La desigualdad de von Neumann - Von Neumann's inequality

En la teoría del operador , la desigualdad de von Neumann , debida a John von Neumann , establece que, para una contracción fija T , el mapa de cálculo funcional polinomial es en sí mismo una contracción.

Declaración formal

Para una contracción T que actúa sobre un espacio de Hilbert y un polinomio p , entonces la norma de p ( T ) está limitada por el supremo de | p ( z ) | para z en el disco de la unidad ".

Prueba

La desigualdad se puede probar considerando la dilatación unitaria de T , para la cual la desigualdad es obvia.

Generalizaciones

Esta desigualdad es un caso específico de la conjetura de Matsaev. Es decir, para cualquier polinomio P y contracción T en${\ Displaystyle L ^ {p}}$

${\ Displaystyle || P (T) || _ {L ^ {p} \ to L ^ {p}} \ leq || P (S) || _ {\ ell ^ {p} \ to \ ell ^ { pags}}}$

donde S es el operador de cambio a la derecha. La desigualdad de von Neumann demuestra que es cierta para y para y es verdadera mediante un cálculo sencillo. SW Drury demostró en 2011 que la conjetura falla en el caso general. ${\ Displaystyle p = 2}$${\ Displaystyle p = 1}$${\ Displaystyle p = \ infty}$

Referencias