Cálculo operacional - Operational calculus

El cálculo operacional , también conocido como análisis operacional , es una técnica mediante la cual los problemas de análisis , en particular las ecuaciones diferenciales , se transforman en problemas algebraicos, generalmente el problema de resolver una ecuación polinomial .

Historia

La idea de representar los procesos de cálculo, diferenciación e integración, como operadores, tiene una larga historia que se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz . El matemático Louis François Antoine Arbogast fue uno de los primeros en manipular estos símbolos independientemente de la función a la que se aplicaban.

Este enfoque fue desarrollado por Francois-Joseph Servois, quien desarrolló notaciones convenientes. A Servois le siguió una escuela de matemáticos británicos e irlandeses que incluía a Charles James Hargreave , George Boole , Bownin, Carmichael, Doukin, Graves, Murphy, William Spottiswoode y Sylvester.

Robert Bell Carmichael en 1855 y Boole en 1859 escribieron tratados que describen la aplicación de métodos de operador a ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Esta técnica fue completamente desarrollada por el físico Oliver Heaviside en 1893, en relación con su trabajo en telegrafía .

Guiado en gran medida por la intuición y su riqueza de conocimientos sobre la física detrás de sus estudios de circuitos, [Heaviside] desarrolló el cálculo operacional que ahora se le atribuye a su nombre.

En ese momento, los métodos de Heaviside no eran rigurosos y su trabajo no fue desarrollado más por los matemáticos. El cálculo operacional encontró aplicaciones por primera vez en problemas de ingeniería eléctrica , para el cálculo de transitorios en circuitos lineales después de 1910, bajo el impulso de Ernst Julius Berg , John Renshaw Carson y Vannevar Bush .

Una rigurosa justificación matemática de los métodos operativos de Heaviside llegó solo después del trabajo de Bromwich que relacionó el cálculo operativo con los métodos de transformación de Laplace (ver los libros de Jeffreys, Carslaw o MacLachlan para una exposición detallada). Otras formas de justificar los métodos operativos de Heaviside se introdujeron a mediados de la década de 1920 utilizando técnicas de ecuaciones integrales (como lo hizo Carson) o la transformación de Fourier (como lo hizo Norbert Wiener ).

Un enfoque diferente del cálculo operacional fue desarrollado en la década de 1930 por el matemático polaco Jan Mikusiński , utilizando el razonamiento algebraico.

Norbert Wiener sentó las bases de la teoría del operador en su revisión del estado existencial del cálculo operacional en 1926:

El brillante trabajo de Heaviside es puramente heurístico, desprovisto incluso de la pretensión de rigor matemático. Sus operadores se aplican a tensiones y corrientes eléctricas, que pueden ser discontinuas y ciertamente no necesitan ser analíticas. Por ejemplo, el corpus vile favorito en el que prueba sus operadores es una función que se desvanece a la izquierda del origen y es 1 a la derecha. Esto excluye cualquier aplicación directa de los métodos de Pincherle ...

Aunque los desarrollos de Heaviside no han sido justificados por el estado actual de la teoría puramente matemática de los operadores, existe una gran cantidad de lo que podríamos llamar evidencia experimental de su validez, y son muy valiosos para los ingenieros eléctricos . Sin embargo, hay casos en los que conducen a resultados ambiguos o contradictorios.

Principio

El elemento clave del cálculo operacional es considerar la diferenciación como un operador p =D/d tactuando sobre funciones . Las ecuaciones diferenciales lineales pueden luego reformularse en forma de "funciones" F (p) del operador p que actúa sobre la función desconocida que iguala a la función conocida. Aquí, F define algo que toma un operador py devuelve otro operador F (p) . Entonces se obtienen soluciones haciendo que el operador inverso de F actúe sobre la función conocida. El cálculo operacional generalmente está tipificado por dos símbolos, el operador py la función unitaria 1 . El operador en su uso es probablemente más matemático que físico, la función de la unidad es más física que matemática. El operador p en el cálculo de Heaviside inicialmente representa el diferenciador de tiempoD/d t. Además, se desea que este operador lleve la relación recíproca tal que p ^-1 denota la operación de integración.

En la teoría de circuitos eléctricos, uno está tratando de determinar la respuesta de un circuito eléctrico a un impulso. Debido a la linealidad, basta con considerar un paso unitario :

Función escalón Heaviside : H ( t ) tal que H ( t ) = 0 si t <0 y H ( t ) = 1 si t > 0.

