Conjunto difuso - Fuzzy set

En matemáticas , los conjuntos difusos (también conocidos como conjuntos inciertos ) son algo así como conjuntos cuyos elementos tienen grados de pertenencia. Los conjuntos difusos fueron introducidos de forma independiente por Lotfi A. Zadeh y Dieter Klaua  [ de ] en 1965 como una extensión de la noción clásica de conjunto. Al mismo tiempo, Salii (1965) define un tipo más general de la estructura llamado L -relation , que estudió en una algebraica abstracta contexto. Relaciones difusas, que ahora se utilizan en todo matemática borrosa y tienen aplicaciones en áreas tales como la lingüística ( De Cock, Bodenhöfer y Kerre 2000 ), de toma de decisiones ( Kuzmin 1982 ), y la agrupación ( Bezdek 1978 ), son casos especiales de L -Relaciones cuando L es la unidad de intervalo [0, 1].

En la teoría de conjuntos clásica , la pertenencia de elementos a un conjunto se evalúa en términos binarios de acuerdo con una condición bivalente : un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. Por el contrario, la teoría de conjuntos difusos permite la evaluación gradual de la pertenencia de elementos a un conjunto; esto se describe con la ayuda de una función de pertenencia valorada en el intervalo unitario real [0, 1]. Los conjuntos difusos generalizan los conjuntos clásicos, ya que las funciones indicadoras (también conocidas como funciones características) de los conjuntos clásicos son casos especiales de las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos, si estos últimos solo toman valores 0 o 1. En la teoría de conjuntos difusos, los conjuntos bivalentes clásicos suelen denominarse conjuntos nítidos . La teoría de conjuntos difusos se puede utilizar en una amplia gama de dominios en los que la información es incompleta o imprecisa, como la bioinformática .

Definición

Un conjunto difuso es un par donde hay un conjunto (a menudo se requiere que no esté vacío ) y una función de pertenencia. El conjunto de referencia (a veces denotado por o ) se denomina universo de discurso , y para cada valor el valor se denomina grado de pertenencia a . La función se denomina función de pertenencia del conjunto difuso . ${\ Displaystyle (U, m)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle m \ colon U \ rightarrow [0,1]}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x \ en U,}$${\ Displaystyle m (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle (U, m)}$${\ Displaystyle m = \ mu _ {A}}$${\ Displaystyle A = (U, m)}$

Para un conjunto finito, el conjunto difuso a menudo se denota por${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \},}$${\ Displaystyle (U, m)}$${\ Displaystyle \ {m (x_ {1}) / x_ {1}, \ dots, m (x_ {n}) / x_ {n} \}.}$

Deja . Entonces se llama ${\ Displaystyle x \ in U}$${\ Displaystyle x}$

• no incluido en el conjunto difuso si (no miembro),${\ Displaystyle (U, m)}$${\ Displaystyle m (x) = 0}$
• totalmente incluido si (miembro de pleno derecho),${\ Displaystyle m (x) = 1}$
• parcialmente incluido si (miembro difuso).${\ Displaystyle 0 <m (x) <1}$

El conjunto (nítido) de todos los conjuntos difusos de un universo se denota con (o, a veces, simplemente ). ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle SF (U)}$${\ Displaystyle F (U)}$

Conjuntos nítidos relacionados con un conjunto difuso

Para cualquier conjunto difuso y se definen los siguientes conjuntos crujientes: ${\ Displaystyle A = (U, m)}$${\ Displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$

• ${\ Displaystyle A ^ {\ geq \ alpha} = A _ {\ alpha} = \ {x \ in U \ mid m (x) \ geq \ alpha \}}$se llama corte α (también conocido como conjunto de niveles α )
• ${\ Displaystyle A ^ {> \ alpha} = A '_ {\ alpha} = \ {x \ in U \ mid m (x)> \ alpha \}}$se llama su fuerte α-corte (también conocido como fuerte conjunto de niveles α )
• ${\ Displaystyle S (A) = \ operatorname {Supp} (A) = A ^ {> 0} = \ {x \ in U \ mid m (x)> 0 \}}$se llama su apoyo
• ${\ Displaystyle C (A) = \ operatorname {Core} (A) = A ^ {= 1} = \ {x \ in U \ mid m (x) = 1 \}}$se llama núcleo (o, a veces, núcleo ).${\ Displaystyle \ operatorname {Kern} (A)}$

Tenga en cuenta que algunos autores entienden "kernel" de una manera diferente; vea abajo.

