Tramo lineal - Linear span

En matemáticas , el tramo lineal (también llamado casco lineal o simplemente tramo ) de un conjunto $S$ de vectores (de un espacio vectorial ), denotado $tramo (S)$ , es el subespacio lineal más pequeño que contiene el conjunto. Puede ser caracterizado ya sea como la intersección de todos los subespacios lineales que contienen $S$ , o como el conjunto de combinaciones lineales de los elementos de $S$ . El lapso lineal de un conjunto de vectores es, por tanto, un espacio vectorial. Los intervalos se pueden generalizar a matroides y módulos .

Para expresar que un espacio vectorial $V$ es un lapso de un conjunto $S$ , comúnmente se usan las siguientes frases: $S$ abarca $V$ ; $S$ genera $V$ ; $V$ está dividido por $S$ ; $V$ es generado por $S$ ; $S$ es un conjunto de expansión de $V$ ; $S$ es un grupo electrógeno de $V$ .

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un campo K , el lapso de un conjunto S de vectores (no necesariamente infinito) se define como la intersección W de todos los subespacios de V que contienen S . W se refiere como el subespacio atravesado por S , o por los vectores en S . Por el contrario, S es llamado un conjunto generador de W , y decimos que S vanos W .

Alternativamente, el lapso de S puede definirse como el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos (vectores) de S , que se sigue de la definición anterior.

{\ Displaystyle \ operatorname {span} (S) = \ left \ {{\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ lambda _ {i} v_ {i} \; \ right | \; k \ in \ mathbb {N}, v_ {i} \ in S, \ lambda _ {i} \ in K} \ right \}.}

En el caso de S infinito , las combinaciones lineales infinitas (es decir, donde una combinación puede implicar una suma infinita, asumiendo que tales sumas se definen de alguna manera como en, digamos, un espacio de Banach ) quedan excluidas de la definición; una generalización que los permita no es equivalente.

Ejemplos de

El plano rayado es el tramo lineal de u y v en R ³ .

El espacio vectorial real R ³ tiene {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como un conjunto de expansión. Este conjunto de expansión en particular también es una base . Si (−1, 0, 0) fuera reemplazado por (1, 0, 0), también formaría la base canónica de R ³ .

Otro conjunto de expansión para el mismo espacio está dada por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, ¹ / ₂ , 3), (1, 1, 1)}, pero esto set no es una base, porque es linealmente dependiente .

El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} no es un conjunto de expansión de R ³ , ya que su espacio es el espacio de todos los vectores en R ³ cuyo último componente es cero. Ese espacio también está dividido en el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, ya que (1, 1, 0) es una combinación lineal de (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Sin embargo, abarca R ² (cuando se interpreta como un subconjunto de R ³ ).

El conjunto vacío es un conjunto de expansión de {(0, 0, 0)}, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los espacios vectoriales posibles en R ³ , y {(0, 0, 0)} es la intersección de todos estos espacios vectoriales.

El conjunto de funciones x ⁿ donde n es un número entero no negativo abarca el espacio de polinomios.

Teoremas

Teorema 1: El subespacio generado por un subconjunto no vacío S de un espacio vectorial V es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en S .

Este teorema es tan conocido que a veces se le conoce como la definición de extensión de un conjunto.

Teorema 2: Cada conjunto generador S de un espacio vectorial V debe contener al menos tantos elementos como cualquier linealmente independientes conjunto de vectores de V .

Teorema 3: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Cualquier conjunto de vectores que abarque V puede reducirse a una base para V , descartando vectores si es necesario (es decir, si hay vectores linealmente dependientes en el conjunto). Si se cumple el axioma de elección , esto es cierto sin la suposición de que V tiene una dimensión finita.

Esto también indica que una base es un conjunto de expansión mínimo cuando V es de dimensión finita.

Generalizaciones

Generalizando la definición de la extensión de puntos en el espacio, un subconjunto X del conjunto de suelo de una matroide se llama conjunto de expansión , si el rango de X es igual al rango de todo el conjunto de suelo.

La definición del espacio vectorial también se puede generalizar a módulos. Dado un R -módulo A y una colección de elementos a ₁ ,…, a _n de A , el submódulo de A generado por a ₁ ,…, a _n es la suma de módulos cíclicos

{\ Displaystyle Ra_ {1} + \ cdots + Ra_ {n} = \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {n} r_ {k} a_ {k} {\ Big |} r_ {k} \ en R \ right \}}

que consta de todas las combinaciones R- lineales de los elementos a _i . Como en el caso de los espacios vectoriales, el submódulo de A abarcado por cualquier subconjunto de A es la intersección de todos los submódulos que contienen ese subconjunto.

Tramo lineal cerrado (análisis funcional)

En el análisis funcional , un tramo lineal cerrado de un conjunto de vectores es el conjunto cerrado mínimo que contiene el tramo lineal de ese conjunto.

