Bases mutuamente imparciales - Mutually unbiased bases

En la teoría de la información cuántica , las bases mutuamente insesgadas en el espacio de Hilbert C ^d son dos bases ortonormales y tales que el cuadrado de la magnitud del producto interno entre cualquier base establece y es igual a la inversa de la dimensión d : ${\ Displaystyle \ {| e_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {d} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| f_ {1} \ rangle, \ dots, | f_ {d} \ rangle \}}$${\ Displaystyle | e_ {j} \ rangle}$${\ Displaystyle | f_ {k} \ rangle}$

${\ Displaystyle | \ langle e_ {j} | f_ {k} \ rangle | ^ {2} = {\ frac {1} {d}}, \ quad \ forall j, k \ in \ {1, \ dots, D\}.}$

Estas bases son insesgadas en el siguiente sentido: si un sistema se prepara en un estado que pertenece a una de las bases, entonces se predice que todos los resultados de la medición con respecto a la otra base ocurrirán con la misma probabilidad.

Visión general

La noción de bases mutuamente insesgadas fue introducida por primera vez por Schwinger en 1960, y la primera persona en considerar aplicaciones de bases mutuamente insesgadas fue Ivanovic en el problema de la determinación del estado cuántico.

Otra área donde se pueden aplicar bases mutuamente insesgadas es la distribución de claves cuánticas , más específicamente en el intercambio seguro de claves cuánticas. Las bases mutuamente insesgadas se utilizan en muchos protocolos, ya que el resultado es aleatorio cuando una medición se realiza sobre una base insesgada con respecto a aquella en la que se preparó el estado. Cuando dos partes remotas comparten dos estados cuánticos no ortogonales, los intentos de un fisgón de distinguirlos mediante mediciones afectarán al sistema y esto puede detectarse. Si bien muchos protocolos de criptografía cuántica se han basado en tecnologías de 1 qubit , el empleo de estados de mayor dimensión, como los qutrits , permite una mejor seguridad contra las escuchas clandestinas . Esto motiva el estudio de bases mutuamente insesgadas en espacios de dimensiones superiores.

Otros usos de bases mutuamente insesgadas incluyen reconstrucción de estados cuánticos , códigos de corrección de errores cuánticos , detección de entrelazamiento cuántico y el llamado "problema del rey malo".

Problema de existencia

Dejado denotar el número máximo de bases mutuamente recomendaciones en el d -dimensional espacio de Hilbert C ^d . Es una pregunta abierta cuántas bases mutuamente insesgadas , se pueden encontrar en C ^d , para d arbitrario . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}} (d)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}} (d)}$

En general, si

${\ Displaystyle d = p_ {1} ^ {n_ {1}} p_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {n_ {k}}}$

es la factorización de potencia prima de d , donde

${\ Displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} <p_ {2} ^ {n_ {2}} <\ cdots <p_ {k} ^ {n_ {k}}}$

entonces el número máximo de bases mutuamente insesgadas que se pueden construir satisface

${\ Displaystyle p_ {1} ^ {n_ {1}} + 1 \ leq {\ mathfrak {M}} (d) \ leq d + 1.}$

De ello se deduce que si la dimensión de un espacio de Hilbert d es una potencia entera de un número primo, entonces es posible encontrar d  + 1 bases mutuamente insesgadas. Esto se puede ver en la ecuación anterior, ya que la descomposición de números primos de d simplemente es . Por lo tanto, ${\ Displaystyle d = p ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}} (p ^ {n}) = p ^ {n} +1.}$

Por lo tanto, se conoce el número máximo de bases mutuamente insesgadas cuando d es una potencia entera de un número primo, pero no se conoce para d arbitrario .

Ejemplos de conjuntos de bases mutuamente insesgadas

Ejemplo para d = 2

Las tres bases

${\ Displaystyle M_ {0} = \ left \ {| 0 \ rangle, | 1 \ rangle \ right \}}$

${\ Displaystyle M_ {1} = \ left \ {{\ frac {| 0 \ rangle + | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}}}, {\ frac {| 0 \ rangle - | 1 \ rangle} { \ sqrt {2}}} \ right \}}$

${\ Displaystyle M_ {2} = \ left \ {{\ frac {| 0 \ rangle + i | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}}}, {\ frac {| 0 \ rangle -i | 1 \ rangle } {\ sqrt {2}}} \ right \}}$

proporcione el ejemplo más simple de bases mutuamente insesgadas en C ² . Las bases anteriores están compuestas por los vectores propios de las matrices de espín de Pauli y su producto , respectivamente. ${\ Displaystyle \ sigma _ {z}, \ sigma _ {x}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {z}}$

Ejemplo para d = 4

Para d  = 4, un ejemplo de d  + 1 = 5 bases mutuamente insesgadas donde cada base se denota por M _j , 0 ≤ j ≤ 4, se da de la siguiente manera:

