Métodos de simetrización - Symmetrization methods

En matemáticas, los métodos de simetrización son algoritmos para transformar un conjunto en una bola con el mismo volumen y centrada en el origen. B se llama la versión simétrizada de A , generalmente denotada . Estos algoritmos se muestran al resolver el problema clásico de desigualdad isoperimétrica , que pregunta: Dadas todas las formas bidimensionales de un área determinada, cuál de ellas tiene el perímetro mínimo (para más detalles, consulte Desigualdad isoperimétrica ). La respuesta conjeturada fue el disco y Steiner en 1838 demostró que esto era cierto utilizando el método de simetrización de Steiner (descrito a continuación). De esto surgieron muchos otros problemas isoperimétricos y otros algoritmos de simetrización. Por ejemplo, la conjetura de Rayleigh es que el primer valor propio del problema de Dirichlet se minimiza para la pelota (consulte la desigualdad de Rayleigh-Faber-Krahn para obtener detalles). Otro problema es que la capacidad newtoniana de un conjunto A se minimiza y esto lo demostraron Polya y G. Szego (1951) mediante la simetrización circular (que se describe a continuación). ${\ Displaystyle A \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle B \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {vol} (B) = \ operatorname {vol} (A)}$${\ Displaystyle A ^ {*}}$${\ Displaystyle A ^ {*}}$

Simetrización

Si es medible, entonces se denota mediante la versión simétrica de, es decir, una pelota tal que . Denotamos por el reordenamiento decreciente simétrico de la función medible no negativa f y la definimos como , donde es la versión simétrica del conjunto de preimágenes . Los métodos descritos a continuación se han demostrado para transformar a es decir, considerando una secuencia de transformaciones de simetrización hay , donde es la distancia Hausdorff (para la discusión y pruebas ver Burchard (2009) ) ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {*}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {*}: = B_ {r} (0) \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ operatorname {vol} (\ Omega ^ {*}) = \ operatorname {vol} (\ Omega)}$${\ Displaystyle f ^ {*}}$${\ Displaystyle f ^ {*} (x): = \ int _ {0} ^ {\ infty} 1 _ {\ {y: f (y)> t \} ^ {*}} (x) \, dt}$${\ Displaystyle \ {y: f (y)> t \} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ {y: f (y)> t \}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {*}}$${\ Displaystyle \ {T_ {k} \}}$${\ Displaystyle \ lim \ limits _ {k \ to \ infty} d_ {Ha} (\ Omega ^ {*}, T_ {k} (K)) = 0}$${\ Displaystyle d_ {Ha}}$error de harvtxt: sin destino: CITEREFBurchard2009 ( ayuda )

Simetrización Steiner

La simetrización de Steiner fue introducida por Steiner (1838) para resolver el teorema isoperimétrico mencionado anteriormente. Sea un hiperplano a través del origen. Espacio girar de modo que es el ( es el n ° de coordenadas en ) hiperplano. Para cada dejar que la línea perpendicular a través de be . Luego, reemplazando cada uno por una línea centrada en H y con longitud , obtenemos la versión simétrizada de Steiner. ${\ Displaystyle H \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle x_ {n} = 0}$${\ Displaystyle x_ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x \ in H}$${\ Displaystyle x \ in H}$${\ Displaystyle L_ {x} = \ {x + ye_ {n}: y \ in \ mathbb {R} \}}$${\ Displaystyle \ Omega \ cap L_ {x}}$${\ Displaystyle | \ Omega \ cap L_ {x} |}$

${\ Displaystyle \ operatorname {St} (\ Omega): = \ {x + ye_ {n}: x + ze_ {n} \ in \ Omega {\ text {para algunos}} z {\ text {y}} | y | \ leq {\ frac {1} {2}} | \ Omega \ cap L_ {x} | \}.}$

Se denota mediante la simetrización de Steiner wrt a hiperplano de función medible no negativa y para fijo definirlo como ${\ Displaystyle \ operatorname {St} (f)}$${\ Displaystyle x_ {n} = 0}$${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}}$

${\ Displaystyle St: f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}, \ cdot) \ mapsto (f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n-1}, \ cdot)) ^ {*}.}$

Propiedades

• Conserva la convexidad: si es convexo, entonces también es convexo.${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle St (\ Omega)}$
• Es lineal: .${\ Displaystyle St (x + \ lambda \ Omega) = St (x) + \ lambda St (\ Omega)}$
• Super-aditivo: .${\ Displaystyle St (K) + St (U) \ subset St (K + U)}$

Simetrización circular

Un método popular de simetrización en el plano es la simetrización circular de Polya. Posteriormente, se describirá su generalización a dimensiones superiores. Sea un dominio; entonces su simetrización circular con respecto al eje real positivo se define como sigue: ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Circ} (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {t}: = \ {\ theta \ in [0,2 \ pi]: te ^ {i \ theta} \ in \ Omega \}}$

es decir, contienen los arcos de radio t contenidos en . Entonces esta definido ${\ Displaystyle \ Omega}$

