Wavelet - Wavelet

A wavelet es una onda -como oscilación con una amplitud que comienza en cero, aumenta y luego disminuye de nuevo a cero. Por lo general, se puede visualizar como una "breve oscilación" como una registrada por un sismógrafo o un monitor cardíaco . Generalmente, las ondículas se diseñan intencionalmente para tener propiedades específicas que las hagan útiles para el procesamiento de señales .

Onda sísmica

Por ejemplo, se podría crear una ondícula para tener una frecuencia de C medio y una duración corta de aproximadamente una décima de segundo. Si esta wavelet fuera convolucionada con una señal creada a partir de la grabación de una melodía, entonces la señal resultante sería útil para determinar cuándo se estaba reproduciendo la nota de Do central en la canción. Matemáticamente, la ondícula se correlacionará con la señal si la señal desconocida contiene información de frecuencia similar. Este concepto de correlación es el núcleo de muchas aplicaciones prácticas de la teoría de ondículas.

Como herramienta matemática, las ondículas se pueden utilizar para extraer información de muchos tipos diferentes de datos, incluidas, entre otras, señales de audio e imágenes. Generalmente, se necesitan conjuntos de ondículas para analizar los datos por completo. Un conjunto de ondas "complementarias" descompondrá los datos sin espacios ni superposición, de modo que el proceso de descomposición sea matemáticamente reversible. Por lo tanto, los conjuntos de ondículas complementarias son útiles en algoritmos de compresión / descompresión basados en ondículas donde es deseable recuperar la información original con una pérdida mínima.

En términos formales, esta representación es una serie wavelet representación de una función cuadrada integrable con respecto a cualquiera de una completa , ortonormal conjunto de funciones de base , o un sobrecompletos conjunto o marco de un espacio vectorial , para el espacio de Hilbert de funciones integrables cuadrados. Esto se logra mediante estados coherentes .

En la física clásica , el fenómeno de difracción se describe mediante el principio de Huygens-Fresnel que trata cada punto en un frente de onda que se propaga como una colección de ondas esféricas individuales . El patrón de flexión característico es más pronunciado cuando una onda de una fuente coherente (como un láser) encuentra una rendija / apertura que es comparable en tamaño a su longitud de onda , como se muestra en la imagen insertada. Esto se debe a la adición, o interferencia , de diferentes puntos en el frente de onda (o, de manera equivalente, cada ondícula) que viajan por caminos de diferentes longitudes hasta la superficie de registro. Si hay múltiples aberturas poco espaciadas (por ejemplo, una rejilla de difracción ), puede resultar un patrón complejo de intensidad variable.

Etimología

La palabra wavelet se ha utilizado durante décadas en el procesamiento de señales digitales y la geofísica de exploración. La palabra francesa equivalente ondelette que significa "onda pequeña" fue utilizada por Morlet y Grossmann a principios de la década de 1980.

Teoría wavelet

La teoría de wavelets es aplicable a varios temas. Todas las transformadas de tren de ondas se pueden considerar las formas de representación tiempo-frecuencia para de tiempo continuo señales (analógicas) y así se relacionan con el análisis armónico . La transformada de ondículas discretas (continua en el tiempo) de una señal de tiempo discreto (muestreada) mediante el uso de bancos de filtros de tiempo discreto de configuración diádica (banda de octava) es una aproximación de ondículas a esa señal. Los coeficientes de dicho banco de filtros se denominan coeficientes de desplazamiento y escala en la nomenclatura de wavelets. Estos bancos de filtros pueden contener filtros de respuesta de impulso finito (FIR) o de respuesta de impulso infinito (IIR). Las ondículas que forman una transformada de ondículas continua (CWT) están sujetas al principio de incertidumbre de la teoría de muestreo respectiva del análisis de Fourier: dada una señal con algún evento en ella, no se puede asignar simultáneamente una escala exacta de respuesta de tiempo y frecuencia a ese evento. El producto de las incertidumbres de la escala de respuesta de tiempo y frecuencia tiene un límite inferior. Por lo tanto, en el escalograma de una transformada de ondícula continua de esta señal, tal evento marca una región completa en el plano de la escala de tiempo, en lugar de solo un punto. Además, las bases de ondículas discretas pueden considerarse en el contexto de otras formas del principio de incertidumbre.

Las transformadas wavelet se dividen ampliamente en tres clases: continuas, discretas y basadas en múltiples resoluciones.

Transformaciones de ondículas continuas (cambios continuos y parámetros de escala)

En las transformadas de ondículas continuas , una señal dada de energía finita se proyecta en una familia continua de bandas de frecuencia (o subespacios similares del espacio funcional L ^p L ² ( R )). Por ejemplo, la señal puede representarse en cada banda de frecuencia de la forma [ f , 2 f ] para todas las frecuencias positivas f > 0. Entonces, la señal original puede reconstruirse mediante una integración adecuada sobre todos los componentes de frecuencia resultantes.

