p -función exponencial ádica - p-adic exponential function

En matemáticas , particularmente en el análisis p -ádico , la función exponencial p -ádica es un análogo p -ádico de la función exponencial habitual en los números complejos . Como en el caso complejo, tiene una función inversa, denominada logaritmo p -ádico .

Definición

La función exponencial habitual en C está definida por la serie infinita

${\ Displaystyle \ exp (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

De manera totalmente análoga, se define la función exponencial en C _p , la finalización del cierre algebraico de Q _p , por

${\ Displaystyle \ exp _ {p} (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

Sin embargo, a diferencia de exp que converge en todo C , exp _p solo converge en el disco

${\ Displaystyle | z | _ {p} <p ^ {- 1 / (p-1)}.}$

Esto se debe a que las series p -ádicas convergen si y solo si los sumandos tienden a cero, y dado que n ! en el denominador de cada sumando tiende a hacerlos muy grandes p -ádicamente, más bien se necesita un valor pequeño de z en el numerador.

función de logaritmo p -ádico

La serie de poder

${\ Displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} x ^ {n}} {n}},}$

converge para x en C _p satisfaciendo | x | _p  <1 y así define la función de logaritmo p -ádico log _p ( z ) para | z  - 1 | _p  <1 que satisface la propiedad habitual log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w . La función log _p se puede extender a todos los C ×
p (el conjunto de elementos distintos de cero de C _p ) imponiendo que continúa satisfaciendo esta última propiedad y estableciendo log _p ( p ) = 0. Específicamente, cada elemento w de C ×
p se puede escribir como w  =  p ^r · ζ · z con r un número racional, ζ una raíz de unidad y | z  - 1 | _p  <1, en cuyo caso log _p ( w ) = log _p ( z ). Esta función en C ×
p a veces se denomina logaritmo de Iwasawa para enfatizar la elección de log _p ( p ) = 0. De hecho, hay una extensión del logaritmo de | z  - 1 | _p  <1 a todo C ×
p para cada elección de log _p ( p ) en C _p .

Propiedades

Si z y w son ambos en el radio de convergencia para exp _p , entonces su suma es demasiado y tenemos la fórmula adición usual: exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z ) exp _p ( w ).

De manera similar, si z y w son elementos distintos de cero de C _p, entonces log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w .

Para z en el dominio de exp _p , tenemos exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z y log _p (exp _p ( z )) =  z .

Las raíces del logaritmo de Iwasawa log _p ( z ) son exactamente los elementos de C _p de la forma p ^r · ζ donde r es un número racional y ζ es una raíz de unidad.

Tenga en cuenta que no hay un análogo en C _p de la identidad de Euler , e ^{2 πi}  = 1. Este es un corolario del teorema de Strassmann .

Otra diferencia importante con la situación en C es que el dominio de convergencia de exp _p es mucho más pequeño que el de log _p . En su lugar, se puede utilizar una función exponencial modificada, la exponencial de Artin-Hasse , que converge en | z | _p  <1.

Notas

Referencias

• Capítulo 12 de Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5.
• Cohen, Henri (2007), Teoría de números, Volumen I: Herramientas y ecuaciones diofánticas , Textos de posgrado en matemáticas , 239 , Nueva York: Springer, doi : 10.1007 / 978-0-387-49923-9 , ISBN 978-0-387-49922-2, MR  2312337

enlaces externos

• logaritmo exponencial p-ádico y p-ádico