Otras definiciones

• Un conjunto difuso está vacío ( ) iff (si y solo si)${\ Displaystyle A = (U, m)}$${\ Displaystyle A = \ varnothing}$

${\ Displaystyle \ forall}$${\ Displaystyle x \ en U: \ mu _ {A} (x) = m (x) = 0}$

• Dos conjuntos difusos y son iguales ( ) iff${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A = B}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) = \ mu _ {B} (x)}$

• Un conjunto difuso se incluye en un conjunto difuso ( ) iff${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ subseteq B}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) \ leq \ mu _ {B} (x)}$

• Para cualquier conjunto difuso , cualquier elemento que satisfaga${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle x \ in U}$

${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) = 0.5}$

se llama punto de cruce .

• Dado un conjunto difuso , cualquiera , para el que no está vacío, se llama nivel de A.${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$${\ Displaystyle A ^ {= \ alpha} = \ {x \ in U \ mid \ mu _ {A} (x) = \ alpha \}}$
• El conjunto de niveles de A es el conjunto de todos los niveles que representan cortes distintos. Es la imagen de :${\ Displaystyle \ alpha \ in [0,1]}$${\ Displaystyle \ mu _ {A}}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {A} = \ {\ alpha \ in [0,1]: A ^ {= \ alpha} \ neq \ varnothing \} = \ {\ alpha \ in [0,1]: {} }$${\ Displaystyle \ existe}$${\ Displaystyle x \ en U (\ mu _ {A} (x) = \ alpha) \} = \ mu _ {A} (U)}$

• Para un conjunto difuso , su altura viene dada por${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hgt} (A) = \ sup \ {\ mu _ {A} (x) \ mid x \ in U \} = \ sup (\ mu _ {A} (U))}$

donde denota el supremo , que existe porque no está vacío y está limitado por encima de 1. Si U es finito, podemos simplemente reemplazar el supremo por el máximo.${\ Displaystyle \ sup}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (U)}$

• Se dice que un conjunto difuso está normalizado si${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hgt} (A) = 1}$

En el caso finito, donde el supremo es un máximo, esto significa que al menos un elemento del conjunto difuso tiene membresía total. Un conjunto difuso no vacío se puede normalizar con el resultado de dividir la función de pertenencia del conjunto difuso por su altura: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ tilde {A}}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {\ tilde {A}} (x) = \ mu _ {A} (x) / \ operatorname {Hgt} (A)}$

Además de las similitudes, esto se diferencia de la normalización habitual en que la constante de normalización no es una suma.

• Para conjuntos difusos de números reales ( U ⊆ ℝ) con soporte acotado , el ancho se define como${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Width} (A) = \ sup (\ operatorname {Supp} (A)) - \ inf (\ operatorname {Supp} (A))}$

En el caso de que sea ​​un conjunto finito, o más generalmente un conjunto cerrado , el ancho es simplemente ${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Width} (A) = \ max (\ operatorname {Supp} (A)) - \ min (\ operatorname {Supp} (A))}$

En el caso n- dimensional ( U ⊆ ℝ ⁿ ) lo anterior puede ser reemplazado por el volumen n- dimensional de .${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

En general, esto se puede definir dada cualquier medida en U , por ejemplo, mediante la integración (por ejemplo, integración de Lebesgue ) de .${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

• Se dice que un conjunto difuso real ( U ⊆ ℝ) es convexo (en el sentido difuso, no debe confundirse con un conjunto convexo nítido ), si${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ forall x, y \ in U, \ forall \ lambda \ in [0,1]: \ mu _ {A} (\ lambda {x} + (1- \ lambda) y) \ geq \ min ( \ mu _ {A} (x), \ mu _ {A} (y))}$.