Las bandas de frecuencia o subespacios (subbandas) son versiones escaladas de un subespacio a escala 1. Este subespacio, a su vez, es en la mayoría de las situaciones generado por los cambios de una función generadora ψ en L ² ( R ), la ondícula madre . Para el ejemplo de la escala una banda de frecuencia [1, 2] esta función es

${\ Displaystyle \ psi (t) = 2 \, \ operatorname {sinc} (2t) - \, \ operatorname {sinc} (t) = {\ frac {\ sin (2 \ pi t) - \ sin (\ pi t)} {\ pi t}}}$

con la función sinc (normalizada) . Ese, el de Meyer y otros dos ejemplos de ondas madre son:

Meyer

Morlet

Sombrero mexicano

El subespacio de escala a o banda de frecuencia [1 / a , 2 / a ] es generado por las funciones (a veces llamadas ondas secundarias )

${\ Displaystyle \ psi _ {a, b} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ psi \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right),}$

donde a es positivo y define la escala y b es cualquier número real y define el cambio. El par ( un , b ) define un punto en el semiplano derecho R ₊ × R .

La proyección de una función x sobre el subespacio de escala a tiene entonces la forma

${\ Displaystyle x_ {a} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} WT _ {\ psi} \ {x \} (a, b) \ cdot \ psi _ {a, b} (t) \ , db}$

con coeficientes wavelet

${\ Displaystyle WT _ {\ psi} \ {x \} (a, b) = \ langle x, \ psi _ {a, b} \ rangle = \ int _ {\ mathbb {R}} x (t) {\ psi _ {a, b} (t)} \, dt.}$

Para el análisis de la señal x , se pueden ensamblar los coeficientes de ondícula en un escalograma de la señal.

Vea una lista de algunas ondículas continuas .

Transformaciones de ondículas discretas (cambios discretos y parámetros de escala, continuos en el tiempo)

Es computacionalmente imposible analizar una señal usando todos los coeficientes de wavelet, por lo que uno puede preguntarse si es suficiente seleccionar un subconjunto discreto del semiplano superior para poder reconstruir una señal a partir de los coeficientes de wavelet correspondientes. Uno de tales sistemas es el afín sistema para algunos parámetros reales una > 1, b > 0. La correspondiente subconjunto discreta de la halfplane consiste en todos los puntos ( un ^m , na ^m b ) con m , n en Z . Las ondículas secundarias correspondientes ahora se dan como

${\ Displaystyle \ psi _ {m, n} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {m}}}} \ psi \ left ({\ frac {t-nb} {a ^ { m}}} \ derecha).}$

Una condición suficiente para la reconstrucción de cualquier señal x de energía finita mediante la fórmula

${\ Displaystyle x (t) = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ langle x, \, \ psi _ {m, n} \ rangle \ cdot \ psi _ {m, n} (t)}$

es que las funciones forman una base ortonormal de L ² ( R ). ${\ Displaystyle \ {\ psi _ {m, n}: m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$

Transformaciones de ondículas discretas basadas en múltiples resoluciones (continuas en el tiempo)

Odícula D4

En cualquier transformada de ondículas discretizadas, solo hay un número finito de coeficientes de ondículas para cada región rectangular acotada en el semiplano superior. Aún así, cada coeficiente requiere la evaluación de una integral. En situaciones especiales, esta complejidad numérica puede evitarse si las ondas escaladas y desplazadas forman un análisis de múltiples resoluciones . Esto significa que tiene que existir una función auxiliar , la ondícula padre φ en L ² ( R ), y que a es un número entero. Una opción típica es a = 2 yb = 1. El par más famoso de wavelets padre y madre es el wavelet de 4 derivaciones de Daubechies . Tenga en cuenta que no todas las bases de ondículas discretas ortonormales pueden asociarse a un análisis multiresolución; por ejemplo, la ondícula de Journe no admite análisis multirresolución.

A partir de las ondas madre y padre se construyen los subespacios

${\ Displaystyle V_ {m} = \ operatorname {span} (\ phi _ {m, n}: n \ in \ mathbb {Z}), {\ text {donde}} \ phi _ {m, n} (t ) = 2 ^ {- m / 2} \ phi (2 ^ {- m} tn)}$

${\ Displaystyle W_ {m} = \ operatorname {span} (\ psi _ {m, n}: n \ in \ mathbb {Z}), {\ text {donde}} \ psi _ {m, n} (t ) = 2 ^ {- m / 2} \ psi (2 ^ {- m} tn).}$

La ondícula padre mantiene las propiedades del dominio del tiempo, mientras que la ondícula madre mantiene las propiedades del dominio de la frecuencia. ${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle W_ {i}}$

De estos se requiere que la secuencia

${\ Displaystyle \ {0 \} \ subconjunto \ puntos \ subconjunto V_ {1} \ subconjunto V_ {0} \ subconjunto V _ {- 1} \ subconjunto V _ {- 2} \ subconjunto \ puntos \ subconjunto L ^ {2} ( \ mathbb {R})}$

forma un análisis multirresolución de L ² y que los subespacios son las "diferencias" ortogonales de la secuencia anterior, es decir, W _m es el complemento ortogonal de V _m dentro del subespacio V _{m −1} , ${\ Displaystyle \ dots, W_ {1}, W_ {0}, W _ {- 1}, \ dots}$

${\ Displaystyle V_ {m} \ oplus W_ {m} = V_ {m-1}.}$

De manera análoga al teorema de muestreo, se puede concluir que el espacio V _m con una distancia de muestreo de 2 ^m cubre más o menos la banda base de frecuencia de 0 a 2 ^{- m -1} . Como complemento ortogonal, W _m cubre aproximadamente la banda [2 ^{- m −1} , 2 ^{- m} ].