${\ Displaystyle M_ {0} = \ left \ {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1 )\Derecha\}}$

${\ Displaystyle M_ {1} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1,1,1,1), {\ frac {1} {2}} (1,1, -1, -1), {\ frac {1} {2}} (1, -1, -1,1), {\ frac {1} {2}} (1, -1,1, -1) \ right \ }}$

${\ Displaystyle M_ {2} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1, -1, -i, -i), {\ frac {1} {2}} (1, -1 , i, i), {\ frac {1} {2}} (1,1, i, -i), {\ frac {1} {2}} (1,1, -i, i) \ right \ }}$

${\ Displaystyle M_ {3} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1, -i, -i, -1), {\ frac {1} {2}} (1, -i , i, 1), {\ frac {1} {2}} (1, i, i, -1), {\ frac {1} {2}} (1, i, -i, 1) \ right \ }}$

${\ Displaystyle M_ {4} = \ left \ {{\ frac {1} {2}} (1, -i, -1, -i), {\ frac {1} {2}} (1, -i , 1, i), {\ frac {1} {2}} (1, i, -1, i), {\ frac {1} {2}} (1, i, 1, -i) \ right \ }}$

Métodos para encontrar bases mutuamente insesgadas

Método del grupo de Weyl

Sean y dos operadores unitarios en el espacio de Hilbert C ^d tales que ${\ Displaystyle {\ hat {X}}}$${\ Displaystyle {\ hat {Z}}}$

${\ Displaystyle {\ hat {Z}} {\ hat {X}} = \ omega {\ hat {X}} {\ hat {Z}}}$

para algún factor de fase . Si es una raíz primitiva de unidad , por ejemplo , las bases propias de y son mutuamente insesgadas. ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ omega \ equiv e ^ {\ frac {2 \ pi i} {d}}}$${\ Displaystyle {\ hat {X}}}$${\ Displaystyle {\ hat {Z}}}$

Al elegir la base propia de para que sea la base estándar , podemos generar otra base insesgada utilizando una matriz de Fourier. Los elementos de la matriz de Fourier están dados por ${\ Displaystyle {\ hat {Z}}}$

${\ displaystyle F_ {ab} = \ omega ^ {ab}, 0 \ leq a, b \ leq N-1}$

Otras bases que son insesgadas tanto con respecto a la base estándar como a la base generada por la matriz de Fourier se pueden generar usando grupos de Weyl. La dimensión del espacio de Hilbert es importante cuando se generan conjuntos de bases mutuamente insesgadas utilizando grupos de Weyl. Cuando d es un número primo, entonces las  bases habituales d + 1 mutuamente insesgadas se pueden generar usando grupos de Weyl. Cuando d no es un número primo, entonces es posible que el número máximo de bases mutuamente insesgadas que se pueden generar usando este método sea 3.

Método de operadores unitarios utilizando campos finitos

Cuando d  =  p es primo , definimos los operadores unitarios y por ${\ Displaystyle {\ hat {X}}}$${\ Displaystyle {\ hat {Z}}}$

${\ Displaystyle {\ hat {X}} = \ sum _ {k = 0} ^ {d-1} | k + 1 \ rangle \ langle k |}$

${\ Displaystyle {\ hat {Z}} = \ sum _ {k = 0} ^ {d-1} \ omega ^ {k} | k \ rangle \ langle k |}$

donde es la base estándar y es una raíz de unidad . ${\ Displaystyle \ {| k \ rangle | 0 \ leq j \ leq d-1 \}}$${\ Displaystyle \ omega = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {d}}}$

Entonces las bases propias de los siguientes  operadores d + 1 son mutuamente insesgadas:

${\ Displaystyle {\ hat {X}}, {\ hat {Z}}, {\ hat {X}} {\ hat {Z}}, {\ hat {X}} {\ hat {Z}} ^ { 2} ... {\ hat {X}} {\ hat {Z}} ^ {d-1}.}$

Para d impar , el t -ésimo vector propio del operador viene dado explícitamente por ${\ Displaystyle {\ hat {X}} {\ hat {Z}} ^ {k}}$

${\ Displaystyle | \ psi _ {t} ^ {k} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {d}}} \ sum _ {j = 0} ^ {d-1} \ omega ^ {- jt} \ omega ^ {kj (j-1) / 2} | j \ rangle.}$

Cuando es una potencia de un primo, utilizamos el campo finito para construir un conjunto máximo de d  + 1 bases mutuamente insesgadas. Tenemos etiqueta los elementos de la base de cálculo de C ^d utilizando el campo finito: . ${\ Displaystyle d = p ^ {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {d}}$${\ Displaystyle \ {| a \ rangle | a \ in \ mathbb {F} _ {d} \}}$