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x ≤ y , lo que da la formulación equivalente

${\ Displaystyle \ forall z \ in [x, y]: \ mu _ {A} (z) \ geq \ min (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {A} (y))}$.

Esta definición se puede extender a una para un espacio topológico general U : decimos que el conjunto difuso es convexo cuando, para cualquier subconjunto Z de U , la condición ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ forall z \ in Z: \ mu _ {A} (z) \ geq \ inf (\ mu _ {A} (\ parcial Z))}$

tiene, donde denota el límite de Z y denota la imagen de un conjunto X (aquí ) bajo una función f (aquí ).${\ Displaystyle \ Z parcial}$${\ Displaystyle f (X) = \ {f (x) \ mid x \ in X \}}$${\ Displaystyle \ Z parcial}$${\ Displaystyle \ mu _ {A}}$

Operaciones de conjuntos difusos

Aunque el complemento de un conjunto difuso tiene una definición única más común, las otras operaciones principales, unión e intersección, tienen cierta ambigüedad.

• Para un conjunto difuso dado , su complemento (a veces denotado como o ) está definido por la siguiente función de pertenencia:${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ neg {A}}$${\ Displaystyle A ^ {c}}$${\ Displaystyle cA}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {\ neg {A}} (x) = 1- \ mu _ {A} (x)}$.

• Sea t una norma t y s la norma s correspondiente (también conocida como t-conorm). Dado un par de conjuntos difusos , su intersección está definida por:${\ Displaystyle A, B}$ ${\ Displaystyle A \ cap {B}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ cap {B}} (x) = t (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x))}$,

y su unión se define por: ${\ Displaystyle A \ cup {B}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ cup {B}} (x) = s (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x))}$.

Por la definición de la t-norma, vemos que la unión y la intersección son conmutativas , monótonas , asociativas y tienen tanto un elemento nulo como un elemento de identidad . Para la intersección, estos son ∅ y U , respectivamente, mientras que para la unión, se invierten. Sin embargo, la unión de un conjunto difuso y su complemento puede no dar como resultado el universo completo U , y la intersección de ellos puede no dar el conjunto vacío ∅. Dado que la intersección y la unión son asociativas, es natural definir la intersección y la unión de una familia finita de conjuntos difusos de forma recursiva.

• Si el negador estándar se reemplaza por otro negador fuerte , la diferencia del conjunto difuso puede generalizarse mediante${\ Displaystyle n (\ alpha) = 1- \ alpha, \ alpha \ in [0,1]}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {\ neg {A}} (x) = n (\ mu _ {A} (x)).}$

• El triple de intersección difusa, unión y complemento forman un triplete de De Morgan . Es decir, las leyes de De Morgan se extienden a este triple.

Se pueden derivar ejemplos de pares de intersección / unión difusos con negador estándar a partir de muestras proporcionadas en el artículo sobre t-normas .

La intersección difusa no es idempotente en general, porque la t-norma mínima estándar es la única que tiene esta propiedad. De hecho, si se utiliza la multiplicación aritmética como norma t, la operación de intersección difusa resultante no es idempotente. Es decir, tomar iterativamente la intersección de un conjunto difuso consigo mismo no es trivial. En su lugar, define la m -ésima potencia de un conjunto difuso, que se puede generalizar canónicamente para exponentes no enteros de la siguiente manera:

• Para cualquier conjunto difuso y la ν-ésima potencia de está definida por la función de pertenencia:${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ nu \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A ^ {\ nu}} (x) = \ mu _ {A} (x) ^ {\ nu}.}$

El caso del exponente dos es lo suficientemente especial como para recibir un nombre.