De esas inclusiones y relaciones de ortogonalidad, especialmente , se sigue la existencia de secuencias y que satisfacen las identidades ${\ Displaystyle V_ {0} \ oplus W_ {0} = V _ {- 1}}$${\ Displaystyle h = \ {h_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ Displaystyle g = \ {g_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$

${\ Displaystyle g_ {n} = \ langle \ phi _ {0,0}, \, \ phi _ {- 1, n} \ rangle}$para que y${\ Displaystyle \ phi (t) = {\ sqrt {2}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} g_ {n} \ phi (2t-n),}$

${\ Displaystyle h_ {n} = \ langle \ psi _ {0,0}, \, \ phi _ {- 1, n} \ rangle}$ así que eso ${\ Displaystyle \ psi (t) = {\ sqrt {2}} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} h_ {n} \ phi (2t-n).}$

La segunda identidad del primer par es una ecuación de refinamiento para la ondícula padre φ. Ambos pares de identidades forman la base del algoritmo de la transformada de ondas rápidas .

Del análisis multirresolución se deriva la descomposición ortogonal del espacio L ² como

${\ Displaystyle L ^ {2} = V_ {j_ {0}} \ oplus W_ {j_ {0}} \ oplus W_ {j_ {0} -1} \ oplus W_ {j_ {0} -2} \ oplus W_ {j_ {0} -3} \ oplus \ cdots}$

Para cualquier señal o función, esto da una representación en funciones base de los subespacios correspondientes como ${\ Displaystyle S \ en L ^ {2}}$

${\ Displaystyle S = \ sum _ {k} c_ {j_ {0}, k} \ phi _ {j_ {0}, k} + \ sum _ {j \ leq j_ {0}} \ sum _ {k} d_ {j, k} \ psi _ {j, k}}$

donde los coeficientes son

${\ Displaystyle c_ {j_ {0}, k} = \ langle S, \ phi _ {j_ {0}, k} \ rangle}$ y

${\ Displaystyle d_ {j, k} = \ langle S, \ psi _ {j, k} \ rangle.}$

Onda madre

Por aplicaciones prácticas, y por razones de eficiencia, se prefieren funciones continuamente diferenciables con soporte compacto como wavelet (funciones) madre (prototipo). Sin embargo, para satisfacer los requisitos analíticos (en el WT continuo) y en general por razones teóricas, se escogen las funciones wavelet de un subespacio del espacio.Este es el espacio de las funciones mensurables de Lebesgue que son absolutamente integrables y cuadradas integrables en el sentido de que ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R}) \ cap L ^ {2} (\ mathbb {R}).}$

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (t) | \, dt <\ infty}$ y ${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (t) | ^ {2} \, dt <\ infty.}$

Estar en este espacio asegura que uno pueda formular las condiciones de media cero y norma cuadrada uno:

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (t) \, dt = 0}$ es la condición para la media cero, y

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (t) | ^ {2} \, dt = 1}$ es la condición para la norma cuadrada uno.

Para que ψ sea ​​una ondícula para la transformada de ondícula continua (ver allí la declaración exacta), la ondícula madre debe satisfacer un criterio de admisibilidad (en términos generales, una especie de diferenciación media) para obtener una transformada establemente invertible.

Para la transformada de ondículas discretas , se necesita al menos la condición de que la serie de ondículas sea ​​una representación de la identidad en el espacio L ² ( R ). La mayoría de las construcciones de WT discretas hacen uso del análisis multiresolución , que define la ondícula mediante una función de escala. Esta función de escala en sí misma es una solución a una ecuación funcional.

En la mayoría de las situaciones, es útil restringir ψ para que sea una función continua con un mayor número M de momentos de fuga, es decir, para todos los enteros m < M

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t ^ {m} \, \ psi (t) \, dt = 0.}$

La madre wavelet se escala (o dilatado) por un factor de una y traducido (o desplazada) por un factor de b para dar (bajo la formulación original de Morlet):

${\ Displaystyle \ psi _ {a, b} (t) = {1 \ over {\ sqrt {a}}} \ psi \ left ({tb \ over a} \ right).}$

Para el WT continuo, el par ( a , b ) varía sobre el semiplano completo R ₊ × R ; para el WT discreto, este par varía en un subconjunto discreto del mismo, que también se denomina grupo afín .

A menudo, estas funciones se denominan incorrectamente funciones de base de la transformación (continua). De hecho, como en la transformada de Fourier continua, no hay base en la transformada de ondícula continua. La interpretación de frecuencia de tiempo utiliza una formulación sutilmente diferente (después de Delprat).

Restricción:

1. ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi _ {a1, b1} (t) \ varphi \ left ({\ frac { tb} {a}} \ right) \, dt}$ cuando a1 = a y b1 = b,
2. ${\ Displaystyle \ Psi (t)}$ tiene un intervalo de tiempo finito

Comparaciones con la transformada de Fourier (tiempo continuo)

La transformada wavelet a menudo se compara con la transformada de Fourier , en la que las señales se representan como una suma de sinusoides. De hecho, la transformada de Fourier puede verse como un caso especial de la transformada de ondícula continua con la elección de la ondícula madre . La principal diferencia en general es que las ondículas se localizan tanto en tiempo como en frecuencia, mientras que la transformada de Fourier estándar solo se localiza en frecuencia . La transformada de Fourier de corta duración (STFT) es similar a la transformada wavelet, en que también está localizada en el tiempo y la frecuencia, pero existen problemas con la compensación entre resolución de frecuencia y tiempo. ${\ Displaystyle \ psi (t) = e ^ {- 2 \ pi it}}$

