Filtro de espejo en cuadratura - Quadrature mirror filter

En el procesamiento de señales digitales , un filtro de espejo en cuadratura es un filtro cuya respuesta de magnitud es la imagen de espejo alrededor de la de otro filtro. Juntos, estos filtros, introducidos por primera vez por Croisier et al., Se conocen como el par de filtros de espejo en cuadratura. ${\ Displaystyle \ pi / 2}$

Un filtro será el filtro de espejo en cuadratura de si ${\ Displaystyle H_ {1} (z)}$${\ Displaystyle H_ {0} (z)}$${\ Displaystyle H_ {1} (z) = H_ {0} (- z)}$

Las respuestas del filtro son simétricas sobre ${\ Displaystyle \ Omega = \ pi / 2}$

${\ Displaystyle | H_ {1} (e ^ {j \ Omega}) | = | H_ {0} (e ^ {j (\ pi - \ Omega)}) |}$

En los códecs de audio / voz, a menudo se usa un par de filtros de espejo en cuadratura para implementar un banco de filtros que divide una señal de entrada en dos bandas. Las señales de paso alto y paso bajo resultantes a menudo se reducen en un factor de 2, lo que proporciona una representación de dos canales muestreada críticamente de la señal original. Los filtros de análisis a menudo se relacionan mediante las siguientes fórmulas además de la propiedad de espejo cuadrático:

${\ Displaystyle | H_ {0} (e ^ {j \ Omega}) | ^ {2} + | H_ {1} (e ^ {j \ Omega}) | ^ {2} = 1}$ donde es la frecuencia y la frecuencia de muestreo se normaliza a . ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$

Esto se conoce como propiedad complementaria de potencia. En otras palabras, la suma de potencia de los filtros de paso alto y paso bajo es igual a 1.

Ondas ortogonales : las ondas de Haar y las ondas de Daubechies relacionadas , Coiflets y algunas desarrolladas por Mallat , se generan mediante funciones de escala que, con la ondícula, satisfacen una relación de filtro de espejo en cuadratura.

Relación con otros bancos de filtros

Las primeras wavelets se basaron en expandir una función en términos de pasos rectangulares, las wavelets de Haar. Esta suele ser una aproximación deficiente, mientras que las ondas de Daubechies se encuentran entre las familias de ondas más simples pero más importantes. Un filtro lineal que es cero para señales "suaves", dado un registro de puntos, se define como: ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle x_ {n}}$

${\ Displaystyle y_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {M-1} b_ {i} x_ {ni}}$

Es deseable que desaparezca para una constante, por lo que tomando el orden, por ejemplo: ${\ Displaystyle m = 4}$

${\ Displaystyle b_ {0} \ centerdot 1 + b_ {1} \ centerdot 1 + b_ {2} \ centerdot 1 + b_ {3} \ centerdot 1 = 0}$

Y hacer que desaparezca por una rampa lineal para que:

${\ Displaystyle b_ {0} \ centerdot 0 + b_ {1} \ centerdot 1 + b_ {2} \ centerdot 2 + b_ {3} \ centerdot 3 = 0}$

Un filtro lineal desaparecerá para cualquiera , y esto es todo lo que se puede hacer con una ondícula de cuarto orden. Se necesitarán seis términos para hacer desaparecer una curva cuadrática y así sucesivamente dadas las otras restricciones que se incluirán. A continuación, un filtro acompañante se puede definir como: ${\ Displaystyle x = \ alpha n + \ beta}$

${\ Displaystyle z_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {M-1} c_ {i} x_ {ni}}$

Este filtro responde de manera exactamente opuesta, siendo grande para señales suaves y pequeño para señales no suaves. Un filtro lineal es solo una convolución de la señal con los coeficientes del filtro, por lo que la serie de coeficientes es la señal a la que el filtro responde al máximo. Por lo tanto, la salida del segundo filtro desaparece cuando se ingresan los coeficientes del primero. El objetivo es tener:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {M-1} c_ {i} b_ {i} = 0}$

Donde la serie de tiempo asociada cambia el orden de los coeficientes porque el filtro lineal es una convolución, por lo que ambos tienen el mismo índice en esta suma. Un par de filtros con esta propiedad se definen como filtros de espejo en cuadratura. Incluso si las dos bandas resultantes han sido submuestreadas por un factor de 2, la relación entre los filtros significa que es posible una reconstrucción aproximadamente perfecta . Es decir, las dos bandas se pueden muestrear, filtrar nuevamente con los mismos filtros y agregarse para reproducir exactamente la señal original (pero con un pequeño retraso). (En implementaciones prácticas, los problemas de precisión numérica en aritmética de punto flotante pueden afectar la perfección de la reconstrucción).

Otras lecturas

• A. Croisier, D.Esteban, C.Galand: División perfecta de canales mediante el uso de técnicas de descomposición de árboles de interpolación / diezmado. Primera Conferencia Internacional sobre Ciencias y Sistemas, Patras, agosto de 1976, págs. 443-446.
• Johnston, JD, una familia de filtros Diseñada para su uso en bancos de filtros de espejo en cuadratura. [1] , Acústica, habla y procesamiento de señales, Conferencia Internacional IEEE, 5, 291-294, abril de 1980.
• Binomial QMF , también conocido como filtros wavelet de Daubechies .
• Simposios de NJIT sobre subbandas y wavelets 1990, 1992, 1994, 1997.
• Mohlenkamp, ​​M. J, Un tutorial sobre wavelets y sus aplicaciones. [2] , Universidad de Colorado, Boulder, Departamento de Matemáticas Aplicadas, 2004.
• Polikar, R, Análisis multirresolución: la transformada de ondícula discreta. [3] , Rowan University, NJ, Departamento de Ingeniería Eléctrica e Informática

Referencias