Supongamos que X es un espacio vectorial normado y dejar E ser cualquier subconjunto no vacío de X . La envolvente lineal cerrado de E , denotada por o , es la intersección de todos los subespacios lineales cerrados de X que contienen E . ${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E)}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {Span}}} (E)}$

Una formulación matemática de esto es

{\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E) = \ {u \ in X | \ forall \ varepsilon> 0 \, \ existe x \ in \ operatorname {Sp} (E): \ | xu \ | <\ varepsilon \}.}

El tramo lineal cerrado del conjunto de funciones x ⁿ en el intervalo [0, 1], donde n es un número entero no negativo, depende de la norma utilizada. Si se usa la norma L ² , entonces el tramo lineal cerrado es el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en el intervalo. Pero si se usa la norma máxima , el tramo lineal cerrado será el espacio de funciones continuas en el intervalo. En cualquier caso, el tramo lineal cerrado contiene funciones que no son polinomios y, por lo tanto, no están en el tramo lineal en sí. Sin embargo, la cardinalidad del conjunto de funciones en el tramo lineal cerrado es la cardinalidad del continuo , que es la misma cardinalidad que para el conjunto de polinomios.

Notas

El tramo lineal de un conjunto es denso en el tramo lineal cerrado. Además, como se indica en el lema siguiente, el tramo lineal cerrado es de hecho el cierre del tramo lineal.

Los vanos lineales cerrados son importantes cuando se trata de subespacios lineales cerrados (que son en sí mismos muy importantes, consulte el lema de Riesz ).

Un lema útil

Deje X ser un espacio normado y dejar E ser cualquier subconjunto no vacío de X . Luego

${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E)}$ es un subespacio lineal cerrado de X que contiene E ,
${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E) = {\ overline {\ operatorname {Sp} (E)}}}$ , a saber. es el cierre de , ${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (E)}$
${\ displaystyle E ^ {\ perp} = (\ operatorname {Sp} (E)) ^ {\ perp} = \ left ({\ overline {\ operatorname {Sp} (E)}} \ right) ^ {\ perp }.}$

(Entonces, la forma habitual de encontrar el tramo lineal cerrado es encontrar primero el tramo lineal y luego el cierre de ese tramo lineal).

Ver también

Citas

^ Enciclopedia de matemáticas (2020) . Casco lineal.
^ Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Math Vault (2021) Operadores relacionados con el espacio vectorial.
^ Axler (2015) p. 29, párrafo 2.7
^ Hefferon (2020) p. 100, cap. 2, definición 2.13
^ Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Roman (2005) págs. 41-42
^ MathWorld (2021) Espacio de espacio vectorial.
^ Roman (2005) p. 96, cap. 4
^ Lane y Birkhoff (1999) p. 193, cap. 6

Fuentes

Libro de texto

Axler, Sheldon Jay (2015). Álgebra lineal bien hecha (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0 .
Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (4ª ed.). Publicación ortogonal. ISBN 978-1-944325-11-4 .
Lane, Saunders Mac ; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Álgebra (3ª ed.). AMS Chelsea Publishing . ISBN 978-0821816462 .
Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1 .
Rynne, Brian P .; Youngson, Martin A. (2008). Análisis funcional lineal . Saltador. ISBN 978-1848000049 .

Web

Lankham, Isaías; Nachtergaele, Bruno ; Schilling, Anne (13 de febrero de 2010). "Álgebra lineal - como introducción a las matemáticas abstractas" (PDF) . Universidad de California, Davis . Consultado el 27 de septiembre de 2011 .
"Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . Consultado el 16 de febrero de 2021 .
Weisstein, Eric Wolfgang . "Espacio vectorial" . MathWorld . Consultado el 16 de febrero de 2021 .
"Casco lineal" . Enciclopedia de Matemáticas . 5 de abril de 2020 . Consultado el 16 de febrero de 2021 .

enlaces externos

Combinaciones lineales y amplitud: comprensión de combinaciones lineales y amplitudes de vectores , khanacademy.org.
Sanderson, Grant (6 de agosto de 2016). "Combinaciones lineales, span y vectores base" . Esencia de álgebra lineal - a través de YouTube .

[1] Enciclopedia de matemáticas (2020) . Casco lineal.

[:0-2] Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[3] Math Vault (2021) Operadores relacionados con el espacio vectorial.

[4] Axler (2015) p. 29, párrafo 2.7

[5] Hefferon (2020) p. 100, cap. 2, definición 2.13

[:02-6] Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[7] Roman (2005) págs. 41-42

[8] MathWorld (2021) Espacio de espacio vectorial.

[9] Roman (2005) p. 96, cap. 4

[10] Lane y Birkhoff (1999) p. 193, cap. 6

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