En particular, asumiendo una región de ventana rectangular, uno puede pensar en STFT como una transformación con un kernel ligeramente diferente

${\ Displaystyle \ psi (t) = g (tu) e ^ {- 2 \ pi it}}$

where a menudo se puede escribir como , where y u denotan respectivamente la longitud y el desplazamiento temporal de la función de ventana. Usando el teorema de Parseval , se puede definir la energía de la ondícula como ${\ Displaystyle g (tu)}$${\ textstyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tu} {\ Delta _ {t}}} \ right)}$${\ Displaystyle \ Delta _ {t}}$

${\ Displaystyle E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \ psi (t) | ^ {2} \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {\ psi}} (\ omega) | ^ {2} \, d \ omega}$

A partir de esto, el cuadrado del soporte temporal de la ventana desplazada por el tiempo u está dado por

${\ Displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2} = {\ frac {1} {E}} \ int | tu | ^ {2} | \ psi (t) | ^ {2} \, dt}$

y el cuadrado del soporte espectral de la ventana que actúa sobre una frecuencia ${\ Displaystyle \ xi}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ omega} ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi E}} \ int | \ omega - \ xi | ^ {2} | {\ hat {\ psi}} (\ omega) | ^ {2} \, d \ omega}$

La multiplicación con una ventana rectangular en el dominio del tiempo corresponde a la convolución con una función en el dominio de la frecuencia, lo que resulta en artefactos de timbre espurios para ventanas temporales cortas / localizadas. Con la transformada de Fourier de tiempo continuo, y esta convolución es con una función delta en el espacio de Fourier, lo que resulta en la verdadera transformada de Fourier de la señal . La función de ventana puede ser algún otro filtro apodizador , como un gaussiano . La elección de la función de ventana afectará el error de aproximación relativo a la verdadera transformada de Fourier. ${\ Displaystyle \ operatorname {sinc} (\ Delta _ {t} \ omega)}$${\ Displaystyle \ Delta _ {t} \ to \ infty}$${\ Displaystyle x (t)}$

No se puede exceder el producto de ancho de banda de tiempo de una celda de resolución dada con el STFT. Todos los elementos básicos de STFT mantienen un soporte espectral y temporal uniforme para todos los desplazamientos o desplazamientos temporales, logrando así una resolución igual en el tiempo para frecuencias más bajas y más altas. La resolución está puramente determinada por el ancho de muestreo.

Por el contrario, las propiedades multirresolución de la transformada wavelet permiten grandes soportes temporales para frecuencias más bajas mientras se mantienen anchos temporales cortos para frecuencias más altas mediante las propiedades de escala de la transformada wavelet. Esta propiedad extiende el análisis convencional de frecuencia de tiempo al análisis de escala de tiempo.

Átomos de frecuencia de tiempo STFT (izquierda) y átomos de escala de tiempo DWT (derecha). Los átomos de tiempo-frecuencia son cuatro funciones básicas diferentes que se utilizan para la STFT (es decir, se requieren cuatro transformadas de Fourier independientes ). Los átomos de escala de tiempo de la DWT logran anchos temporales pequeños para frecuencias altas y anchos temporales buenos para frecuencias bajas con un solo conjunto de bases de transformación.

La transformada de ondículas discretas es menos compleja computacionalmente , y toma O ( N ) tiempo en comparación con O ( N  log  N ) para la transformada rápida de Fourier . Esta ventaja computacional no es inherente a la transformada, pero refleja la elección de una división logarítmica de frecuencia, en contraste con las divisiones de frecuencia igualmente espaciadas de la FFT (Transformada rápida de Fourier) que usa las mismas funciones básicas que DFT (Transformada discreta de Fourier) . También es importante tener en cuenta que esta complejidad solo se aplica cuando el tamaño del filtro no tiene relación con el tamaño de la señal. Una ondícula sin soporte compacto como la ondícula de Shannon requeriría O ( N ² ). (Por ejemplo, también existe una transformada de Fourier logarítmica con complejidad O ( N ), pero la señal original debe muestrearse logarítmicamente en el tiempo, lo que solo es útil para ciertos tipos de señales).

Definición de una ondícula

Hay varias formas de definir una ondícula (o una familia de ondículas).

Filtro de escala

Una ondícula ortogonal está completamente definida por el filtro de escala - un filtro de respuesta de impulso finito de paso bajo (FIR) de longitud 2 N y suma 1. En las ondículas biortogonales , se definen filtros separados de descomposición y reconstrucción.

Para el análisis con ondas ortogonales, el filtro de paso alto se calcula como el filtro de espejo en cuadratura del paso bajo, y los filtros de reconstrucción son el tiempo inverso de los filtros de descomposición.

Las ondículas de Daubechies y Symlet se pueden definir mediante el filtro de escala.

Función de escala

Las ondículas se definen por la función ondícula ψ ( t ) (es decir, la ondícula madre) y la función de escala φ ( t ) (también llamada ondícula padre) en el dominio del tiempo.

La función wavelet es, en efecto, un filtro de paso de banda y un escalado que para cada nivel reduce a la mitad su ancho de banda. Esto crea el problema de que para cubrir todo el espectro se requeriría una cantidad infinita de niveles. La función de escalado filtra el nivel más bajo de la transformación y asegura que todo el espectro esté cubierto. Consulte para obtener una explicación detallada.

