Cardenal Mahlo - Mahlo cardinal

En matemáticas , un cardenal Mahlo es un cierto tipo de número cardinal grande . Los cardenales Mahlo fueron descritos por primera vez por Paul Mahlo  ( 1911 , 1912 , 1913 ). Como con todos los grandes cardenales, ninguna de estas variedades de cardenales Mahlo puede probarse de existir por ZFC (suponiendo ZFC es consistente ).

Un número cardinal se llama fuertemente Mahlo si es fuertemente inaccesible y el conjunto está estacionario en κ. ${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle U = \ {\ lambda <\ kappa \ mid \ lambda {\ text {es muy inaccesible}} \}}$

Un cardenal se llama débilmente Mahlo si es débilmente inaccesible y el conjunto de cardenales débilmente inaccesibles es menor de lo que está estacionario . ${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$

El término "cardenal Mahlo" ahora generalmente significa "cardenal fuertemente Mahlo", aunque los cardenales originalmente considerados por Mahlo eran cardenales débilmente Mahlo.

Condición mínima suficiente para un cardenal Mahlo

• Si κ es un ordinal límite y el conjunto de ordinales regulares menores que κ es estacionario en κ, entonces κ es débilmente Mahlo.

La principal dificultad para demostrar esto es demostrar que κ es regular. Supondremos que no es regular y construiremos un conjunto de palos que nos dé un μ tal que:

μ = cf (μ) <cf (κ) <μ <κ, lo cual es una contradicción.

Si κ no fuera regular, entonces cf (κ) <κ. Podríamos elegir una secuencia cf (κ) estrictamente creciente y continua que comienza con cf (κ) +1 y tiene κ como límite. Los límites de esa secuencia serían club en κ. Entonces debe haber un μ regular entre esos límites. Entonces μ es un límite de una subsecuencia inicial de la secuencia cf (κ). Así, su cofinalidad es menor que la cofinalidad de κ y mayor que ella al mismo tiempo; lo cual es una contradicción. Por tanto, la suposición de que κ no es regular debe ser falsa, es decir, κ es regular.

No puede existir ningún conjunto estacionario a continuación con la propiedad requerida porque {2,3,4, ...} es club en ω pero no contiene ordinales regulares; entonces κ es incontable. Y es un límite regular de cardenales regulares; por lo que es débilmente inaccesible. Luego, se usa el conjunto de incontables cardenales límite por debajo de κ como conjunto de palos para mostrar que se puede suponer que el conjunto estacionario consiste en inaccesibles débiles. ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

• Si κ es débilmente Mahlo y también un límite fuerte, entonces κ es Mahlo.

κ es débilmente inaccesible y un límite fuerte, por lo que es fuertemente inaccesible.

Mostramos que el conjunto de incontables cardenales de límite fuerte por debajo de κ es club en κ. Sea μ ₀ el mayor del umbral y ω ₁ . Para cada n finito, sea μ _{n + 1} = 2 ^{μ _n} que es menor que κ porque es un límite fuerte cardinal. Entonces su límite es un límite cardinal fuerte y es menor que κ por su regularidad. Los límites de incontables cardenales de límite fuerte son también incontables cardenales de límite fuerte. Entonces el conjunto de ellos es club en κ. Interseccione ese conjunto de garrotes con el conjunto estacionario de cardenales débilmente inaccesibles menor que κ para obtener un conjunto estacionario de cardenales fuertemente inaccesibles menor que κ.

Ejemplo: mostrar que los cardenales Mahlo κ son κ-inaccesibles (hiper-inaccesibles)

El término "hiper inaccesible" es ambiguo. En esta sección, un cardinal κ se llama hiperactivable si es κ-inaccesible (a diferencia del significado más común de 1-inaccesible).

Supongamos que κ es Mahlo. Procedemos por inducción transfinita en α para mostrar que κ es α-inaccesible para cualquier α ≤ κ. Dado que κ es Mahlo, κ es inaccesible; y por lo tanto 0-inaccesible, que es lo mismo.

Si κ es α-inaccesible, entonces hay β-inaccesibles (para β <α) arbitrariamente cercanos a κ. Considere el conjunto de límites simultáneos de tales β-inaccesibles mayores que algún umbral pero menores que κ. No tiene límites en κ (imagínese girando a través de β-inaccesibles durante β <α ω veces eligiendo un cardenal más grande cada vez, luego tome el límite que es menor que κ por regularidad (esto es lo que falla si α ≥ κ)). Está cerrado, por lo que es club en κ. Entonces, por el Mahlo-ness de κ, contiene un inaccesible. Ese inaccesible es en realidad un α-inaccesible. Entonces, κ es α + 1-inaccesible.

Si λ ≤ κ es un ordinal límite y κ ​​es α-inaccesible para todo α <λ, entonces cada β <λ también es menor que α para algunos α <λ. Entonces este caso es trivial. En particular, κ es κ-inaccesible y, por lo tanto, hiper-inaccesible .

Para mostrar que κ es un límite de hiper-inaccesibles y por lo tanto 1-hiper-inaccesible, necesitamos mostrar que el conjunto diagonal de cardenales μ <κ que son α-inaccesibles para cada α <μ es club en κ. Elija un 0-inaccesible por encima del umbral, llámelo α ₀ . Luego elija un α _0- inaccesible, llámelo α ₁ . Sigue repitiendo esto y tomando límites en los límites hasta que alcances un punto fijo, llámalo μ. Entonces μ tiene la propiedad requerida (siendo un límite simultáneo de α-inaccesibles para todo α <μ) y es menor que κ por regularidad. Los límites de tales cardenales también tienen la propiedad, por lo que el conjunto de ellos es club en κ. Por Mahlo-ness de κ, hay un inaccesible en este conjunto y es hiper-inaccesible. Entonces κ es 1-hiper-inaccesible. Podemos cruzar este mismo conjunto de palos con el conjunto estacionario menor que κ para obtener un conjunto estacionario de hiper inaccesibles menor que κ.

