Constante de Mills - Mills' constant

En teoría de números , la constante de Mills se define como el número real positivo más pequeño A tal que la función de piso de la función exponencial doble

${\ Displaystyle \ lfloor A ^ {3 ^ {n}} \ rfloor}$

es un número primo para todos los números naturales n . Esta constante lleva el nombre de William H. Mills, quien demostró en 1947 la existencia de A basándose en los resultados de Guido Hoheisel y Albert Ingham sobre las brechas primarias . Se desconoce su valor, pero si la hipótesis de Riemann es cierta, es aproximadamente 1.3063778838630806904686144926 ... (secuencia A051021 en la OEIS ).

Molinos primos

Los primos generados por la constante de Mills se conocen como primos de Mills; si la hipótesis de Riemann es cierta, la secuencia comienza

${\ displaystyle 2,11,1361,2521008887,16022236204009818131831320183,4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499, \ ldots}$(secuencia A051254 en la OEIS ).

Si a _i denota el i- ^ésimo primo en esta secuencia, entonces a _i se puede calcular como el número primo más pequeño mayor que . Para asegurar que el redondeo , para n = 1, 2, 3,…, produce esta secuencia de primos, debe ser el caso que . Los resultados de Hoheisel-Ingham garantizan que existe un número primo entre dos números cúbicos suficientemente grandes , lo que es suficiente para demostrar esta desigualdad si partimos de un primer primo suficientemente grande . La hipótesis de Riemann implica que existe un primer entre dos cubos consecutivos, lo que permite la suficientemente grande condición a ser eliminado, y permitiendo que la secuencia de Mills números primos para comenzar en un ₁ = 2. ${\ Displaystyle a_ {i-1} ^ {3}}$${\ Displaystyle A ^ {3 ^ {n}}}$${\ Displaystyle a_ {i} <(a_ {i-1} +1) ^ {3}}$${\ Displaystyle a_ {1}}$

Para todo a> , hay al menos un primo entre y . Este límite superior es demasiado grande para ser práctico, ya que no es factible verificar todos los números por debajo de esa cifra. Sin embargo, el valor de la constante de Mills se puede verificar calculando el primer primo en la secuencia que sea mayor que esa cifra. ${\ Displaystyle e ^ {e ^ {34}}}$${\ Displaystyle a ^ {3}}$${\ Displaystyle (a + 1) ^ {3}}$

En abril de 2017, el undécimo número de la secuencia es el más grande que se ha demostrado que es primo . Es

${\ Displaystyle \ Displaystyle (((((((((2 ^ {3} +3) ^ {3} +30) ^ {3} +6) ^ {3} +80) ^ {3} +12) ^ {3} +450) ^ {3} +894) ^ {3} +3636) ^ {3} +70756) ^ {3} +97220}$

y tiene 20562 dígitos.

A partir de 2015, la prima probable más grande conocida de Mills (según la hipótesis de Riemann) es

${\ Displaystyle \ Displaystyle (((((((((((2 ^ {3} +3) ^ {3} +30) ^ {3} +6) ^ {3} +80) ^ {3} +12) ^ {3} +450) ^ {3} +894) ^ {3} +3636) ^ {3} +70756) ^ {3} +97220) ^ {3} +66768) ^ {3} + 300840) ^ {3} +1623568}$

(secuencia A108739 en la OEIS ), que tiene una longitud de 555,154 dígitos.

Cálculo numérico

Al calcular la secuencia de los números primos de Mills, se puede aproximar la constante de Mills como

${\ Displaystyle A \ approx a (n) ^ {1/3 ^ {n}}.}$

Caldwell y Cheng utilizaron este método para calcular 6850 dígitos en base 10 de la constante de Mills bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es cierta. No se conoce una fórmula de forma cerrada para la constante de Mills, y ni siquiera se sabe si este número es racional . Si es racional, y si podemos calcular su expansión decimal hasta el punto en que se repite, esto nos permitirá generar infinitos números primos demostrables.

Representaciones fraccionales

A continuación se muestran las fracciones que se aproximan a la constante de Mills, enumeradas en orden de precisión creciente (con convergentes de fracciones continuas en negrita) (secuencia A123561 en la OEIS ):

1/1 , 3/2, 4/3 , 9/7, 13/10 , 17/13 , 47/36, 64/49 , 81/62 , 145/111, 226/173 , 307/235 , 840 / 643 , 1147/878 , 3134/2399, 4281/3277, 5428/4155 , 6575/5033, 12003/9188 , 221482/169539, 233485/178727, 245488/187915, 257491/197103, 269494/206291, 281497/215479, 293500/224667, 305503/233855, 317506/243043, 329509/252231, 341512/261419, 353515/270607, 365518/279795, 377521/288983, 389524/298171, 401527/307359, 413530/316547, 425533/325735 , 4692866 / 3592273, 5118399/3918008, 5543932/4243743, 5969465/4569478, 6394998/4895213, 6820531/5220948, 7246064 / 5546683,7671597 / 5872418, 8097130/6198153, 8522663/6523888, 8948196/6849623 , 9373729/7175358 , 27695654/21200339, 37069383/28375697, 46443112/35551055 , 148703065/113828523, 195146177/149379578 , 241589289/184930633 , 436735466/334310211 , 1115060221/853551055, 1551795687/1187861266 , 1988531153/1522171477, 3540326840/2710032743 , 33414737247/25578155953, ...

Generalizaciones

No hay nada especial en el valor del exponente medio de 3. Es posible producir funciones generadoras de primos similares para diferentes valores del exponente medio. De hecho, para cualquier número real por encima de 2.106 ..., es posible encontrar una constante A diferente que funcione con este exponente medio para producir siempre primos. Además, si la conjetura de Legendre es cierta, el exponente medio se puede reemplazar con el valor 2 (secuencia A059784 en la OEIS ).

Matomäki mostró incondicionalmente (sin asumir la conjetura de Legendre) la existencia de una (posiblemente grande) constante A de tal manera que es primo para todos n . ${\ Displaystyle \ lfloor A ^ {2 ^ {n}} \ rfloor}$

Además, Tóth demostró que la función piso en la fórmula podría ser reemplazada por la función techo , de modo que existe una constante tal que ${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ lceil B ^ {r ^ {n}} \ rceil}$

también representa primo para . En el caso , el valor de la constante comienza con 1.24055470525201424067 ... Los primeros números primos generados son: ${\ Displaystyle r> 2,106 \ ldots}$${\ Displaystyle r = 3}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269, \ ldots}$

Sin asumir la hipótesis de Riemann, Elsholtz demostró que es primo para todos los enteros positivos n , donde , y que es primo para todos los enteros positivos n , donde . ${\ Displaystyle \ lfloor A ^ {10 ^ {10n}} \ rfloor}$${\ Displaystyle A \ approx 1.00536773279814724017}$${\ Displaystyle \ lfloor B ^ {3 ^ {13n}} \ rfloor}$${\ Displaystyle B \ approx 3.8249998073439146171615551375}$

Ver también

• Fórmula para primos

Referencias

Otras lecturas

• Cheng, Yuan-You Fu-Rui (2010). "Estimación explícita de primos entre cubos consecutivos". La Revista de Matemáticas de las Montañas Rocosas . 40 (1): 117-153. arXiv : 0810.2113 . doi : 10.1216 / RMJ-2010-40-1-117 . Señor  2607111 . S2CID  15502941 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Mills 'Constant" . MathWorld .
• ¿Quién recuerda el número de Mills? , E. Kowalski.
• Increíble número primo constante , Numberphile.