El ejemplo más simple de aplicación del cálculo operacional es resolver: p  y = H ( t ) , lo que da

${\ Displaystyle y = \ operatorname {p} ^ {- 1} H = \ int _ {0} ^ {t} H (u) \ operatorname {d} u = t \ H (t)}$.

En este ejemplo, se ve que representa integración . Además, n integraciones iteradas está representado por de modo que ${\ Displaystyle \ operatorname {p} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n},}$

${\ Displaystyle \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t).}$

Continuando tratando p como si fuera una variable,

${\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {p}} {\ \ operatorname {p} -a \}} H (t) = {\ frac {1} {\ 1 - {\ frac {a} {\ operatorname { p}}} \}} \ H (t),}$

que se puede reescribir utilizando una expansión de serie geométrica ,

${\ Displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ frac {a} {\ operatorname {p}}}}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a ^ {n } \ operatorname {p} ^ {- n} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {n} t ^ {n}} {n!}} H (t) = e ^ {en} H (t)}$.

Usando la descomposición de fracciones parciales , se puede definir cualquier fracción en el operador py calcular su acción sobre H ( t ) . Además, si la función 1 / F (p) tiene una expansión en serie de la forma

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ operatorname {p} ^ {- n} }$,

es sencillo de encontrar

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ F (\ operatorname {p}) \}} H (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} H (t)}$.

Aplicando esta regla, la resolución de cualquier ecuación diferencial lineal se reduce a un problema puramente algebraico.

Heaviside fue más allá y definió la potencia fraccionaria de p, estableciendo así una conexión entre el cálculo operacional y el cálculo fraccional .

Usando la expansión de Taylor , también se puede verificar la fórmula de traducción de Lagrange-Boole , e ^{a p} f ( t ) = f ( t + a ) , por lo que el cálculo operacional también es aplicable a ecuaciones en diferencias finitas y a problemas de ingeniería eléctrica con señales retardadas. .

Referencias

• Terquem y Gerono (1855) Nouvelles Annales de Mathematiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale 14 , 83 [Algunas referencias históricas sobre la obra precursora hasta Carmichael].
• O. Heaviside (1892) Papeles eléctricos , Londres
• O. Heaviside (1893, 1899, 1902) Teoría electromagnética , Londres
• O. Heaviside (1893) Proc. Roy. Soc. (Londres) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
• JR Carson (1926) Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 32 , 43.
• JR Carson (1926) Teoría de circuitos eléctricos y cálculo operacional , McGraw Hill).
• H. Jeffreys (1927) Métodos operativos en física matemática Cambridge University Press, también en Internet Archive
• HW March (1927) Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 33 , 311, 33 , 492.
• Ernst Berg (1929) Cálculo operativo de Heaviside , McGraw Hill a través de Internet Archive
• Vannevar Bush (1929) Análisis del circuito operativo con un apéndice de Norbert Wiener , John Wiley & Sons
• HT Davis (1936) La teoría de los operadores lineales (Principia Press, Bloomington).
• NW Mc Lachlan (1941) Cálculo operacional moderno (Macmillan).
• HS Carslaw (1941) Métodos operativos en matemáticas aplicadas Oxford University Press .
• Balthasar van der Pol y H. Bremmer (1950) Cálculo operativo Cambridge University Press
• B. van der Pol (1950) "Heaviside's Operational Calculus" en Heaviside Centenary Volume por el Instituto de Ingenieros Eléctricos
• RV Churchill (1958) Matemáticas operativas McGraw-Hill
• J. Mikusinski (1960) Cálculo operacional Elsevier
• Rota, GC; Kahaner, D .; Odlyzko, A. (1973). "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos" . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 42 (3): 684. doi : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8 .
• Jesper Lützen (1979) "El cálculo operativo de Heaviside y sus intentos de rigorizarlo", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas 21 (2): 161–200 doi : 10.1007 / BF00330405
• Paul J. Nahin (1985) Oliver Heaviside, Operadores fraccionales y la edad de la Tierra , Transacciones sobre educación de IEEE E-28 (2): 94-104, enlace de IEEE Explore .
• James B. Calvert (2002) Heaviside, Laplace y la Inversión Integral , de la Universidad de Denver .

enlaces externos

• IV REGLAS OPERATIVAS DE Lindell HEAVISIDE APLICABLES A PROBLEMAS ELECTROMAGNÉTICOS
• Cálculo de Ron Doerfler Heaviside
• Ensayo de Jack Crenshaw que muestra el uso de operadores Más sobre la piedra de Rosetta