Transposición (lógica) - Transposition (logic)

En la lógica proposicional , la transposición es una regla válida de reemplazo que permite cambiar el antecedente con el consecuente de un enunciado condicional en una prueba lógica si ambos también se niegan . Es la inferencia de la verdad de " A implica B " a la verdad de "No- B implica no- A ", y viceversa. Está muy relacionado con la regla de inferencia modus tollens . Es la regla que

${\ Displaystyle (P \ to Q) \ Leftrightarrow (\ neg Q \ to \ neg P)}$

donde " " es un símbolo metalológico que representa "se puede reemplazar en una prueba con". ${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$

Notación formal

La regla de transposición puede expresarse como una secuencia :

{\ Displaystyle (P \ a Q) \ vdash (\ neg Q \ to \ neg P)}

donde es un significado de símbolo metalógico que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico; ${\ Displaystyle \ vdash}$ ${\ Displaystyle (\ neg Q \ to \ neg P)}$ ${\ Displaystyle (P \ a Q)}$

o como regla de inferencia:

{\ Displaystyle {\ frac {P \ to Q} {\ por lo tanto \ neg Q \ to \ neg P}}}

donde la regla es que siempre que aparezca una instancia de " " en una línea de una prueba, se puede reemplazar con " "; ${\ Displaystyle P \ a Q}$ ${\ Displaystyle \ neg Q \ a \ neg P}$

o como el enunciado de una tautología funcional de verdad o teorema de lógica proposicional. El principio fue establecido como un teorema de lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como:

{\ Displaystyle (P \ a Q) \ a (\ neg Q \ a \ neg P)}

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal . ${\ Displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

Lógica tradicional

Forma de transposición

En la proposición inferida, el consecuente es el contradictorio del antecedente en la proposición original, y el antecedente de la proposición inferida es el contradictorio del consecuente de la proposición original. El símbolo de implicación material significa la proposición como una forma hipotética, o la forma "si-entonces", por ejemplo, "si P entonces Q".

El enunciado bicondicional de la regla de transposición (↔) se refiere a la relación entre proposiciones hipotéticas (→) , y cada proposición incluye un término antecedente y consecuente. Como cuestión de inferencia lógica, transponer o convertir los términos de una proposición requiere la conversión de los términos de las proposiciones en ambos lados de la relación bicondicional. Es decir, transponer o convertir (P → Q) a (Q → P) requiere que la otra proposición, (~ Q → ~ P), sea transpuesta o convertida a (~ P → ~ Q). De lo contrario, convertir los términos de una proposición y no la otra invalida la regla, violando la condición suficiente y la condición necesaria de los términos de las proposiciones, donde la violación es que la proposición modificada comete la falacia de negar el antecedente o afirmar el consecuente mediante conversión ilícita .

La verdad de la regla de transposición depende de las relaciones de condición suficiente y condición necesaria en lógica.

Condición suficiente

En la proposición "Si P, entonces Q", la aparición de 'P' es razón suficiente para la aparición de 'Q'. 'P', como individuo o clase, implica materialmente a 'Q', pero la relación de 'Q' con 'P' es tal que la proposición inversa "Si Q entonces P" no tiene necesariamente una condición suficiente. La regla de inferencia para la condición suficiente es modus ponens , que es un argumento para la implicación condicional:

Premisa (1): Si P, entonces Q

Premisa (2): P

Conclusión: Por lo tanto, Q

Condición necesaria

Dado que lo contrario de la premisa (1) no es válido, todo lo que se puede afirmar de la relación de 'P' y 'Q' es que en ausencia de 'Q', 'P' no ocurre, lo que significa que 'Q' es la condición necesaria para 'P'. La regla de inferencia para la condición necesaria es modus tollens :

