Objetos iniciales y terminales - Initial and terminal objects

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto inicial de una categoría $C$ es un objeto $I$ en $C$ tal que para cada objeto $X$ en $C$ , existe precisamente una morfismo $I \to X$ .

El doble noción es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal ): $T$ es terminal si para cada objeto $X$ de $C$ existe exactamente un morfismo $X \to T$ . Los objetos iniciales también se denominan coterminales o universales , y los objetos terminales también se denominan finales .

Si un objeto es tanto inicial como terminal, se denomina objeto cero u objeto nulo . Una categoría puntiaguda es aquella con un objeto cero.

Un objeto inicial estricto $I$ es aquel para el que todo morfismo en $I$ es un isomorfismo .

Ejemplos

El conjunto vacío es el objeto inicial único en Conjunto , la categoría de conjuntos . Cada conjunto de un elemento ( singleton ) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. De manera similar, el espacio vacío es el objeto inicial único en Top , la categoría de espacios topológicos y cada espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el objeto inicial único, el objeto terminal único y, por tanto, el objeto cero único.

Morfismos de conjuntos puntiagudos. La imagen también se aplica a objetos cero algebraicos.

En la categoría de conjuntos puntiagudos (cuyos objetos son conjuntos no vacíos junto con un elemento distinguido; un morfismo de $(A, a)$ a $(B, b)$ es una función $f : A \to B$ con $f (a) = b$ ) , cada singleton es un objeto cero. De manera similar, en la categoría de espacios topológicos puntiagudos , cada singleton es un objeto cero.
En Grp , la categoría de grupos , cualquier grupo trivial es un objeto cero. El álgebra trivial también es un objeto cero en Ab , la categoría de grupos abelianos , Rng la categoría de pseudoanillos , R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo y K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo. . Consulte Objeto cero (álgebra) para obtener más detalles. Este es el origen del término "objeto cero".
En Ring , la categoría de anillos con unidad y morfismos que preservan la unidad, el anillo de números enteros Z es un objeto inicial. El anillo cero que consta de un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
En Rig , la categoría de plataformas con unidad y morfismos que preservan la unidad, la plataforma de números naturales N es un objeto inicial. La plataforma cero, que es el anillo cero , que consta de un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
En Campo , la categoría de campos , no hay objetos iniciales o terminales. Sin embargo, en la subcategoría de campos de característica fija, el campo principal es un objeto inicial.
Cualquier conjunto parcialmente ordenado $(P, \leq)$ se puede interpretar como una categoría: los objetos son los elementos de $P$ , y no hay un único morfismo de $x$ a $y$ si y sólo si $x \leq y$ . Esta categoría tiene un objeto inicial si y solo si $P$ tiene un elemento mínimo ; tiene un objeto terminal si y solo si $P$ tiene un elemento mayor .
Cat , la categoría de pequeñas categorías con functores como morfismos tiene la categoría vacía, 0 (sin objetos y sin morfismos), como objeto inicial y la categoría terminal, 1 (con un solo objeto con un solo morfismo de identidad), como objeto terminal .
En la categoría de esquemas , Spec ( Z ), el espectro principal del anillo de números enteros, es un objeto terminal. El esquema vacío (igual al espectro principal del anillo cero ) es un objeto inicial.
Un límite de un diagrama de F se puede caracterizar como un objeto terminal en la categoría de los conos a F . Del mismo modo, un colimit de F se puede caracterizar como un objeto inicial en la categoría de los compañeros de conos de F .

Propiedades

Existencia y singularidad

No es necesario que los objetos iniciales y terminales existan en una categoría determinada. Sin embargo, si existen, son esencialmente únicos. Específicamente, si $I 1$ e $I 2$ son dos objetos iniciales diferentes, entonces existe un isomorfismo único entre ellos. Además, si $I$ es un objeto inicial, cualquier objeto isomorfo a $I$ también es un objeto inicial. Lo mismo ocurre con los objetos terminales.

Para categorías completas, existe un teorema de existencia para objetos iniciales. Específicamente, un ( localmente pequeña ) categoría completa de $C$ tiene un objeto inicial si y sólo si existe un conjunto $I$ ( no una clase adecuada ) y una $I$ - familia de conjuntos $(K i)$ de objetos de $C$ tal que para cualquier objeto $X$ de $C$ , hay al menos un morfismo $K i \to X$ para algunos $i \in I$ .

Formulaciones equivalentes

Objetos terminal en una categoría $C$ también pueden ser definidos como límites del vacío único diagrama de $0 \to C$ . Dado que la categoría vacía es una categoría discreta , un objeto terminal se puede considerar como un producto vacío (un producto es de hecho el límite del diagrama discreto ${X i}$ , en general). Dualmente, un objeto inicial es un colimit del diagrama vacío $0 \to C$ y puede considerarse como un coproducto vacío o una suma categórica.

De ello se deduce que cualquier funtor que conserve los límites llevará los objetos terminales a los objetos terminales, y cualquier funtor que conserve los colimits llevará los objetos iniciales a los objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el functor libre , al quedar contiguo al functor olvidadizo de Set , conserva colimits).

Los objetos iniciales y terminales también pueden caracterizarse en términos de propiedades universales y functores adjuntos . Sea 1 la categoría discreta con un solo objeto (denotado por •), y sea $U : C \to 1$ el funtor único (constante) de 1 . Entonces

Un objeto inicial $I$ en $C$ es un morfismo universales a partir de • $T$ . El functor que envía a • $Me$ está adjunto izquierdo T .
Un objeto terminal $T$ en $C$ es un morfismo universal de $U$ a •. El functor que envía a • $T$ es adjunto derecho a $T$ .

Relación con otras construcciones categóricas

Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías pueden formularse en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.

Un morfismo universal de un objeto $X$ a un functor $U$ se puede definir como un objeto inicial en la categoría de coma $(X ↓ U)$ . Dualmente, un morfismo universal de $U$ a $X$ es un objeto terminal en $(U ↓ X)$ .
El límite de un diagrama de $F$ es un objeto terminal en $Cone (F)$ , la categoría de los conos a $F$ . Dually, un colimit de $F$ es un objeto inicial en la categoría de los conos de $F$ .
Una representación de un funtor $F$ a Set es un objeto inicial en la categoría de los elementos de $F$ .
La noción de functor final (respectivamente, functor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (respectivamente, objeto inicial).

Otras propiedades

El monoide de endomorfismo de un objeto inicial o terminal $I$ es trivial: $Fin (I) = Hom (I, I) = {id I}$ .
Si una categoría $C$ tiene un objeto de cero $0$ , entonces para cualquier par de objetos $X$ y $Y$ en $C$ , la composición única $X \to 0 \to Y$ es un morfismo cero de $X$ a $Y$ .

Referencias

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Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .
Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001 .
Este artículo se basa en parte en el artículo de PlanetMath sobre ejemplos de objetos iniciales y terminales .

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