Para una ondícula con soporte compacto, φ ( t ) puede considerarse de longitud finita y es equivalente al filtro de escala g .

Las ondículas de Meyer se pueden definir mediante funciones de escala

Función wavelet

La ondícula solo tiene una representación en el dominio del tiempo como la función ondícula ψ ( t ).

Por ejemplo, las ondas de sombrero mexicano se pueden definir mediante una función de onda. Vea una lista de algunas ondas continuas .

Historia

El desarrollo de wavelets se puede vincular a varios trenes de pensamiento separados, comenzando con el trabajo de Haar a principios del siglo XX. El trabajo posterior de Dennis Gabor produjo los átomos de Gabor (1946), que se construyen de manera similar a las ondículas y se aplican a propósitos similares.

Contribuciones notables a la teoría de ondículas desde entonces pueden atribuirse al descubrimiento de Zweig de la transformada de ondículas continua (CWT) en 1975 (originalmente llamada transformada coclear y descubierta al estudiar la reacción del oído al sonido), Pierre Goupillaud, Grossmann y Morlet. La formulación de lo que ahora se conoce como CWT (1982), los primeros trabajos de Jan-Olov Strömberg sobre ondas discretas (1983), la onda LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 desarrollada por Didier Le Gall y Ali J. Tabatabai ( 1988), Ingrid Daubechies 'wavelets ortogonales con soporte compacto (1988), Mallat ' marco s multirresolución (1989), Ali Akansu 's binomial QMF (1990), la interpretación de tiempo-frecuencia de Nathalie Delprat de la CWT (1991), de Newland wavelet armónica transform (1993) y la partición de conjuntos en árboles jerárquicos (SPIHT) desarrollado por Amir Said con William A. Pearlman en 1996.

El estándar JPEG 2000 fue desarrollado de 1997 a 2000 por un comité del Joint Photographic Experts Group (JPEG) presidido por Touradj Ebrahimi (más tarde presidente de JPEG). A diferencia del algoritmo DCT utilizado por el formato JPEG original , JPEG 2000 utiliza en cambio algoritmos de transformada de ondas discretas (DWT). Utiliza la transformada de ondas CDF 9/7 (desarrollada por Ingrid Daubechies en 1992) para su algoritmo de compresión con pérdida , y la transformada de ondas 5/3 LeGall-Tabatabai (LGT) (desarrollada por Didier Le Gall y Ali J. Tabatabai en 1988) por su algoritmo de compresión sin pérdidas . La tecnología JPEG 2000 , que incluye la extensión Motion JPEG 2000 , fue seleccionada como estándar de codificación de video para cine digital en 2004.

Cronología

• Primera wavelet ( Haar Wavelet ) de Alfréd Haar (1909)
• Desde la década de 1970: George Zweig , Jean Morlet , Alex Grossmann
• Desde la década de 1980: Yves Meyer , Didier Le Gall, Ali J. Tabatabai, Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies , Ronald Coifman , Ali Akansu , Victor Wickerhauser
• Desde la década de 1990: Nathalie Delprat, Newland, Amir Said, William A. Pearlman, Touradj Ebrahimi, JPEG 2000

Transformaciones wavelet

Una ondícula es una función matemática que se utiliza para dividir una función determinada o una señal de tiempo continuo en diferentes componentes de escala. Por lo general, se puede asignar un rango de frecuencia a cada componente de la escala. Luego, cada componente de la escala se puede estudiar con una resolución que coincida con su escala. Una transformada de ondículas es la representación de una función mediante ondículas. Las ondículas son copias escaladas y traducidas (conocidas como "ondículas hijas") de una forma de onda oscilante de longitud finita o de rápida decadencia (conocida como "ondícula madre"). Las transformadas wavelet tienen ventajas sobre las transformadas tradicionales de Fourier para representar funciones que tienen discontinuidades y picos agudos, y para deconstruir y reconstruir con precisión señales finitas, no periódicas y / o no estacionarias .

Las transformadas de ondículas se clasifican en transformadas de ondículas discretas (DWT) y transformadas de ondículas continuas (CWT). Tenga en cuenta que tanto DWT como CWT son transformaciones de tiempo continuo (analógicas). Se pueden utilizar para representar señales de tiempo continuo (analógicas). Los CWT operan en todas las escalas y traducciones posibles, mientras que los DWT usan un subconjunto específico de valores de escala y traducción o cuadrícula de representación.

Hay una gran cantidad de transformadas de ondículas, cada una de las cuales es adecuada para diferentes aplicaciones. Para obtener una lista completa, consulte la lista de transformaciones relacionadas con wavelets, pero las más comunes se enumeran a continuación:

• Transformada de ondícula continua (CWT)
• Transformada de ondícula discreta (DWT)
• Transformada de ondícula rápida (FWT)
• Esquema de elevación y esquema de elevación generalizado
• Descomposición de paquetes de ondas (WPD)
• Transformada de ondículas estacionarias (SWT)
• Transformada fraccional de Fourier (FRFT)
• Transformada de ondícula fraccional (FRWT)

Transformaciones generalizadas

Hay una serie de transformadas generalizadas de las cuales la transformada de ondícula es un caso especial. Por ejemplo, Yosef Joseph Segman introdujo la escala en el grupo de Heisenberg , dando lugar a un espacio de transformación continuo que es una función del tiempo, la escala y la frecuencia. El CWT es un corte bidimensional a través del volumen de frecuencia de escala de tiempo 3d resultante.