• Para cualquier conjunto difuso, la concentración se define${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle CON (A) = A ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {CON (A)} (x) = \ mu _ {A ^ {2}} (x) = \ mu _ {A} (x) ^ {2} .}$

Tomando , tenemos y${\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$${\ Displaystyle A ^ {0} = U}$${\ Displaystyle A ^ {1} = A.}$

• Dados conjuntos difusos , la diferencia del conjunto difuso , también denotada , se puede definir directamente a través de la función de pertenencia:${\ Displaystyle A, B}$ ${\ Displaystyle A \ setminus B}$${\ Displaystyle AB}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ setminus {B}} (x) = t (\ mu _ {A} (x), n (\ mu _ {B} (x))) ,}$

lo que significa , por ejemplo: ${\ Displaystyle A \ setminus B = A \ cap \ neg {B}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ setminus {B}} (x) = \ min (\ mu _ {A} (x), 1- \ mu _ {B} (x)) .}$

Otra propuesta para establecer una diferencia podría ser:

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A- {B}} (x) = \ mu _ {A} (x) -t (\ mu _ {A} (x), \ mu _ { B} (x)).}$

• Dubois y Prade (1980) han hecho propuestas para diferencias simétricas de conjuntos difusos, ya sea tomando el valor absoluto , dando

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ triangle B} (x) = | \ mu _ {A} (x) - \ mu _ {B} (x) |,}$

o usando una combinación de negación máxima , mínima y estándar, dando

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ triangle B} (x) = \ max (\ min (\ mu _ {A} (x), 1- \ mu _ {B} (x) ), \ min (\ mu _ {B} (x), 1- \ mu _ {A} (x))).}$

Vemur et al. Han propuesto axiomas para la definición de diferencias simétricas generalizadas análogas a las de las t-normas, t-conormas y negadores. (2014) con predecesores de Alsina et. Alabama. (2005) y Bedregal et. Alabama. (2009).

• A diferencia de los conjuntos nítidos, las operaciones de promediado también se pueden definir para conjuntos difusos.

Conjuntos difusos disjuntos

En contraste con la ambigüedad general de las operaciones de intersección y unión, hay claridad para conjuntos difusos disjuntos: dos conjuntos difusos son disjuntos si ${\ Displaystyle A, B}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) = 0 \ lor \ mu _ {B} (x) = 0}$

que es equivalente a

${\ Displaystyle \ nexists}$ ${\ Displaystyle x \ en U: \ mu _ {A} (x)> 0 \ land \ mu _ {B} (x)> 0}$

y también equivalente a

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ min (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x)) = 0}$

Tenemos en cuenta que min / max está en el par / s-norm, y cualquier otro también funcionará aquí.

Los conjuntos difusos son disjuntos si y solo si sus soportes están separados de acuerdo con la definición estándar de conjuntos nítidos.

Para conjuntos difusos disjuntos, cualquier intersección dará ∅, y cualquier unión dará el mismo resultado, que se denota como ${\ Displaystyle A, B}$

${\ Displaystyle A \, {\ dot {\ cup}} \, B = A \ cup B}$

con su función de membresía dada por

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A {\ dot {\ cup}} B} (x) = \ mu _ {A} (x) + \ mu _ {B} (x)}$

Tenga en cuenta que solo uno de ambos sumandos es mayor que cero.

Para conjuntos difusos disjuntos, se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle A, B}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (A \, {\ dot {\ cup}} \, B) = \ operatorname {Supp} (A) \ cup \ operatorname {Supp} (B)}$

Esto se puede generalizar a familias finitas de conjuntos difusos de la siguiente manera: Dada una familia de conjuntos difusos con un conjunto de índices I (por ejemplo, I = {1,2,3, ..., n }). Esta familia es (por parejas) disjunta si ${\ Displaystyle A = (A_ {i}) _ {i \ in I}}$

${\ displaystyle {\ text {para todos}} x \ en U {\ text {existe como máximo uno}} i \ en I {\ text {tal que}} \ mu _ {A_ {i}} (x) > 0.}$

Una familia de conjuntos difusos es inconexa, si la familia de soportes subyacentes es disjunta en el sentido estándar de las familias de conjuntos nítidos. ${\ Displaystyle A = (A_ {i}) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} \ circ A = (\ operatorname {Supp} (A_ {i})) _ {i \ in I}}$

Independientemente del par t / s-norma, la intersección de una familia disjunta de conjuntos difusos dará ∅ nuevamente, mientras que la unión no tiene ambigüedad:

${\ Displaystyle {\ dot {\ bigcup \ limits _ {i \ in I}}} \, A_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}}$

con su función de membresía dada por

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {{\ dot {\ bigcup \ limits _ {i \ in I}}} A_ {i}} (x) = \ sum _ {i \ in I} \ mu _ {A_ {i}} (x)}$

Nuevamente, solo uno de los sumandos es mayor que cero.

