Variable aleatoria difusa - Random-fuzzy variable

En las mediciones, la medición obtenida puede sufrir dos tipos de incertidumbres. La primera es la incertidumbre aleatoria que se debe al ruido en el proceso y la medición. La segunda contribución se debe a la incertidumbre sistemática que puede estar presente en el instrumento de medida. Los errores sistemáticos, si se detectan, se pueden compensar fácilmente, ya que generalmente son constantes durante todo el proceso de medición, siempre que no se modifiquen el instrumento de medición y el proceso de medición. Pero no se puede saber con precisión mientras se usa el instrumento si hay un error sistemático y, si lo hay, ¿cuánto? Por tanto, la incertidumbre sistemática podría considerarse una contribución de carácter difuso.

Este error sistemático se puede modelar aproximadamente en base a nuestros datos anteriores sobre el instrumento de medición y el proceso.

Se pueden utilizar métodos estadísticos para calcular la incertidumbre total a partir de contribuciones sistemáticas y aleatorias en una medición. Pero, la complejidad computacional es muy alta y, por lo tanto, no son deseables.

LAZadeh introdujo los conceptos de variables difusas y conjuntos difusos. Las variables difusas se basan en la teoría de la posibilidad y, por tanto, son distribuciones de posibilidades. Esto los hace adecuados para manejar cualquier tipo de incertidumbre, es decir, contribuciones tanto sistemáticas como aleatorias a la incertidumbre total.

La variable aleatoria difusa (RFV) es una variable difusa de tipo 2 , definida mediante la teoría de la posibilidad matemática, utilizada para representar toda la información asociada a un resultado de medición. Tiene una distribución de posibilidad interna y una distribución de posibilidad externa llamada funciones de pertenencia. La distribución interna son las contribuciones de incertidumbre debidas a la incertidumbre sistemática y los límites del RFV se deben a las contribuciones aleatorias. La distribución externa da los límites de incertidumbre de todas las contribuciones.

Definición

Variable aleatoria difusa

Una variable aleatoria difusa (RFV) se define como una variable difusa de tipo 2 que satisface las siguientes condiciones:

• Se pueden identificar las funciones internas y externas del RFV.
• Tanto las funciones internas como externas se modelan como distribuciones de posibilidad (pd).
• Tanto las funciones internas como externas tienen un valor unitario de posibilidad para el mismo intervalo de valores.

Se puede ver un RFV en la figura. La función de pertenencia externa es la distribución en azul y la función de pertenencia interna es la distribución en rojo. Ambas funciones de pertenencia son distribuciones de posibilidades. Tanto las funciones de pertenencia interna como externa tienen un valor unitario de posibilidad solo en la parte rectangular de la RFV. Entonces, se han cumplido las tres condiciones.

Si solo hay errores sistemáticos en la medición, entonces el RFV simplemente se convierte en una variable difusa que consiste solo en la función de pertenencia interna. De manera similar, si no hay un error sistemático, entonces el RFV se convierte en una variable difusa con solo las contribuciones aleatorias y, por lo tanto, es solo la distribución de posibilidades de las contribuciones aleatorias.

Construcción

Se puede construir una variable aleatoria difusa usando una distribución de posibilidad interna ( r _interna ) y una distribución de posibilidad aleatoria ( r _aleatoria ).

La distribución aleatoria ( r _aleatoria )

r _aleatorio es la distribución de posibilidades de las contribuciones aleatorias a la incertidumbre. Cualquier instrumento o proceso de medición sufre contribuciones de errores aleatorios debido al ruido intrínseco u otros efectos.

Esto es de naturaleza completamente aleatoria y es una distribución de probabilidad normal cuando se combinan varias contribuciones aleatorias de acuerdo con el teorema del límite central .

Pero también puede haber contribuciones aleatorias de otras distribuciones de probabilidad, como una distribución uniforme , distribución gamma , etc.

La distribución de probabilidad se puede modelar a partir de los datos de medición. Luego, la distribución de probabilidad se puede usar para modelar una distribución de posibilidad equivalente usando la transformación probabilidad-posibilidad máximamente específica.

Algunas distribuciones de probabilidad comunes y las correspondientes distribuciones de posibilidad se pueden ver en las figuras.

Distribución normal en probabilidad y posibilidad.

Distribución uniforme en probabilidad y posibilidad.

Distribución triangular en probabilidad y posibilidad.

La distribución interna ( r _interno )

r _internal es la distribución interna en el RFV, que es la distribución de posibilidades de la contribución sistemática a la incertidumbre total. Esta distribución se puede construir en base a la información disponible sobre el instrumento de medición y el proceso.

La distribución más grande posible es la distribución de posibilidades uniforme o rectangular. Esto significa que todos los valores en el intervalo especificado son igualmente posibles. En realidad, esto representa el estado de ignorancia total según la teoría de la evidencia, lo que significa que representa un escenario en el que existe la máxima falta de información.

Esta distribución se utiliza para el error sistemático cuando no tenemos absolutamente ninguna idea sobre el error sistemático, excepto que pertenece a un intervalo particular de valores. Esto es bastante común en las mediciones.