Otro ejemplo de una transformada generalizada es la transformada chirplet en la que el CWT es también un corte bidimensional a través de la transformada chirplet.

Un área de aplicación importante para las transformadas generalizadas involucra sistemas en los que la resolución de alta frecuencia es crucial. Por ejemplo, las transformadas ópticas de electrones de campo oscuro intermedias entre el espacio directo y recíproco se han utilizado ampliamente en el análisis armónico de la agrupación de átomos, es decir, en el estudio de cristales y defectos cristalinos . Ahora que los microscopios electrónicos de transmisión son capaces de proporcionar imágenes digitales con información a escala de picómetro sobre la periodicidad atómica en nanoestructuras de todo tipo, la gama de aplicaciones de reconocimiento de patrones y deformación / metrología para transformaciones intermedias con resolución de alta frecuencia (como brochas y crestas) está creciendo rápidamente.

La transformada de ondícula fraccional (FRWT) es una generalización de la transformada de ondícula clásica en los dominios de la transformada de Fourier fraccional. Esta transformada es capaz de proporcionar la información de dominio fraccional y de tiempo simultáneamente y representar señales en el plano de frecuencia fraccional de tiempo.

Aplicaciones de la transformada wavelet

Generalmente, se usa una aproximación a DWT para la compresión de datos si una señal ya está muestreada, y el CWT para el análisis de señales . Por lo tanto, la aproximación DWT se usa comúnmente en ingeniería y ciencias de la computación, y la CWT en investigación científica.

Al igual que algunas otras transformaciones, las transformaciones de ondículas se pueden utilizar para transformar datos y luego codificar los datos transformados, lo que da como resultado una compresión efectiva. Por ejemplo, JPEG 2000 es un estándar de compresión de imágenes que utiliza ondas biortogonales. Esto significa que, aunque la trama está demasiado completa, es una trama ajustada (ver tipos de tramas de un espacio vectorial ), y las mismas funciones de trama (excepto para la conjugación en el caso de ondículas complejas) se utilizan tanto para el análisis como para la síntesis, es decir , tanto en la transformada directa como en la inversa. Para obtener más información, consulte la compresión de ondículas .

Un uso relacionado es para suavizar / eliminar el ruido de datos basados ​​en el umbral del coeficiente de ondículas, también llamado contracción de ondículas. Al establecer un umbral adaptativo de los coeficientes de ondícula que corresponden a componentes de frecuencia no deseados, se pueden realizar operaciones de suavizado y / o eliminación de ruido.

Las transformadas wavelet también están comenzando a usarse para aplicaciones de comunicación. Wavelet OFDM es el esquema de modulación básico utilizado en HD-PLC (una tecnología de comunicaciones por línea de energía desarrollada por Panasonic ) y en uno de los modos opcionales incluidos en el estándar IEEE 1901 . Wavelet OFDM puede lograr muescas más profundas que la FFT OFDM tradicional , y la wavelet OFDM no requiere un intervalo de guarda (que generalmente representa una sobrecarga significativa en los sistemas FFT OFDM).

Como representación de una señal

A menudo, las señales se pueden representar bien como una suma de sinusoides. Sin embargo, considere una señal no continua con una discontinuidad abrupta; esta señal todavía se puede representar como una suma de sinusoides, pero requiere un número infinito, que es una observación conocida como fenómeno de Gibbs . Esto, entonces, requiere un número infinito de coeficientes de Fourier, lo que no es práctico para muchas aplicaciones, como la compresión. Las ondículas son más útiles para describir estas señales con discontinuidades debido a su comportamiento localizado en el tiempo (las transformadas de Fourier y las ondículas están localizadas en frecuencia, pero las ondículas tienen una propiedad adicional de localización en el tiempo). Debido a esto, muchos tipos de señales en la práctica pueden no ser escasos en el dominio de Fourier, pero muy escasos en el dominio de ondículas. Esto es particularmente útil en la reconstrucción de señales, especialmente en el campo recientemente popular de detección comprimida . (Tenga en cuenta que la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) también se localiza en el tiempo y la frecuencia, pero a menudo hay problemas con la compensación de la resolución entre la frecuencia y el tiempo. Las ondas son mejores representaciones de señales debido al análisis de múltiples resoluciones ).

Esto motiva por qué las transformadas de ondículas se están adoptando ahora para una gran cantidad de aplicaciones, a menudo reemplazando la transformada de Fourier convencional . Muchas áreas de la física han visto este cambio de paradigma, incluida la dinámica molecular , la teoría del caos , los cálculos ab initio , la astrofísica , el análisis de datos transitorios de ondas gravitacionales , la localización de matrices de densidad , la sismología , la óptica , la turbulencia y la mecánica cuántica . Este cambio también se ha producido en el procesamiento de imágenes , EEG , EMG , análisis de ECG , ritmos cerebrales , análisis de ADN , análisis de proteínas , climatología , análisis de respuesta sexual humana, procesamiento de señales generales , reconocimiento de voz , acústica, señales de vibración, gráficos por computadora , análisis multifractal , y codificación escasa . En la visión por computadora y el procesamiento de imágenes , la noción de representación del espacio de escala y los operadores derivados de Gauss se consideran una representación canónica de múltiples escalas.