Para familias disjuntas de conjuntos difusos, se cumple lo siguiente: ${\ Displaystyle A = (A_ {i}) _ {i \ in I}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} \ left ({\ dot {\ bigcup \ limits _ {i \ in I}}} \, A_ {i} \ right) = \ bigcup \ limits _ {i \ in I} \ nombre de operador {Supp} (A_ {i})}$

Cardinalidad escalar

Para un conjunto difuso con soporte finito (es decir, un "conjunto difuso finito"), su cardinalidad (también conocida como cardinalidad escalar o cuenta sigma ) viene dada por ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tarjeta} (A) = \ operatorname {sc} (A) = | A | = \ sum _ {x \ in U} \ mu _ {A} (x)}$.

En el caso de que U en sí mismo sea un conjunto finito, la cardinalidad relativa viene dada por

${\ Displaystyle \ operatorname {RelCard} (A) = \ | A \ | = \ operatorname {sc} (A) / | U | = | A | / | U |}$.

Esto se puede generalizar para que el divisor sea un conjunto difuso no vacío: para conjuntos difusos con G ≠ ∅, podemos definir la cardinalidad relativa mediante: ${\ Displaystyle A, G}$

${\ Displaystyle \ operatorname {RelCard} (A, G) = \ operatorname {sc} (A | G) = \ operatorname {sc} (A \ cap {G}) / \ operatorname {sc} (G)}$,

que se parece mucho a la expresión de probabilidad condicional . Nota:

• ${\ Displaystyle \ operatorname {sc} (G)> 0}$ aquí.
• El resultado puede depender de la intersección específica (t-norma) elegida.
• Porque el resultado es inequívoco y se asemeja a la definición anterior.${\ Displaystyle G = U}$

Distancia y similitud

Para cualquier conjunto difuso, la función de pertenencia se puede considerar como una familia . Este último es un espacio métrico con varias métricas conocidas. Una métrica se puede derivar de una norma (norma vectorial) a través de ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu _ {A}: U \ a [0,1]}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} = (\ mu _ {A} (x)) _ {x \ in U} \ in [0,1] ^ {U}}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ | \, \ |}$

${\ Displaystyle d (\ alpha, \ beta) = \ | \ alpha - \ beta \ |}$.

Por ejemplo, si es finito, es decir , dicha métrica puede definirse mediante: ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n} \}}$

${\ Displaystyle d (\ alpha, \ beta): = \ max \ {| \ alpha (x_ {i}) - \ beta (x_ {i}) |: i = 1, ..., n \}}$donde y son secuencias de números reales entre 0 y 1.${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$

Para infinito , el máximo puede ser reemplazado por un supremo. Debido a que los conjuntos difusos se definen de forma inequívoca por su función de pertenencia, esta métrica se puede utilizar para medir distancias entre conjuntos difusos en el mismo universo: ${\ Displaystyle U}$

${\ Displaystyle d (A, B): = d (\ mu _ {A}, \ mu _ {B})}$,

que se convierte en la muestra anterior:

${\ Displaystyle d (A, B) = \ max \ {| \ mu _ {A} (x_ {i}) - \ mu _ {B} (x_ {i}) |: i = 1, ..., norte\}}$

Nuevamente, para infinito, el máximo debe ser reemplazado por un supremo. Otras distancias (como la norma canónica 2) pueden divergir, si los conjuntos difusos infinitos son demasiado diferentes, por ejemplo, y . ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle U}$

Las medidas de similitud (aquí denotadas por ) pueden derivarse de la distancia, por ejemplo, después de una propuesta de Koczy: ${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle S = 1 / (1 + d (A, B))}$si es finito, si no,${\ Displaystyle d (A, B)}$${\ Displaystyle 0}$

o después de Williams y Steele:

${\ Displaystyle S = \ exp (- \ alpha {d (A, B)})}$si es finito, si no${\ Displaystyle d (A, B)}$${\ Displaystyle 0}$

donde es un parámetro de inclinación y . ${\ Displaystyle \ alpha> 0}$${\ Displaystyle \ exp (x) = e ^ {x}}$