Definimos los operadores y de la siguiente manera ${\ Displaystyle {\ hat {X_ {a}}}}$${\ Displaystyle {\ hat {Z_ {b}}}}$

${\ Displaystyle {\ hat {X_ {a}}} = \ sum _ {c \ in \ mathbb {F} _ {d}} | c + a \ rangle \ langle c |}$

${\ Displaystyle {\ hat {Z_ {b}}} = \ sum _ {c \ in \ mathbb {F} _ {d}} \ chi (bc) | c \ rangle \ langle c |}$

dónde

${\ Displaystyle \ chi (\ theta) = \ exp \ left [{\ frac {2 \ pi i} {p}} \ left (\ theta + \ theta ^ {p} + \ theta ^ {p ^ {2} } + \ cdots + \ theta ^ {p ^ {r-1}} \ right) \ right],}$

es un carácter aditivo sobre el campo y la suma y multiplicación en los kets y es el de . ${\ Displaystyle \ chi (\ cdot)}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {d}}$

Luego formamos d  + 1 conjuntos de operadores unitarios de conmutación :

${\ Displaystyle \ {{\ hat {Z_ {s}}} | s \ in \ mathbb {F} _ {d} \}}$y para cada${\ Displaystyle \ {{\ hat {X_ {s}}} {\ hat {Z_ {sr}}} | s \ in \ mathbb {F} _ {d} \}}$${\ Displaystyle r \ in \ mathbb {F} _ {d}}$

Las bases propias conjuntas de los operadores en un conjunto son mutuamente insesgadas a las de cualquier otro conjunto. Por tanto, tenemos d  + 1 bases mutuamente insesgadas.

Método de matriz de Hadamard

Dado que una base en un espacio de Hilbert es la base estándar, entonces todas las bases que son insesgadas con respecto a esta base se pueden representar mediante las columnas de una matriz de Hadamard compleja multiplicada por un factor de normalización. Para d  = 3 estas matrices tendrían la forma

${\ Displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {d}}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ e ^ {i \ phi _ {10}} & e ^ {i \ phi _ {11}} & e ^ {i \ phi _ {12}} \\ e ^ {i \ phi _ {20}} & e ^ {i \ phi _ {21}} & e ^ {i \ phi _ {22}} \ end {bmatrix }}}$

El problema de encontrar un conjunto de k +1 bases mutuamente insesgadas, por lo tanto, corresponde a encontrar k matrices de Hadamard complejas mutuamente insesgadas.

Un ejemplo de una familia de un parámetro de matrices de Hadamard en un espacio de Hilbert de 4 dimensiones es

${\ Displaystyle H_ {4} (\ phi) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & e ^ {i \ phi} & - 1 & -e ^ {i \ phi} \ \ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -e ^ {i \ phi} & - 1 & e ^ {i \ phi} \ end {bmatrix}}}$

El problema de encontrar un conjunto máximo de MUB cuando d = 6

La dimensión más pequeña que no es una potencia entera de un número primo es d  = 6. Esta es también la dimensión más pequeña para la que no se conoce el número de bases mutuamente insesgadas. Los métodos utilizados para determinar el número de bases mutuamente insesgadas cuando d es una potencia entera de un número primo no se pueden utilizar en este caso. Las búsquedas de un conjunto de cuatro bases mutuamente insesgadas cuando d  = 6, tanto mediante el uso de matrices de Hadamard como de métodos numéricos, no han tenido éxito. La creencia general es que el número máximo de bases mutuamente insesgadas para d  = 6 es . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {M}} (6) = 3}$

Relaciones de incertidumbre entrópica y MUB

Existe una caracterización alternativa de bases mutuamente insesgadas que las considera en términos de relaciones de incertidumbre .

Las relaciones de incertidumbre entrópica son análogas al principio de incertidumbre de Heisenberg , y Maassen y Uffink encontraron que para dos bases cualesquiera y : ${\ Displaystyle B_ {1} = \ {| a_ {i} \ rangle _ {i = 1} ^ {d} \}}$${\ Displaystyle B_ {2} = \ {| b_ {j} \ rangle _ {j = 1} ^ {d} \}}$

${\ Displaystyle H_ {B_ {1}} + H_ {B_ {2}} \ geq -2 \ log c.}$

donde y y es la entropía respectiva de las bases y , al medir un estado dado. ${\ Displaystyle c = \ max | \ langle a_ {j} | b_ {k} \ rangle |}$${\ Displaystyle H_ {B_ {1}}}$${\ Displaystyle H_ {B_ {2}}}$${\ Displaystyle B_ {1}}$${\ Displaystyle B_ {2}}$

Las relaciones de incertidumbre entrópica son a menudo preferibles al principio de incertidumbre de Heisenberg , ya que no se expresan en términos del estado que se va a medir, sino en términos de c .

