p -orden ádico - p-adic order

En la teoría de números básica , para un número primo dado p , el orden p -ádico de un entero positivo n es el exponente más alto tal que divide n . Esta función se extiende fácilmente a números racionales positivos r =${\ Displaystyle \ nu _ {p}}$${\ Displaystyle p ^ {\ nu _ {p}}}$ a/B por

${\ Displaystyle r = p_ {1} ^ {\ nu _ {p_ {1}}} p_ {2} ^ {\ nu _ {p_ {2}}} \ cdots p_ {k} ^ {\ nu _ {p_ {k}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ {\ nu _ {p_ {i}}},}$

donde son números primos y son números enteros (únicos) (considerados 0 para todos los números primos que no aparecen en r, de modo que ). ${\ Displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ dotsb <p_ {k}}$${\ Displaystyle \ nu _ {p_ {i}}}$${\ Displaystyle \ nu _ {p_ {i}} (r) = \ nu _ {p_ {i}} (a) - \ nu _ {p_ {i}} (b)}$

Este orden p -ádico constituye una valoración (escrita de forma aditiva) , la denominada valoración p -ádica , que cuando se escribe multiplicativamente es análoga al valor absoluto habitual conocido . Ambos tipos de valoraciones se pueden utilizar para completar el campo de los números racionales, donde la finalización con una valoración p -ádica da como resultado un campo de p - números ádicos ℚ _p (en relación con un número primo elegido p ), mientras que la finalización con el número p -ádico El valor absoluto habitual resulta en el campo de los números reales ℝ .

Distribución de números naturales por su orden 2-ádico, etiquetados con las correspondientes potencias de dos en decimal. Zero siempre tiene un orden infinito.

Definición y propiedades

Sea p un número primo .

Enteros

El orden p -ádico o la valoración p -ádica para ℤ es la función

${\ Displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N}}$

definido por

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (n) = {\ begin {cases} \ mathrm {max} \ {k \ in \ mathbb {N}: p ^ {k} \ mid n \} & {\ text { if}} n \ neq 0 \\\ infty & {\ text {if}} n = 0, \ end {cases}}}$

donde denota los números naturales . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Por ejemplo, y desde . ${\ Displaystyle \ nu _ {3} (- 45) = 2}$${\ Displaystyle \ nu _ {5} (- 45) = 1}$${\ Displaystyle | {-45} | = 45 = 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {1}}$

La notación a veces se usa para significar . ${\ Displaystyle p ^ {k} \ paralelo n}$${\ Displaystyle k = \ nu _ {p} (n)}$

Numeros racionales

El orden p -ádico se puede extender a los números racionales como la función

${\ Displaystyle \ nu _ {p}: \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Z}}$

definido por

${\ Displaystyle \ nu _ {p} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ nu _ {p} (a) - \ nu _ {p} (b).}$

Por ejemplo, y desde . ${\ Displaystyle \ nu _ {2} {\ bigl (} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = - 3}$${\ Displaystyle \ nu _ {3} {\ bigl (} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr)} = 2}$${\ displaystyle {\ tfrac {9} {8}} = {\ tfrac {3 ^ {2}} {2 ^ {3}}}}$

Algunas propiedades son:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nu _ {p} (m \ cdot n) & = \ nu _ {p} (m) + \ nu _ {p} (n) \\ [5px] \ nu _ {p} (m + n) & \ geq \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ bigr \}}. \ end {alineado} }}$

Además, si , entonces ${\ Displaystyle \ nu _ {p} (m) \ neq \ nu _ {p} (n)}$

${\ Displaystyle \ nu _ {p} (m + n) = \ min {\ bigl \ {} \ nu _ {p} (m), \ nu _ {p} (n) {\ bigr \}}}$

donde min es el mínimo (es decir, el más pequeño de los dos).

valor absoluto p -ádico

El valor absoluto p -ádico en ℚ es la función

${\ Displaystyle | \ cdot | _ {p} \ colon \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

definido por

${\ Displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- \ nu _ {p} (r)}.}$

Por ejemplo, y${\ Displaystyle | {-45} | _ {3} = {\ tfrac {1} {9}}}$${\ displaystyle {\ bigl |} {\ tfrac {9} {8}} {\ bigr |} _ {2} = 8.}$

El valor absoluto p -ádico satisface las siguientes propiedades.

No negatividad	${\ Displaystyle | a | _ {p} \ geq 0}$
Definición positiva	${\ Displaystyle | a | _ {p} = 0 \ iff a = 0}$
Multiplicatividad	${\ Displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$
No Arquímedes	${\ Displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ left (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ right)}$

La simetría se deriva de la multiplicatividad y la subaditividad de la desigualdad del triángulo no arquimediano . ${\ Displaystyle | {-a} | _ {p} = | a | _ {p}}$ ${\ Displaystyle | ab | _ {p} = | a | _ {p} | b | _ {p}}$ ${\ Displaystyle | a + b | _ {p} \ leq | a | _ {p} + | b | _ {p}}$ ${\ Displaystyle | a + b | _ {p} \ leq \ max \ left (| a | _ {p}, | b | _ {p} \ right)}$

La elección de la base p en la exponenciación no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto: ${\ Displaystyle p ^ {- \ nu _ {p} (r)}}$

${\ Displaystyle \ prod _ {0, p} | x | _ {p} = 1}$

donde el producto se toma sobre todos los números primos py el valor absoluto habitual, denotado . Esto se sigue de simplemente tomar la factorización prima : cada factor de potencia prima contribuye con su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto de Arquímedes habitual los cancela a todos. ${\ Displaystyle | x | _ {0}}$${\ Displaystyle p ^ {k}}$

El valor absoluto p -ádico se denomina a veces la " norma p -ádica", aunque en realidad no es una norma porque no satisface el requisito de homogeneidad .

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto ℚ con una métrica ( no arquimediana , invariante en la traducción )

${\ Displaystyle d \ colon \ mathbb {Q} \ times \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$

definido por

${\ Displaystyle d (x, y) = | xy | _ {p}.}$

La finalización de ℚ con respecto a esta métrica conduce al campo ℚ _p de p -números ádicos.

Ver también

• p -número de ádico
• Propiedad de Arquímedes
• Multiplicidad (matemáticas)
• Teorema de ostrowski

Referencias