Beg y Ashraf también proporcionan otra definición de medidas de similitud valoradas en intervalos (más bien "difusas") . ${\ Displaystyle \ zeta}$

L -conjuntos difusos

A veces, se utilizan variantes más generales de la noción de conjunto difuso, con funciones de pertenencia que toman valores en un álgebra (fija o variable) o estructura de un tipo determinado; generalmente se requiere que sea ​​al menos un poset o celosía . Suelen denominarse conjuntos L- difusos , para distinguirlos de los valorados en el intervalo unitario. Las funciones de pertenencia habituales con valores en [0, 1] se denominan funciones de pertenencia valoradas en [0, 1]. Este tipo de generalizaciones fueron consideradas por primera vez en 1967 por Joseph Goguen , estudiante de Zadeh. Un corolario clásico puede indicar valores de verdad y pertenencia mediante {f, t} en lugar de {0, 1}. ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$

Atanassov y Baruah han proporcionado una extensión de conjuntos difusos . Un conjunto difuso intuicionista (IFS) se caracteriza por dos funciones: ${\ Displaystyle A}$

1. - grado de pertenencia de x${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x)}$

2.- grado de no pertenencia a x${\ Displaystyle \ nu _ {A} (x)}$

con funciones con${\ Displaystyle \ mu _ {A}, \ nu _ {A}: U \ mapsto [0,1]}$${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) + \ nu _ {A} (x) \ leq 1}$

Esto se asemeja a una situación en la que una persona denota votando. ${\ Displaystyle x}$

• para una propuesta : ( ),${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) = 1, \ nu _ {A} (x) = 0}$
• en su contra: ( ),${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) = 0, \ nu _ {A} (x) = 1}$
• o abstenerse de votar: ( ).${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) = \ nu _ {A} (x) = 0}$

Después de todo, tenemos un porcentaje de aprobaciones, un porcentaje de denegaciones y un porcentaje de abstenciones.

Para esta situación, se pueden definir negadores especiales "intuitivos difusos", normas t y s. Con y combinando ambas funciones en esta situación se asemeja a un tipo especial de conjuntos L- difusos. ${\ Displaystyle D ^ {*} = \ {(\ alpha, \ beta) \ in [0,1] ^ {2}: \ alpha + \ beta = 1 \}}$${\ Displaystyle (\ mu _ {A}, \ nu _ {A}): U \ a D ^ {*}}$

Una vez más, esto se ha ampliado definiendo conjuntos difusos de imagen (PFS) de la siguiente manera: Un PFS A se caracteriza por tres funciones que mapean U a [0, 1]:, "grado de pertenencia positiva", "grado de pertenencia neutral", y "grado de membresía negativa" respectivamente y condición adicional Esto amplía la muestra de votación anterior con una posibilidad adicional de "rechazo de voto". ${\ Displaystyle \ mu _ {A}, \ eta _ {A}, \ nu _ {A}}$${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) + \ eta _ {A} (x) + \ nu _ {A} (x) \ leq 1}$

Con negadores especiales de "imagen difusa", normas t y s, esto se asemeja a otro tipo de conjuntos L- difusos. ${\ Displaystyle D ^ {*} = \ {(\ alpha, \ beta, \ gamma) \ in [0,1] ^ {3}: \ alpha + \ beta + \ gamma = 1 \}}$

Conjuntos borrosos neutrosóficos

El concepto de IFS se ha ampliado a dos modelos principales. Las dos extensiones de IFS son conjuntos difusos neutrosóficos y conjuntos difusos pitagóricos.

