Teoría de conjuntos de Kripke-Platek - Kripke–Platek set theory

La teoría de conjuntos Kripke-Platek ( KP ), pronunciado / k r ɪ p k i p l ɑː t ɛ k / , es una teoría de conjuntos axiomático desarrollado por Saul Kripke y Richard Platek.

KP es considerablemente más débil que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), y puede considerarse aproximadamente como la parte predicativa de ZFC. La fuerza de consistencia de KP con un axioma de infinito viene dada por el ordinal de Bachmann-Howard . A diferencia de ZFC, KP no incluye el axioma del conjunto de potencias , y KP incluye solo formas limitadas del axioma de separación y axioma de reemplazo de ZFC. Estas restricciones sobre los axiomas de KP conducen a estrechas conexiones entre KP, la teoría de la recursividad generalizada y la teoría de los ordinales admisibles .

Los axiomas de KP

Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
Axioma de inducción : φ ( a ) es una fórmula , si para todos los conjuntos x la suposición de que φ ( y ) se cumple para todos los elementos y de x implica que φ ( x ) se cumple, entonces φ ( x ) se cumple para todos los conjuntos x .
Axioma de conjunto vacío : existe un conjunto sin miembros, llamado conjunto vacío y denotado {}. (Nota: la existencia de un miembro en el universo del discurso, es decir, ∃x (x = x), está implícita en ciertas formulaciones de lógica de primer orden , en cuyo caso el axioma de conjunto vacío se sigue del axioma de Σ ₀ -separación, y por lo tanto es redundante.)
Axioma del par : Si x , y son conjuntos, entonces también lo es { x , Y }, un conjunto que contiene x y y como sus únicos elementos.
Axioma de unión : Para cualquier conjunto x , existe un conjunto y tal que los elementos de y son precisamente los elementos de los elementos de x .
Axioma de separación Σ ₀ : Dado cualquier conjunto y cualquier fórmula Σ ₀ φ ( x ), existe un subconjunto del conjunto original que contiene precisamente aquellos elementos x para los que se cumple φ ( x ). (Este es un esquema de axioma ).
Axioma de Σ ₀ -colección : Dada cualquier Σ _0- fórmula φ ( x , y ), si para cada conjunto x existe un conjunto único y tal que φ ( x , y ) se cumple, entonces para todos los conjuntos u existe un conjunto v tal que para cada x en u hay una y en v tal que se cumple φ ( x , y ).

Aquí, una fórmula Σ ₀ , Π ₀ o Δ ₀ es una fórmula cuyos cuantificadores están acotados . Esto significa que cualquier cuantificación es la forma o (De manera más general, diríamos que una fórmula es Σ _n₊₁ cuando se obtiene agregando cuantificadores existenciales delante de una fórmula Π _n , y que es Π _n₊₁ cuando es obtenido agregando cuantificadores universales delante de una fórmula Σ _n : esto está relacionado con la jerarquía aritmética pero en el contexto de la teoría de conjuntos). ${\ Displaystyle \ forall u \ in v}$ ${\ Displaystyle \ existe u \ in v.}$

Algunos autores, pero no todos, incluyen un axioma de infinito (en cuyo caso el axioma del conjunto vacío es innecesario, ya que se puede probar que existe usando Separación).

Estos axiomas son más débiles que ZFC, ya que excluyen los axiomas de poder, elección y, a veces, infinito. Además, los axiomas de separación y colección aquí son más débiles que los axiomas correspondientes en ZFC porque las fórmulas φ utilizadas en estos se limitan solo a cuantificadores acotados.

El axioma de inducción en el contexto de KP es más fuerte que el axioma habitual de regularidad , que equivale a aplicar inducción al complemento de un conjunto (la clase de todos los conjuntos que no están en el conjunto dado). Sin adoptar la regularidad o el axioma de elección , KP se puede estudiar como una teoría de conjuntos constructiva al eliminar la ley del medio excluido , sin cambiar ningún axioma.

Prueba de que existen productos cartesianos

Teorema:

Si A y B son conjuntos, a continuación, hay un conjunto A × B que consta de todos los pares ordenados ( a , b ) de elementos de una de A y b de B .

Prueba:

El conjunto { a } (que es lo mismo que { a , a } por el axioma de extensionalidad) y el conjunto { a , b } existen ambos por el axioma de emparejamiento. Por lo tanto

{\ Displaystyle (a, b): = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}}

existe también por el axioma de emparejamiento.