Premisa (1): Si P, entonces Q

Premisa (2): no Q

Conclusión: Por lo tanto, no P

Ejemplo de necesidad y suficiencia

Un ejemplo utilizado tradicionalmente por los lógicos que contrasta las condiciones suficientes y necesarias es la declaración "Si hay fuego, entonces hay oxígeno". Un ambiente oxigenado es necesario para el fuego o la combustión, pero el simple hecho de que haya un ambiente oxigenado no significa necesariamente que se esté produciendo un incendio o una combustión. Si bien se puede inferir que el fuego estipula la presencia de oxígeno, de la presencia de oxígeno no se puede inferir lo contrario "Si hay oxígeno presente, entonces hay fuego". Todo lo que se puede inferir de la proposición original es que "si no hay oxígeno, entonces no puede haber fuego".

Relación de proposiciones

El símbolo para el bicondicional ("↔") significa que la relación entre las proposiciones es necesaria y suficiente, y se verbaliza como " si y solo si ", o, según el ejemplo "Si P entonces Q 'si y solo si' si no es Q, entonces no P ".

Las condiciones necesarias y suficientes pueden explicarse por analogía en términos de los conceptos y las reglas de inferencia inmediata de la lógica tradicional. En la proposición categórica "Todo S es P", se dice que el término sujeto 'S' está distribuido, es decir, todos los miembros de su clase están agotados en su expresión. A la inversa, no se puede decir que el término predicado 'P' esté distribuido o agotado en su expresión porque no está determinado si cada instancia de un miembro de 'P' como clase es también miembro de 'S' como clase. Todo lo que se puede inferir válidamente es que "Algunos P son S". Por tanto, la proposición de tipo 'A' "Todo P es S" no puede inferirse por conversión de la proposición de tipo 'A' original "Todo S es P". Todo lo que se puede inferir es la proposición de tipo "A" "Todo lo que no es P es no S" (Tenga en cuenta que (P → Q) y (~ Q → ~ P) son proposiciones de tipo 'A'). Gramaticalmente, no se puede inferir "todos los mortales son hombres" de "Todos los hombres son mortales". Una proposición de tipo 'A' solo puede inferirse inmediatamente por conversión cuando tanto el sujeto como el predicado están distribuidos, como en la inferencia "Todos los solteros son hombres solteros" de "Todos los hombres solteros son solteros".

Transposición y método de contraposición.

En la lógica tradicional, el proceso de razonamiento de transposición como regla de inferencia se aplica a proposiciones categóricas mediante contraposición y obversión , una serie de inferencias inmediatas donde la regla de obversión se aplica primero a la proposición categórica original "Todo S es P"; produciendo el anverso "No S es no P". En la obversión de la proposición original a una proposición de tipo 'E', ambos términos se distribuyen. A continuación, se convierte el anverso, lo que da como resultado "No no P es S", manteniendo la distribución de ambos términos. El No, no-P es S "se obvierte nuevamente, resultando en el [contrapositivo]" Todo lo que no es P es no-S ". Dado que no se dice nada en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida, es Es permisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio, y el término predicado de la proposición de tipo 'A' resultante vuelve a no estar distribuido. Esto da como resultado dos contrapositivos, uno donde el término predicado está distribuido y otro donde el término predicado no está distribuido. .

Diferencias entre transposición y contraposición

Tenga en cuenta que el método de transposición y contraposición no debe confundirse. La contraposición es un tipo de inferencia inmediata en la que de una proposición categórica dada se infiere otra proposición categórica que tiene como sujeto la contradictoria del predicado original. Dado que nada se dice en la definición de contraposición con respecto al predicado de la proposición inferida, es permisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio. Esto contradice la forma de las proposiciones de transposición, que pueden ser una implicación material o un enunciado hipotético. La diferencia es que en su aplicación a proposiciones categóricas, el resultado de la contraposición son dos contrapositivos, cada uno de los cuales es obvio del otro, es decir, "Ningún no-P es S" y "Todo lo que no es P es no-S". La distinción entre los dos contrapositivos es absorbida y eliminada en el principio de transposición, que presupone las "inferencias mediatas" de la contraposición y también se conoce como la "ley de la contraposición".