Los conjuntos borrosos neutrosóficos fueron introducidos por Smarandache en 1998. Al igual que IFS, los conjuntos borrosos neutrosóficos tienen las dos funciones anteriores: una para la membresía y otra para la no pertenencia . La principal diferencia es que los conjuntos difusos neutrosóficos tienen una función más: indeterminado . Este valor indica el grado de indecisión de que la entidad x pertenece al conjunto. Este concepto de tener un valor indeterminado puede ser particularmente útil cuando uno no puede estar muy seguro de los valores de membresía o no membresía para el ítem x . En resumen, los conjuntos difusos neutrosóficos están asociados con las siguientes funciones: ${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x)}$${\ Displaystyle \ nu _ {A} (x)}$${\ Displaystyle i_ {A} (x)}$${\ Displaystyle i_ {A} (x)}$

1. - grado de pertenencia de x${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x)}$

2.- grado de no pertenencia a x${\ Displaystyle \ nu _ {A} (x)}$

3.- grado de valor indeterminado de x${\ Displaystyle i_ {A} (x)}$

Conjuntos difusos pitagóricos

La otra extensión de IFS es lo que se conoce como conjuntos difusos pitagóricos. Los conjuntos difusos pitagóricos son más flexibles que los IFS. Los IFS se basan en la restricción , que puede considerarse demasiado restrictiva en algunas ocasiones. Por eso Yager propuso el concepto de conjuntos borrosos pitagóricos. Tales conjuntos satisfacen la restricción , que recuerda al teorema de Pitágoras. Los conjuntos difusos de Pitágoras se pueden aplicar a aplicaciones de la vida real en las que la condición anterior de no es válida. Sin embargo, la condición menos restrictiva de puede ser adecuada en más dominios. ${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) + \ nu _ {A} (x) \ leq 1}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) ^ {2} + \ nu _ {A} (x) ^ {2} \ leq 1}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) + \ nu _ {A} (x) \ leq 1}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) ^ {2} + \ nu _ {A} (x) ^ {2} \ leq 1}$

Lógica difusa

Como una extensión del caso de la lógica de valores múltiples , las valoraciones ( ) de las variables proposicionales ( ) en un conjunto de grados de pertenencia ( ) se pueden considerar como funciones de pertenencia que mapean predicados en conjuntos difusos (o más formalmente, en un conjunto ordenado de pares difusos, denominados relación difusa). Con estas valoraciones, la lógica de muchos valores se puede ampliar para permitir premisas difusas de las que se pueden extraer conclusiones graduadas. ${\ Displaystyle \ mu: {\ mathit {V}} _ {o} \ to {\ mathit {W}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {V}} _ {o}}$${\ Displaystyle {\ mathit {W}}}$

Esta extensión a veces se denomina "lógica difusa en el sentido estricto" en oposición a "lógica difusa en el sentido más amplio", que se originó en los campos de la ingeniería del control automatizado y la ingeniería del conocimiento , y que abarca muchos temas que involucran conjuntos difusos y "razonamiento aproximado . "

Las aplicaciones industriales de conjuntos difusos en el contexto de la "lógica difusa en el sentido más amplio" se pueden encontrar en lógica difusa .

Número difuso y único número

Un número difuso A es un conjunto difuso que satisface todas las siguientes condiciones:

• A está normalizado;
• A es un conjunto convexo;
• ${\ Displaystyle \ existe! x ^ {*} \ in A, \ mu _ {A} (x ^ {*}) = 1}$ ;
• La función de pertenencia es al menos segmentariamente continua.${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x)}$

Si no se cumplen estas condiciones, entonces A no es un número difuso . El núcleo de este número difuso es un singleton ; su ubicación es:

${\ Displaystyle \, C (A) = x ^ {*}: \ mu _ {A} (x ^ {*}) = 1}$

Cuando no se cumple la condición sobre la unicidad de , el conjunto difuso se caracteriza como un intervalo difuso . El núcleo de este intervalo difuso es un intervalo nítido con: ${\ Displaystyle {x ^ {*}}}$

${\ Displaystyle \, C (A) = \ left [\ min \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid \ mu _ {A} (x) = 1 \}; \ max \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid \ mu _ {A} (x) = 1 \} \ right]}$.

Los números difusos se pueden comparar con el juego de feria "adivina tu peso", donde alguien adivina el peso del concursante, siendo más correctas las suposiciones más cercanas, y donde el adivino "gana" si adivina lo suficientemente cerca del peso del participante, con el el peso real es completamente correcto (mapeo a 1 por la función de pertenencia).