En escenarios como la distribución de claves cuánticas , apuntamos a bases de medición tales que el conocimiento completo de un estado con respecto a una base implica un conocimiento mínimo del estado con respecto a las otras bases. Esto implica una alta entropía de los resultados de la medición, por lo que llamamos a estas fuertes relaciones de incertidumbre entrópica.

Para dos bases, el límite inferior de la relación de incertidumbre se maximiza cuando las bases de medición son mutuamente insesgadas, ya que las bases mutuamente insesgadas son máximamente incompatibles : el resultado de una medición realizada en una base insesgada con respecto a aquella en la que se prepara el estado es completamente aleatorio. De hecho, para un espacio d -dimensional, tenemos:

${\ Displaystyle H_ {B_ {1}} + H_ {B_ {2}} \ geq \ log (d)}$

para cualquier par de bases mutuamente insesgadas y . Este límite es óptimo : si medimos un estado a partir de una de las bases, entonces el resultado tiene una entropía 0 en esa base y una entropía de en la otra. ${\ Displaystyle B_ {1}}$${\ Displaystyle B_ {2}}$${\ Displaystyle \ log (d)}$

Si la dimensión del espacio es una potencia primaria, podemos construir d  + 1 MUB, y luego se ha encontrado que

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {d + 1} H_ {B_ {k}} \ geq (d + 1) \ log \ left ({\ frac {d + 1} {2}} \ right )}$

que es más fuerte que la relación que obtendríamos al emparejar los conjuntos y luego usar la ecuación de Maassen y Uffink. Por tanto, tenemos una caracterización de d  + 1 bases mutuamente insesgadas como aquellas para las que las relaciones de incertidumbre son más fuertes.

Aunque el caso de dos bases y de d  + 1 bases está bien estudiado, se sabe muy poco acerca de las relaciones de incertidumbre para bases mutuamente insesgadas en otras circunstancias.

Cuando se consideran más de dos y menos de bases, se sabe que existen grandes conjuntos de bases mutuamente insesgadas que presentan muy poca incertidumbre. Esto significa que el mero hecho de ser mutuamente insesgados no conduce a una alta incertidumbre, excepto cuando se consideran mediciones en solo dos bases. Sin embargo, existen otras medidas que son muy inciertas. ${\ Displaystyle d + 1}$

Bases mutuamente insesgadas en espacios de Hilbert de dimensión infinita

Si bien se ha investigado sobre bases mutuamente imparciales en el espacio de Hilbert de dimensión infinita, su existencia sigue siendo una cuestión abierta. Se conjetura que en un espacio continuo de Hilbert, dos bases ortonormales y se dice que son mutuamente insesgadas si ${\ Displaystyle | \ psi _ {s} ^ {b} \ rangle}$${\ Displaystyle | \ psi _ {s '} ^ {b'} \ rangle}$

${\ Displaystyle | \ langle \ psi _ {s} ^ {b} | \ psi _ {s '} ^ {b'} \ rangle | ^ {2} = k> 0, s, s '\ in \ mathbb { R}}$

Para los estados propios de posición y momento generalizados y , el valor de k es ${\ Displaystyle | q \ rangle, q \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle | p \ rangle, p \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle | \ langle q | p \ rangle | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi \ hbar}}}$

La existencia de bases mutuamente imparciales en un espacio continuo de Hilbert permanece abierta al debate, ya que se requiere más investigación sobre su existencia antes de que se pueda llegar a conclusiones.

Los estados de posición y los estados de momento son vectores propios de los operadores hermitianos y , respectivamente. Weigert y Wilkinson fueron los primeros en notar que también una combinación lineal de estos operadores tiene bases propias, que tienen algunas características típicas de las bases mutuamente insesgadas. Un operador tiene funciones propias proporcionales a con y los valores propios correspondientes . Si parametrizamos y como y , la superposición entre cualquier estado propio de la combinación lineal y cualquier estado propio del operador de posición (ambos estados normalizados al delta de Dirac) es constante, pero depende de : ${\ Displaystyle | q \ rangle}$${\ Displaystyle | p \ rangle}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle -i {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}}$${\ Displaystyle \ alpha {\ hat {x}} - yo \ beta {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}}$${\ Displaystyle \ exp (i (ax ^ {2} + bx)) \,}$${\ Displaystyle \ alpha +2 \ beta a = 0}$${\ Displaystyle b \ beta}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ cos \ theta}$${\ Displaystyle \ sin \ theta}$${\ Displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle | \ langle x _ {\ theta} | x \ rangle | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi | \ sin \ theta |}},}$

donde y representan funciones propias de y . ${\ Displaystyle | x \ rangle}$${\ Displaystyle | x _ {\ theta} \ rangle}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle \ cos \ theta {\ hat {x}} - yo \ sin \ theta {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}}}$

Referencias