Termial - Termial

En matemáticas , el término de un entero positivo $n$ , denotado por $n ?$ , es la suma de todos los números enteros positivos menores o iguales $an$ . Por ejemplo,

{\ Displaystyle 5? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \ ,.}

¿El valor de $0?$ es $0$ , según la convención para una suma vacía .

La palabra termial fue acuñada por Donald E. Knuth en su The Art of Computer Programming . Es el análogo aditivo de la función factorial , que es el producto de números enteros de $1$ a $n$ . Lo usó para ilustrar la extensión del dominio de números enteros positivos a números reales .

El término de números enteros positivos también se conoce como números triangulares . Los primeros (secuencia A000217 en la OEIS ) a

Historia

Desde el siglo XVIII, Leonhard Euler y algunos otros matemáticos habían estado tratando de extender el dominio de la función factorial a números reales o incluso a números complejos , y finalmente propusieron la función Gamma . En 1997, Donald E. Knuth introdujo la función termal $n ?$ en su El arte de la programación informática , como análogo de factorial además , para ilustrar el significado de extensión de dominio.

Definición

La función termial está definida por la suma

{\ Displaystyle n? = 1 + 2 + 3 + \ cdots + (n-2) + (n-1) + n \ ,,}

inicialmente para un número entero $n \geq 1$ . Esto se puede escribir en la notación de suma Sigma como

{\ Displaystyle n? = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i.}

De estas fórmulas, se puede derivar la relación de recurrencia

{\ Displaystyle n? = n + (n-1)? \ ,.}

Por ejemplo, uno tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 5? & = 5 + 4? \\ 6? & = 6 + 5? \\ 50? & = 50 + 49? \ end {alineado}}}

y así.

La función termal se puede calcular usando la fórmula de suma para la secuencia aritmética :

{\ Displaystyle n? = {\ frac {n (n + 1)} {2}} \ ,.}

Por ejemplo ,. ${\ displaystyle 100? = {\ frac {100 \ times 101} {2}} = 5050}$

Término de cero

Para que la relación de recurrencia se extienda a $n = 0$ , es necesario definir

{\ Displaystyle 0? = 0}

así que eso

{\ Displaystyle 1? = 1 + 0? = 1.}

Término de un no entero

La función termial también se puede definir para valores no enteros usando la fórmula . ${\ Displaystyle n? = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}$

Por ejemplo ,. ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)? = {\ frac {3} {8}}}$

Aplicaciones

Termial se usa con menos frecuencia en matemáticas, pero aún tiene algunos usos en campos como la combinatoria .

Para un conjunto de $n$ elementos distintos, ¿el número de $2$ - combinaciones (es decir, el número de formas de elegir 2 de ellos) es igual a $(n - 1)?$ . Esto es para decir

{\ Displaystyle {n \ Choose 2} = (n-1)? \ ,.}

Al jugar cuatro cuatros , el término termial puede ser una herramienta útil para encontrar la expresión requerida, especialmente cuando las reglas no permiten el uso del punto decimal y la raíz cuadrada (lo cual se debe a que los números $0$ y $2$ se usan de manera invisible). Por ejemplo,

{\ Displaystyle 13 = 4? + 4-4 \ div 4}

{\ Displaystyle 18 = 4! +4? -4 \ times 4}

Sumas y funciones de tipo termial

Termal doble

Similar al factorial doble, la suma de todos los enteros impares hasta algún entero positivo impar $n$ se llama el termal doble de $n$ , y se denota por $n ??$ . Es decir,

{\ Displaystyle (2k-1) ?? = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \ cdots + (2k-3) + (2k-1) \ ,.}

Por ejemplo ,. ${\ displaystyle 9 ?? = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25}$

La secuencia de término doble para $n = 1, 3, 5, 7, ...$ es la secuencia de números cuadrados . Comienza como

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (secuencia A000290 en la OEIS )

Primial

Primial puede introducirse como un análogo de primorial y denotado por $n §$ . Se define como la suma de números primos menores o iguales $an$ , es decir

{\ Displaystyle n \ S = p _ {\ pi (n)} \ S = \ sum _ {i = 1} ^ {\ pi (n)} p_ {i} \ ,,}

donde es la función de conteo de primos . ${\ Displaystyle \ pi (n)}$

Por ejemplo ,. ${\ Displaystyle 11 \ S = p_ {5} \ S = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28}$

Los primeros resultados son

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41, ... (secuencia A007504 en la OEIS )

Termial recíproco

Término recíproco se define como la suma del recíproco de los primeros $n$ números enteros positivos. Es igual al n -ésimo número armónico .

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = H_ {n}.}

Por ejemplo, ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {1} {i}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {11} {6}}.}$

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