Eliminación de ruido de ondas

Eliminación de ruido de la señal mediante el umbral de la transformada de ondículas

Supongamos que medimos una señal ruidosa . Suponga que s tiene una representación escasa en ciertas bases de ondículas, y${\ Displaystyle x = s + v}$${\ Displaystyle v \ \ sim \ {\ mathcal {N}} (0, \, \ sigma ^ {2} I)}$

Entonces . ${\ Displaystyle y = W ^ {T} x = W ^ {T} s + W ^ {T} v = p + z}$

La mayoría de los elementos de p son 0 o cercanos a 0, y ${\ Displaystyle z \ \ sim \ \ {\ mathcal {N}} (0, \, \ sigma ^ {2} I)}$

Dado que W es ortogonal, el problema de estimación equivale a la recuperación de una señal en ruido gaussiano iid . Como p es escaso, un método consiste en aplicar un modelo de mezcla gaussiana para p.

Asumir una previa , es la varianza de los coeficientes "significativas", y es la varianza de los coeficientes "insignificantes". ${\ Displaystyle p \ \ sim \ a {\ mathcal {N}} (0, \, \ sigma _ {1} ^ {2}) + (1-a) {\ mathcal {N}} (0, \, \ sigma _ {2} ^ {2})}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$

Entonces , se llama factor de contracción, que depende de las variaciones previas y . El efecto del factor de contracción es que los coeficientes pequeños se establecen antes en 0 y los coeficientes grandes no se modifican. ${\ Displaystyle {\ tilde {p}} = E (p / y) = \ tau (y) y}$${\ Displaystyle \ tau (y)}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2}}$

Los coeficientes pequeños son en su mayoría ruidos y los coeficientes grandes contienen una señal real.

Por último, aplique la transformada de ondícula inversa para obtener ${\ Displaystyle {\ tilde {s}} = W {\ tilde {p}}}$

Red neuronal Wavelet (WNN)

WNN es un modelo de aprendizaje profundo. Su característica principal es que WNN puede reducir el ruido o los datos redundantes para mejorar la precisión. En este caso, WNN se usa ampliamente en diferentes campos, incluido el procesamiento de señales, la ingeniería, la visión por computadora y las finanzas.

Introducción

Las redes no lineales son muy útiles para el modelado e identificación de sistemas. Por ejemplo, este método aproximado se puede utilizar para el reconocimiento de caja negra de sistemas no lineales. Recientemente, las redes neuronales se han establecido como una herramienta de aproximación general para ajustar modelos no lineales a partir de datos de entrada / salida. El trabajo de G. Cybenko, Caroll y Dickinson estableció propiedades de aproximación universal para tales redes. Por otro lado, la descomposición de ondículas recientemente introducida se ha convertido en una nueva y poderosa herramienta de aproximación. Los hechos han demostrado que la estructura de esta estructura aproximada es muy similar a la estructura implementada por la red neuronal de capa (1 + $). En particular, desarrollos recientes han demostrado la existencia de bases de ondículas ortogonales, a partir de las cuales se puede obtener la velocidad de convergencia de la aproximación de red basada en ondículas. Inspirado por las redes neuronales feedforward y la descomposición de ondículas, este artículo propone un nuevo tipo de red denominada red de ondículas. Se propone un algoritmo de retropropagación y se dan resultados experimentales.

Estructura y parametrización

Una forma de estructura de red en la que se introducen parámetros g adicionales (y redundantes) para ayudar a lidiar con funciones medias distintas de cero en campos finitos. Tenga en cuenta que, dado que la expansión y la traducción son ajustables, esta forma es equivalente a la forma hasta una constante g. Además, para compensar la selectividad de dirección de la expansión, combinamos la rotación con cada transformación afín para hacer que la red sea más flexible.

dónde

• El parámetro adicional 9 se introduce para facilitar la aproximación de funciones con promedio distinto de cero, ya que la ondícula a (x) es media cero;
• Las matrices de dilatación D, son matrices diagonales construidas a partir de vectores de dilatación, mientras que R, son matrices de rotación.

Análisis

Se propone y discute la estructura de la red de ondículas. Las redes wavelet suelen tener la forma de una red de tres capas. La capa inferior representa la capa de entrada, la capa intermedia representa la capa oculta y la capa superior representa la capa de salida. En nuestra implementación, se utiliza una red de ondículas multidimensionales con una conexión lineal entre la ondícula y la salida. Además, existe una conexión directa desde la capa de entrada a la capa de salida, lo que ayudará a que la red funcione bien en aplicaciones lineales.

Además, también se discuten la fase de inicialización, la fase de entrenamiento y las condiciones de parada. La inicialización de parámetros es muy importante en las redes wavelet, porque puede reducir en gran medida el tiempo de entrenamiento. El método de inicialización desarrollado extrae información útil del análisis de ondículas. El método más simple es el método heurístico. Se pueden utilizar métodos más complejos (como la selección basada en residuos, la selección mediante ortogonalización y eliminación hacia atrás) para una inicialización eficaz. Los resultados de nuestro análisis muestran que la eliminación hacia atrás es significativamente mejor que otros métodos. Los resultados de dos casos de simulación muestran que utilizando el método de eliminación hacia atrás, la red de ondículas proporciona un ajuste muy cercano a la función de base real. Sin embargo, es computacionalmente más caro que otros métodos. El método de retropropagación se utiliza para el entrenamiento de redes. De forma iterativa, actualice los pesos de la red de acuerdo con las reglas de aprendizaje incremental, donde se utilizan la tasa de aprendizaje y el impulso. Entrene los pesos de la red para minimizar la función de costo cuadrático promedio. El entrenamiento continuará hasta que se cumpla una de las condiciones de parada.