El resto de la prueba de que κ es α-hiper-inaccesible imita la prueba de que es α-inaccesible. Entonces, κ es hiper-hiper-inaccesible, etc.

Cardenales α-Mahlo, hiper-Mahlo y en gran medida Mahlo

El término α-Mahlo es ambiguo y diferentes autores dan definiciones desiguales. Una definición es que un cardinal κ se llama α-Mahlo para algún α ordinal si κ es fuertemente inaccesible y para cada β ordinal <α, el conjunto de cardinales β-Mahlo por debajo de κ es estacionario en κ. Sin embargo, la condición "κ es fuertemente inaccesible" a veces se reemplaza por otras condiciones, como "κ es regular" o "κ es débilmente inaccesible" o "κ es Mahlo". Podemos definir "hiper-Mahlo", "α-hiper-Mahlo", "hiper-hiper-Mahlo", "débilmente α-Mahlo", "débilmente hiper-Mahlo", "débilmente α-hiper-Mahlo", etc. on, por analogía con las definiciones de inaccesibles, por ejemplo, un κ cardinal se llama hiper-Mahlo si es κ-Mahlo.

Un cardinal κ es en gran medida Mahlo o κ ⁺ -Mahlo si y solo si es inaccesible y hay un filtro κ-completo normal (es decir, no trivial y cerrado bajo intersecciones diagonales ) en el conjunto de potencia de κ que está cerrado bajo la operación Mahlo, que asigna el conjunto de ordinales S a {α S : α tiene una cofinalidad incontable y S∩α es estacionaria en α} ${\ Displaystyle \ in}$

Las propiedades de ser inaccesible, Mahlo, débilmente Mahlo, α-Mahlo, mucho Mahlo, etc. se conservan si reemplazamos el universo por un modelo interno .

Cada cardenal reflectante tiene estrictamente más fuerza de consistencia que un gran Mahlo, pero los cardenales reflectantes inaccesibles no son en general Mahlo - ver https://mathoverflow.net/q/212597

La operación Mahlo

Si X es una clase de ordinales, entonces podemos formar una nueva clase de ordinales M ( X ) que consiste en los ordinales α de cofinalidad incontable, tal que α∩ X es estacionaria en α. Esta operación M se llama operación Mahlo . Puede usarse para definir cardenales Mahlo: por ejemplo, si X es la clase de cardenales regulares, entonces M ( X ) es la clase de cardenales débilmente Mahlo. La condición de que α tenga una cofinalidad incontable asegura que los subconjuntos cerrados ilimitados de α estén cerrados en la intersección y, por lo tanto, formen un filtro; en la práctica, los elementos de X a menudo ya tienen una cofinalidad incontable, en cuyo caso esta condición es redundante. Algunos autores añaden la condición de que α esté en X , lo que en la práctica suele tener poca diferencia, ya que a menudo se satisface automáticamente.

Para un κ cardinal incontable regular fijo, la operación de Mahlo induce una operación en el álgebra de Boole de todos los subconjuntos de κ módulo el ideal no estacionario.

La operación Mahlo se puede iterar transfinitamente de la siguiente manera:

• M ⁰ ( X ) = X
• M ^{α + 1} ( X ) = M ( M ^α ( X ))
• Si α es un ordinal límite, entonces M ^α ( X ) es la intersección de M ^β ( X ) para β <α

Estas operaciones de Mahlo iteradas producen las clases de cardenales α-Mahlo que comienzan con la clase de cardenales fuertemente inaccesibles.

También es posible diagonalizar este proceso definiendo

• M ^Δ ( X ) es el conjunto de ordinales α que están en M ^β ( X ) para β <α.

Y, por supuesto, este proceso de diagonalización también se puede iterar. La operación Mahlo diagonalizada produce los cardenales hiper-Mahlo, y así sucesivamente.

Cardenales Mahlo y principios de reflexión

El axioma F es el enunciado de que toda función normal en los ordinales tiene un punto fijo regular. (Este no es un axioma de primer orden, ya que cuantifica todas las funciones normales, por lo que puede considerarse como un axioma de segundo orden o como un esquema de axioma). Un cardinal se llama Mahlo si cada función normal en él tiene un punto fijo, por lo que el axioma F en cierto sentido dice que la clase de todos los ordinales es Mahlo. Un cardinal κ es Mahlo si y solo si una forma de segundo orden del axioma F se cumple en V _κ . El axioma F es a su vez equivalente a la afirmación de que para cualquier fórmula φ con parámetros hay ordinales α inaccesibles arbitrariamente grandes, tales que V _α refleja φ (en otras palabras, φ se cumple en V _α si y solo si se cumple en todo el universo) ( Drake 1974 , capítulo 4).

Ver también

• Cardenal inaccesible
• Conjunto estacionario
• Modelo interior

Referencias

• Drake, Frank R. (1974). Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardenales . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. 76 . ISBN de Elsevier Science Ltd. 0-444-10535-2. Zbl  0294.02034 .
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios . Springer Monographs in Mathematics (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-00384-3. Zbl  1022.03033 .
• Mahlo, Paul (1911), "Über lineare transfinite Mengen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 63 : 187–225, JFM  42.0090.02
• Mahlo, Paul (1912), "Zur Theorie und Anwendung der ρ ₀ -Zahlen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 64 : 108–112, JFM  43.0113.01
• Mahlo, Paul (1913), "Zur Theorie und Anwendung der ρ ₀ -Zahlen II", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse , 65 : 268–282, JFM  44.0092.02