• Si es el círculo completo, entonces .${\ Displaystyle \ Omega _ {t}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Circ} (\ Omega) \ cap \ {| z | = t \}: = \ {| z | = t \}}$
• Si la longitud es , entonces .${\ Displaystyle m (\ Omega _ {t}) = \ alpha}$${\ Displaystyle \ operatorname {Circ} (\ Omega) \ cap \ {| z | = t \}: = \ {te ^ {i \ theta}: | \ theta | <{\ frac {\ alpha} {2} } \}}$
• ${\ Displaystyle 0, \ infty \ in \ operatorname {Circ} (\ Omega)}$iff .${\ Displaystyle 0, \ infty \ in \ Omega}$

En dimensiones superiores , su simetrización esférica con respecto al eje positivo de se define de la siguiente manera: Sea, es decir, contenga las tapas de radio r contenidas en . Además, para la primera coordenada sea if . Así que como arriba ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle Sp ^ {n} (\ Omega)}$${\ Displaystyle x_ {1}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {r}: = \ {x \ in \ mathbb {S} ^ {n-1}: rx \ in \ Omega \}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ operatorname {ángulo} (x_ {1}): = \ theta}$${\ Displaystyle x_ {1} = rcos \ theta}$

• Si es el límite completo, entonces .${\ Displaystyle \ Omega _ {r}}$${\ Displaystyle Sp ^ {n} (\ Omega) \ cap \ {| z | = r \}: = \ {| z | = r \}}$
• Si el área de la superficie es , entonces y dónde se elige para que sea su área de superficie . En palabras, es una tapa simétrica alrededor del eje positivo con la misma área que la intersección .${\ Displaystyle m_ {s} (\ Omega _ {t}) = \ alpha}$${\ Displaystyle Sp ^ {n} (\ Omega) \ cap \ {| z | = r \}: = \ {x: | x | = r}$${\ Displaystyle 0 \ leq \ operatorname {ángulo} (x_ {1}) \ leq \ theta _ {\ alpha} \} =: C (\ theta _ {\ alpha})}$${\ Displaystyle \ theta _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle m_ {s} (C (\ theta _ {\ alpha}) = \ alpha}$${\ Displaystyle C (\ theta _ {\ alpha})}$${\ Displaystyle x_ {1}}$${\ Displaystyle \ Omega \ cap \ {| z | = r \}}$
• ${\ Displaystyle 0, \ infty \ in Sp ^ {n} (\ Omega)}$iff .${\ Displaystyle 0, \ infty \ in \ Omega}$

Polarización

Sea un dominio y sea ​​un hiperplano a través del origen. Denote la reflexión a través de ese plano al semiespacio positivo como o simplemente cuando sea claro en el contexto. Además, el hiperplano H reflejado a través se define como . Entonces, el polarizado se denota y se define como sigue ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle H ^ {n-1} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {+}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {H}}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ sigma \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {\ sigma}}$

• Si , entonces .${\ Displaystyle x \ in \ Omega \ cap \ mathbb {H} ^ {+}}$${\ Displaystyle x \ in \ Omega ^ {\ sigma}}$
• Si , entonces .${\ Displaystyle x \ in \ Omega \ cap \ sigma (\ Omega) \ cap \ mathbb {H} ^ {-}}$${\ Displaystyle x \ in \ Omega ^ {\ sigma}}$
• Si , entonces .${\ Displaystyle x \ in (\ Omega \ setminus \ sigma (\ Omega)) \ cap \ mathbb {H} ^ {-}}$${\ Displaystyle \ sigma x \ in \ Omega ^ {\ sigma}}$

En palabras, simplemente se refleja en el medio espacio . Resulta que esta transformación puede aproximarse a las anteriores (en la distancia de Hausdorff ) (ver Brock y Solynin (2000) ). ${\ Displaystyle (\ Omega \ setminus \ sigma (\ Omega)) \ cap \ mathbb {H} ^ {-}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H} ^ {+}}$

Referencias

• Morgan, Frank (2009). "Simetrización" . Consultado en noviembre de 2015 . Verifique los valores de fecha en: |accessdate=( ayuda )
• Burchard, Almut (2009). "Un curso breve sobre las desigualdades de reordenamiento" (PDF) . Consultado en noviembre de 2015 . Verifique los valores de fecha en: |accessdate=( ayuda )

• Kojar, Tomas (2015). "Movimiento browniano y simetrización". arXiv : 1505.01868 .

• Brock, Friedemann; Solynin, Alexander (2000), "Un enfoque de la simetrización a través de la polarización", Transactions of the American Mathematical Society , 352 : 1759-1796, doi : 10.1090 / S0002-9947-99-02558-1 , MR  1695019