El núcleo de un intervalo difuso se define como la parte 'interna', sin las partes 'salientes' donde el valor de pertenencia es constante ad infinitum. En otras palabras, el subconjunto más pequeño de where es constante fuera de él, se define como el núcleo. ${\ Displaystyle K (A) = \ operatorname {Kern} (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x)}$

Sin embargo, existen otros conceptos de números e intervalos difusos ya que algunos autores no insisten en la convexidad.

Categorías difusas

El uso de la pertenencia a un conjunto como componente clave de la teoría de categorías se puede generalizar a los conjuntos difusos. Este enfoque, que comenzó en 1968 poco después de la introducción de la teoría de conjuntos difusos, condujo al desarrollo de las categorías de Goguen en el siglo XXI. En estas categorías, en lugar de utilizar dos miembros de conjuntos valorados, se utilizan intervalos más generales y pueden ser rejillas como en L -conjuntos difusos.

Ecuación de relación difusa

La ecuación de relación difusa es una ecuación de la forma A · R = B , donde A y B son conjuntos difusos, R es una relación difusa, y A · R representa la composición de A con  R .

Entropía

Una medida d de borrosidad para conjuntos borrosos de universo debería cumplir las siguientes condiciones para todos : ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x \ in U}$

1. ${\ Displaystyle d (A) = 0}$si es un conjunto crujiente:${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu _ {A} (x) \ in \ {0, \, 1 \}}$
2. ${\ Displaystyle d (A)}$ tiene un máximo único iff ${\ Displaystyle \ forall x \ en U: \ mu _ {A} (x) = 0.5}$
3. ${\ Displaystyle \ mu _ {A} \ leq \ mu _ {B} \ iff}$

${\ Displaystyle \ mu _ {A} \ leq \ mu _ {B} \ leq 0.5}$

${\ Displaystyle \ mu _ {A} \ geq \ mu _ {B} \ geq 0.5}$

lo que significa que B es "más nítida" que A .

1. ${\ Displaystyle d (\ neg {A}) = d (A)}$

En este caso se llama la entropía del conjunto difuso A . ${\ Displaystyle d (A)}$

Para finito, la entropía de un conjunto difuso está dada por ${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n} \}}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle d (A) = H (A) + H (\ neg {A})}$,

${\ Displaystyle H (A) = - k \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu _ {A} (x_ {i}) \ ln \ mu _ {A} (x_ {i})}$

o solo

${\ Displaystyle d (A) = - k \ sum _ {i = 1} ^ {n} S (\ mu _ {A} (x_ {i}))}$

donde está la función de Shannon (función de entropía natural) ${\ Displaystyle S (x) = H_ {e} (x)}$

${\ Displaystyle S (\ alpha) = - \ alpha \ ln \ alpha - (1- \ alpha) \ ln (1- \ alpha), \ \ alpha \ in [0,1]}$

y es una constante que depende de la unidad de medida y de la base logarítmica utilizada (aquí hemos utilizado la base natural e ). La interpretación física de k es la constante de Boltzmann k ^B . ${\ Displaystyle k}$

Sea un conjunto difuso con una función de pertenencia continua (variable difusa). Luego ${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle H (A) = - k \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Cr} \ lbrace A \ geq t \ rbrace \ ln \ operatorname {Cr} \ lbrace A \ geq t \ rbrace \, dt}$

y su entropía es

${\ Displaystyle d (A) = - k \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (\ operatorname {Cr} \ lbrace A \ geq t \ rbrace) \, dt.}$

Extensiones

Hay muchas construcciones matemáticas similares o más generales que los conjuntos difusos. Desde que se introdujeron los conjuntos difusos en 1965, se han desarrollado muchas teorías y construcciones matemáticas nuevas que tratan la imprecisión, la inexactitud, la ambigüedad y la incertidumbre. Algunas de estas construcciones y teorías son extensiones de la teoría de conjuntos difusos, mientras que otras intentan modelar matemáticamente la imprecisión y la incertidumbre de una manera diferente ( Burgin y Chunihin 1997 ; Kerre 2001 ; Deschrijver y Kerre, 2003). error de harvnb: sin destino: CITEREFBurginChunihin1997 ( ayuda )

Ver también

Referencias