Una posible fórmula Δ ₀ que expresa que p representa ( a , b ) es:

{\ Displaystyle \ existe r \ in p \, (a \ in r \, \ land \, \ forall x \ in r \, (x = a)) \, \ land \, \ existe s \ in p \, (a \ in s \, \ land \, b \ in s \, \ land \, \ forall x \ in s \, (x = a \, \ lor \, x = b)) \, \ land \, }

{\ Displaystyle \ forall t \ in p \, ((a \ in t \, \ land \, \ forall x \ in t \, (x = a)) \, \ lor \, (a \ in t \ land b \ in t \ land \ forall x \ in t \, (x = a \, \ lor \, x = b))).}

Por lo tanto, un superconjunto de A × { b } = {( a , b ) | a en A } existe por el axioma de colección.

Denote la fórmula para p anterior por . Entonces la siguiente fórmula también es Δ ₀ ${\ Displaystyle \ psi (a, b, p)}$

{\ Displaystyle \ existe un \ en A \, \ psi (a, b, p) \ ,.}

Así, A × { b } existe en sí mismo por el axioma de separación.

Si v pretende representar A × { b }, entonces una fórmula Δ ₀ que expresa eso es:

{\ Displaystyle \ forall a \ in A \, \ existe p \ in v \, \ psi (a, b, p) \, \ land \, \ forall p \ in v \, \ existe un \ in A \, \ psi (a, b, p) \ ,.}

Por lo tanto, un superconjunto de { A × { b } | b en B } existe por el axioma de colección.

Al poner frente a esa última fórmula, obtenemos del axioma de separación que el conjunto { A × { b } | b en B } sí mismo existe. ${\ Displaystyle \ existe b \ en B}$

Finalmente, A × B = { A × { b } | b en B } existe por el axioma de unión. ${\ Displaystyle \ cup}$

QED

Conjuntos admisibles

Un conjunto se considera admisible si es transitivo y es un modelo de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek. ${\ Displaystyle A \,}$ ${\ Displaystyle \ langle A, \ in \ rangle}$

Un número ordinal α se denomina ordinal admisible si L _α es un conjunto admisible.

El ordinal α es un ordinal admisible si y solo si α es un ordinal límite y no existe un γ < α para el cual hay un mapeo de Σ ₁ (L _α ) de γ a α . Si M es un modelo estándar de KP, entonces el conjunto de ordinales en M es un ordinal admisible.

Si L _α es un modelo estándar de la teoría de conjuntos KP sin el axioma de colección Σ ₀ , entonces se dice que es un " conjunto susceptible ".

Ver también

Referencias

^ Poizat, Bruno (2000). Un curso de teoría de modelos: una introducción a la lógica matemática contemporánea . Saltador. ISBN 0-387-98655-3., nota al final de §2.3 en la página 27: “Aquellos que no permiten relaciones en un universo vacío consideran (∃x) x = x y sus consecuencias como tesis; nosotros, sin embargo, no compartimos este aborrecimiento, con tan poco fundamento lógico, del vacío ”.

Bibliografía

Devlin, Keith J. (1984). Constructibilidad . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 0-387-13258-9.
Gostanian, Richard (1980). "Modelos construibles de subsistemas de ZF". Revista de lógica simbólica . Asociación de Lógica Simbólica . 45 (2): 237. doi : 10.2307 / 2273185 . JSTOR 2273185 .
Kripke, S. (1964), "Recursión transfinita sobre ordinales admisibles", Journal of Symbolic Logic , 29 : 161-162, doi : 10.2307 / 2271646 , JSTOR 2271646
Platek, Richard Alan (1966), Fundamentos de la teoría de la recursividad , Tesis (Ph.D.) - Universidad de Stanford , MR 2615453

[1] Poizat, Bruno (2000). Un curso de teoría de modelos: una introducción a la lógica matemática contemporánea . Saltador. ISBN 0-387-98655-3., nota al final de §2.3 en la página 27: “Aquellos que no permiten relaciones en un universo vacío consideran (∃x) x = x y sus consecuencias como tesis; nosotros, sin embargo, no compartimos este aborrecimiento, con tan poco fundamento lógico, del vacío ”.

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