Transposición en lógica matemática

Ver Transposición (matemáticas) , Teoría de conjuntos

Pruebas


Proposición	Derivación
${\ Displaystyle P \ rightarrow Q}$	Dado
${\ Displaystyle \ neg P \ lor Q}$	Implicación material
${\ Displaystyle Q \ lor \ neg P}$	Conmutatividad
${\ Displaystyle \ neg \ neg Q \ lor \ neg P}$	Doble negación
${\ Displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$	Implicación material

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos al estilo de Hilbert para la lógica proposicional, solo un lado de la transposición se toma como axioma y el otro es un teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1.

{\ Displaystyle \ phi \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}

A2.

{\ Displaystyle \ left (\ phi \ to \ left (\ psi \ rightarrow \ xi \ right) \ right) \ to \ left (\ left (\ phi \ to \ psi \ right) \ to \ left (\ phi \ a \ xi \ derecha) \ derecha)}

A3.

{\ Displaystyle \ left (\ lnot \ phi \ to \ lnot \ psi \ right) \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}

(A3) ya da una de las direcciones de la transposición. El otro lado, si se demuestra a continuación, utilizando los siguientes lemas probados aquí : ${\ Displaystyle (\ psi \ to \ phi) \ to (\ neg \ phi \ to \ neg \ psi)}$

(DN1) - Doble negación (una dirección)

{\ Displaystyle \ neg \ neg p \ to p}

(DN2) - Doble negación (otra dirección)

{\ Displaystyle p \ to \ neg \ neg p}

(HS1) - una forma de silogismo hipotético

{\ Displaystyle (q \ to r) \ to ((p \ to q) \ to (p \ to r))}

(HS2) - otra forma de silogismo hipotético.

{\ Displaystyle (p \ to q) \ to ((q \ to r) \ to (p \ to r))}

También usamos el método del metateorema del silogismo hipotético como una forma abreviada de varios pasos de prueba.

La prueba es como sigue:

(1) (instancia del (DN2))

{\ Displaystyle q \ to \ neg \ neg q}

(2) (instancia del (HS1)

{\ Displaystyle (q \ to \ neg \ neg q) \ to ((p \ to q) \ to (p \ to \ neg \ neg q))}

(3) (de (1) y (2) por modus ponens)

{\ Displaystyle (p \ to q) \ to (p \ to \ neg \ neg q)}

(4) (instancia del (DN1))

{\ Displaystyle \ neg \ neg p \ to p}

(5) (instancia del (HS2))

{\ Displaystyle (\ neg \ neg p \ to p) \ to ((p \ to \ neg \ neg q) \ to (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q))}

(6) (de (4) y (5) por modus ponens)

{\ Displaystyle (p \ to \ neg \ neg q) \ to (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q)}

(7) (de (3) y (6) utilizando el metateorema del silogismo hipotético)

{\ Displaystyle (p \ to q) \ to (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q)}

(8) (instancia de (A3))

{\ Displaystyle (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q) \ to (\ neg q \ to \ neg p)}

(9) (de (7) y (8) usando el metateorema del silogismo hipotético)

{\ Displaystyle (p \ to q) \ to (\ neg q \ to \ neg p)}

Ver también

Contraposición (lógica tradicional)

Referencias

Otras lecturas

Brody, Bobuch A. "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de Filosofía. Vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973.
Irving M. Copi; Carl Cohen; Victor Rodych (9 de septiembre de 2016). Introducción a la lógica . Taylor y Francis. ISBN 978-1-315-51087-3.
Copi, Irving. Lógica simbólica . MacMillan, 1979, quinta edición.
Previo, AN "Lógica, Tradicional". Enciclopedia de Filosofía , Vol. 5, Macmillan, 1973.
Stebbing, Susan . Una introducción moderna a la lógica . Harper, 1961, séptima edición

enlaces externos

Transposición incorrecta (archivos de falacia)

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