Lista de wavelets

Ondas discretas

• Beylkin (18)
• Ondas biortogonales casi coiflet (BNC)
• Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
• Onda de Cohen-Daubechies-Feauveau (a veces denominada CDF N / P o ondas biortogonales de Daubechies)
• Onda de Daubechies (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc.)
• Binomial-QMF (también conocido como wavelet de Daubechies)
• Haar wavelet
• Wavelet de Mathieu
• Onda de Legendre
• Oleaje de Villaseñor
• Symlet

Ondas continuas

Valor real

• Onda beta
• Odita hermitiana
• Onda de Meyer
• Ola de sombrero mexicano
• Onda de Poisson
• Onda de Shannon
• Wavelet spline
• Onda de Strömberg

De valor complejo

• Onda compleja de sombrero mexicano
• fbsp wavelet
• Onda de Morlet
• Onda de Shannon
• Onda de Morlet modificada

Ver también

• Transformación de chirplet
• Curvelet
• Cine digital
• Bancos de filtros
• Compresión fractal
• Transformada fraccional de Fourier
• JPEG 2000
• Análisis multirresolución
• Ruido
• Wavelet no separable
• Espacio de escala
• Correlación escalada
• Shearlet
• Transformada de Fourier de corta duración
• Radio de banda ultra ancha: transmite ondas
• Paquete de onda
• Wavelet de Gabor # espacio Wavelet
• Reducción de dimensión
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Espectrograma
• Principio de Huygens-Fresnel (ondas físicas)

Referencias

Otras lecturas

• Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme , Mathematische Annalen, 69 , págs. 331–371, 1910.
• Ingrid Daubechies , Diez conferencias sobre wavelets , Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 1992, ISBN  0-89871-274-2
• Ali Akansu y Richard Haddad, Descomposición de señales multiresolución: transformaciones, subbandas, wavelets , Academic Press, 1992, ISBN  0-12-047140-X
• PP Vaidyanathan , Sistemas multivelocidad y bancos de filtros , Prentice Hall, 1993, ISBN  0-13-605718-7
• Gerald Kaiser, Una guía amigable para Wavelets , Birkhauser, 1994, ISBN  0-8176-3711-7
• Mladen Victor Wickerhauser, Análisis Wavelet adaptado de la teoría al software , AK Peters Ltd, 1994, ISBN  1-56881-041-5
• Martin Vetterli y Jelena Kovačević, "Wavelets and Subband Coding", Prentice Hall, 1995, ISBN  0-13-097080-8
• Barbara Burke Hubbard, "El mundo según las ondas: la historia de una técnica matemática en proceso", AK Peters Ltd, 1998, ISBN  1-56881-072-5 , ISBN  978-1-56881-072-0
• Stéphane Mallat , "A wavelet tour of signal processing" 2nd Edition, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• Donald B. Percival y Andrew T. Walden, Métodos Wavelet para el análisis de series de tiempo , Cambridge University Press, 2000, ISBN  0-521-68508-7
• Ramazan Gençay, Faruk Selçuk y Brandon Whitcher, Introducción a las wavelets y otros métodos de filtrado en finanzas y economía , Academic Press, 2001, ISBN  0-12-279670-5
• Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook , Instituto de Física , 2002, ISBN  0-7503-0692-0
• B. Boashash, editor, "Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia - Una referencia completa", Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN  0-08-044335-4 .
• Tony F. Chan y "Jackie (Jianhong) Shen" , Procesamiento y análisis de imágenes : métodos variables , PDE, wavelet y estocásticos , Sociedad de Matemáticas Aplicadas, ISBN  0-89871-589-X (2005)
• Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 13.10. Transformaciones Wavelet" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

enlaces externos

• Resumen de Wavelet
• Wavelets: Software : una lista de marcos útiles de transformación de wavelets, bibliotecas y otro software
• "Análisis de ondas" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• 1er Simposio de NJIT sobre Wavelets (30 de abril de 1990) (Primera Conferencia de Wavelets en EE. UU.)
• Ondas de Daubechies Binomial-QMF
• Wavelets por Gilbert Strang, American Scientist 82 (1994) 250-255. (Una muy breve y excelente introducción)
• Curso sobre Wavelets impartido en UC Santa Barbara, 2004
• Wavelets para niños (archivo PDF) (Introducción (¡para niños muy inteligentes!))
• WITS: ¿Dónde está la estrella? Un diccionario de decenas de wavelets y términos relacionados con wavelets que terminan en -let, desde activelets hasta x-lets pasando por bandlets, contourlets, curvelets, noiselets, wedgelets.
• La transformada de wavelet fraccional spline describe una transformada wavelet fraccional basada en b-splines fraccionales.
• Un panorama sobre representaciones geométricas multiescala, entrelazando selectividad espacial, direccional y de frecuencia proporciona un tutorial sobre ondículas orientadas bidimensionales y transformaciones multiescala geométricas relacionadas.
• Reducción de ruido de la señal mediante wavelets
• Introducción concisa a Wavelets por René Puschinger