rightarrow \ quad (1-u / n) ^ {n} \ leqslant e ^ {- u}}$
• ${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ forall u \ in \ mathbb {R} _ {+} \ qquad e ^ {- u} \ leqslant (1 + u / n) ^ {- n}}$

De hecho, dejando , la primera desigualdad (en la cual ) es equivalente a ; mientras que la segunda desigualdad se reduce a , que se convierte en . Estas 2 últimas desigualdades se derivan de la convexidad de la función exponencial (o de un análisis de la función ). ${\ Displaystyle \ quad u / n = t}$${\ Displaystyle t \ in [0,1]}$${\ Displaystyle 1-t \ leqslant e ^ {- t}}$${\ Displaystyle e ^ {- t} \ leqslant (1 + t) ^ {- 1}}$${\ Displaystyle e ^ {t} \ geqslant 1 + t}$${\ Displaystyle t \ mapsto e ^ {t} -1-t}$

Dejando y haciendo uso de las propiedades básicas de las integrales impropias (la convergencia de las integrales es obvio), obtenemos las desigualdades: ${\ Displaystyle u = x ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ sqrt {n}} (1-x ^ {2} / n) ^ {n} dx \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ sqrt {n}} e ^ {- x ^ {2}} dx \ leqslant \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx \ leqslant \ int _ {0} ^ {+ \ infty} ( 1 + x ^ {2} / n) ^ {- n} dx}$ para usar con el teorema del sándwich (as ). ${\ Displaystyle n \ to \ infty}$

Las primeras y últimas integrales se pueden evaluar fácilmente usando las integrales de Wallis. Para el primero, dejemos (t variando de 0 a ). Entonces, la integral se convierte en . Para la última integral, deje (t variando de a ). Entonces, se convierte en . ${\ Displaystyle x = {\ sqrt {n}} \, \ sin \, t}$${\ Displaystyle \ pi / 2}$${\ Displaystyle {\ sqrt {n}} \, W_ {2n + 1}}$${\ Displaystyle x = {\ sqrt {n}} \, \ tan \, t}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ pi / 2}$${\ Displaystyle {\ sqrt {n}} \, W_ {2n-2}}$

Como hemos demostrado antes, . Entonces, sigue eso . ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt {n}} \; W_ {n} = {\ sqrt {\ pi / 2}}}$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}} / 2}$

Observación: Existen otros métodos para evaluar la integral gaussiana. Algunos de ellos son más directos .

Nota

Las mismas propiedades conducen al producto Wallis , que se expresa (ver ) en forma de un producto infinito . ${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} \,}$${\ Displaystyle \ pi}$

enlaces externos

• Pascal Sebah y Xavier Gourdon. Introducción a la función Gamma . En formatos PostScript y HTML .