Pero, en ciertos casos, se puede saber que ciertos valores tienen un mayor o menor grado de creencia que ciertos otros valores. En este caso, dependiendo de los grados de creencia de los valores, se podría construir una distribución de posibilidades apropiada.

La construcción de la distribución externa ( r _externa ) y la RFV

Después de modelar la distribución de posibilidades interna y aleatoria, la función de pertenencia externa, r _externa , de la RFV se puede construir utilizando la siguiente ecuación:

${\ Displaystyle r _ {\ textit {externo}} (x) = \ sup _ {x ^ {\ prime}} T_ {min} [r _ {\ textit {aleatorio}} (xx ^ {\ prime} + x ^ { *}), r _ {\ textit {interno}} (x ^ {\ prime})]}$

donde es la moda de , que es el pico en la función de pertenencia de y T _min es la norma triangular mínima . ${\ Displaystyle x ^ {*}}$${\ displaystyle r _ {\ textit {aleatorio}}}$${\ displaystyle r_ {aleatorio}}$

También se puede construir RFV a partir de distribuciones internas y aleatorias considerando los cortes α de las dos distribuciones de posibilidad (PD).

Un corte α de una variable difusa F se puede definir como

${\ Displaystyle F _ {\ alpha} = \ {a \, \ vert \, \ mu _ {\ rm {F}} (a) \ geq \ alpha \} \ qquad {\ textit {where}} \ qquad 0 \ leq \ alpha \ leq 1}$

Entonces, esencialmente un α- corte es el conjunto de valores para los cuales el valor de la función de pertenencia de la variable difusa es mayor que α . Entonces, esto da los límites superior e inferior de la variable difusa F para cada α- corte. ${\ Displaystyle \ mu _ {\ rm {F}} (a)}$

El α- corte de un RFV, sin embargo, tiene 4 límites específicos y está dado por . y son los límites inferior y superior, respectivamente, de la función de pertenencia externa ( r _externo ) que es una variable difusa por sí misma. y son los límites inferior y superior, respectivamente, de la función de pertenencia interna ( r _internal ), que es una variable difusa por sí misma. ${\ Displaystyle RFV ^ {\ alpha} = [X_ {a} ^ {\ alpha}, X_ {b} ^ {\ alpha}, X_ {c} ^ {\ alpha}, X_ {d} ^ {\ alpha} ]}$${\ Displaystyle X_ {a} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle X_ {d} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle X_ {c} ^ {\ alpha}}$

Para construir el RFV, consideremos los cortes α de los dos PD, es decir, r _aleatorio y r _interno para el mismo valor de α . Esto da los límites inferior y superior para los dos cortes α . Sean y para las distribuciones interna y aleatoria respectivamente. se puede volver a dividir en dos subintervalos y dónde está la moda de la variable difusa. Entonces, el α- corte para el RFV para el mismo valor de α , se puede definir por ${\ displaystyle [X_ {LR} ^ {\ alpha}, X_ {UR} ^ {\ alpha}]}$${\ displaystyle [X_ {LI} ^ {\ alpha}, X_ {UI} ^ {\ alpha}]}$${\ displaystyle [X_ {LR} ^ {\ alpha}, X_ {UR} ^ {\ alpha}]}$${\ Displaystyle [X_ {LR} ^ {\ alpha}, x ^ {*}]}$${\ Displaystyle [x ^ {*}, X_ {UR} ^ {\ alpha}]}$${\ Displaystyle x ^ {*}}$${\ Displaystyle RFV ^ {\ alpha} = [X_ {a} ^ {\ alpha}, X_ {b} ^ {\ alpha}, X_ {c} ^ {\ alpha}, X_ {d} ^ {\ alpha} ]}$

${\ Displaystyle X_ {a} ^ {\ alpha} = X_ {LI} ^ {\ alpha} - (x ^ {*} - X_ {LR} ^ {\ alpha})}$

${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ alpha} = X_ {LI} ^ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle X_ {c} ^ {\ alpha} = X_ {UI} ^ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle X_ {d} ^ {\ alpha} = X_ {UI} ^ {\ alpha} - (X_ {UR} ^ {\ alpha} -x ^ {*})}$

Usando las ecuaciones anteriores, los cortes α se calculan para cada valor de α, lo que nos da el gráfico final del RFV.

Una variable aleatoria difusa es capaz de dar una imagen completa de las contribuciones aleatorias y sistemáticas a la incertidumbre total de los cortes α para cualquier nivel de confianza, ya que el nivel de confianza no es más que 1-α .

Un ejemplo para la construcción de la función de pertenencia externa correspondiente ( r _externo ) y el RFV de un PD aleatorio y un PD interno se puede ver en la siguiente figura.

Construcción de una función de pertenencia externa y el RFV a partir de distribuciones de posibilidad internas y aleatorias.

Ver también

• Conjunto difuso
• T-norma
• Conjuntos y sistemas difusos de tipo 2
• Error de observación
• Teoría de Dempster-Shafer
• Teoría de la posibilidad
• Teoría de probabilidad
• Distribución de probabilidad

Referencias