Número Knudsen - Knudsen number

El número de Knudsen ( Kn ) es un número adimensional definido como la relación entre la longitud del camino libre medio molecular y una escala de longitud física representativa . Esta escala de longitud podría ser, por ejemplo, el radio de un cuerpo en un fluido. El número lleva el nombre del físico danés Martin Knudsen (1871-1949).

El número de Knudsen ayuda a determinar si se debe utilizar la mecánica estadística o la formulación de la mecánica continua de la dinámica de fluidos para modelar una situación. Si el número de Knudsen está cerca o es mayor que uno, el camino libre medio de una molécula es comparable a una escala de longitud del problema, y ​​el supuesto continuo de la mecánica de fluidos ya no es una buena aproximación. En tales casos, deben utilizarse métodos estadísticos.

Definición

El número de Knudsen es un número adimensional definido como

${\ Displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}},}$

dónde

${\ Displaystyle \ lambda}$= camino libre medio [L ¹ ],

${\ Displaystyle L}$= escala de longitud física representativa [L ¹ ].

La escala de longitud representativa considerada, puede corresponder a varios rasgos físicos de un sistema, pero más comúnmente se relaciona con una longitud de espacio sobre la cual se produce el transporte térmico o de masa a través de una fase gaseosa. Este es el caso de los materiales porosos y granulares, donde el transporte térmico a través de una fase gaseosa depende en gran medida de su presión y del consiguiente recorrido libre medio de moléculas en esta fase. Para un gas de Boltzmann , la trayectoria libre media se puede calcular fácilmente, de modo que ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2} pL}},}$

dónde

${\ Displaystyle k _ {\ text {B}}}$es la constante de Boltzmann (1.380649 × 10 ⁻²³ J / K en unidades SI ) [M ¹ L ² T ⁻² Θ ⁻¹ ],

${\ Displaystyle T}$es la temperatura termodinámica [θ ¹ ],

${\ Displaystyle d}$es el diámetro de la capa dura de la partícula [L ¹ ],

${\ Displaystyle p}$es la presión total [M ¹ L ⁻¹ T ⁻² ].

Para la dinámica de partículas en la atmósfera , y asumiendo temperatura y presión estándar , es decir, 0 ° C y 1 atm, tenemos ≈${\ Displaystyle \ lambda}$8 × 10 ⁻⁸  m (80 nm).

Relación con los números de Mach y Reynolds en gases

El número de Knudsen puede estar relacionado con el número de Mach y el número de Reynolds .

Usando la viscosidad dinámica

${\ Displaystyle \ mu = {\ frac {1} {2}} \ rho {\ bar {c}} \ lambda,}$

con la velocidad promedio de la molécula (de la distribución de Maxwell-Boltzmann )

${\ Displaystyle {\ bar {c}} = {\ sqrt {\ frac {8k _ {\ text {B}} T} {\ pi m}}},}$

el camino libre medio se determina de la siguiente manera:

${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mu} {\ rho}} {\ sqrt {\ frac {\ pi k _ {\ text {B}} T} {2m}}}.}$

Dividiendo por L (alguna longitud característica), se obtiene el número de Knudsen:

${\ Displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ lambda} {L}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi k _ {\ text {B }} T} {2m}}},}$

dónde

${\ Displaystyle {\ bar {c}}}$es la velocidad molecular promedio de la distribución de Maxwell-Boltzmann [L ¹ T ⁻¹ ],

T es la temperatura termodinámica [θ ¹ ],

μ es la viscosidad dinámica [M ¹ L ⁻¹ T ⁻¹ ],

m es la masa molecular [M ¹ ],

k _B es la constante de Boltzmann [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ ],

ρ es la densidad [M ¹ L ⁻³ ].

El número de Mach adimensional se puede escribir como

${\ Displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {U _ {\ infty}} {c _ {\ text {s}}}},}$

donde la velocidad del sonido viene dada por

${\ Displaystyle c _ {\ text {s}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma RT} {M}}} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ text {B}} T} {m }}},}$

dónde

U _∞ es la velocidad de la corriente libre [L ¹ T ⁻¹ ],

R es la constante universal de los gases (en SI , 8,314 47215 JK ⁻¹ mol ⁻¹ ) [M ¹ L ² T ⁻² θ ⁻¹ mol ⁻¹ ],

M es la masa molar [M ¹ mol ⁻¹ ],

${\ Displaystyle \ gamma}$es la relación de calores específicos [1].

El número de Reynolds adimensional se puede escribir como

${\ Displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho U _ {\ infty} L} {\ mu}}.}$

Dividiendo el número de Mach por el número de Reynolds:

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}}} = {\ frac {U _ {\ infty} / c _ {\ text {s}}} {\ rho U _ {\ infty} L / \ mu}} = {\ frac {\ mu} {\ rho Lc _ {\ text {s}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L {\ sqrt {\ frac {\ gamma k _ {\ texto {B}} T} {m}}}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T} }}}$

y al multiplicar por da como resultado el número de Knudsen: ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {m} {\ gamma k _ {\ text {B}} T}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}} = {\ frac {\ mu} {\ rho L}} {\ sqrt {\ frac {\ pi m} {2k _ {\ text {B}} T}}} = \ mathrm {Kn }.}$

Por tanto, los números de Mach, Reynolds y Knudsen están relacionados por

${\ Displaystyle \ mathrm {Kn} \ = {\ frac {\ mathrm {Ma}} {\ mathrm {Re}}} {\ sqrt {\ frac {\ gamma \ pi} {2}}}.}$

Solicitud

El número de Knudsen se puede utilizar para determinar la rarefacción de un flujo:

• ${\ Displaystyle \ mathrm {Kn} <0.01}$: Flujo continuo
• ${\ Displaystyle 0.01 <\ mathrm {Kn} <0.1}$: Flujo de deslizamiento
• ${\ Displaystyle 0.1 <\ mathrm {Kn} <10}$: Flujo de transición
• ${\ Displaystyle \ mathrm {Kn}> 10}$: Flujo molecular libre

Esta clasificación de régimen es empírica y depende del problema, pero ha resultado útil para modelar adecuadamente los flujos.

Los problemas con los números Knudsen altos incluyen el cálculo del movimiento de una partícula de polvo a través de la atmósfera inferior y el movimiento de un satélite a través de la exosfera . Una de las aplicaciones más utilizadas para el número de Knudsen es en el diseño de dispositivos de microfluidos y MEMS , donde los flujos van desde el continuo hasta el molecular libre. Se dice que los movimientos de fluidos en situaciones con un alto número de Knudsen exhiben flujo de Knudsen , también llamado flujo molecular libre .

El flujo de aire alrededor de un avión , como un avión de pasajeros, tiene un número de Knudsen bajo, lo que lo coloca firmemente en el ámbito de la mecánica continua. Usando el número de Knudsen , se puede usar un ajuste para la ley de Stokes en el factor de corrección de Cunningham , esta es una corrección de la fuerza de arrastre debido al deslizamiento en partículas pequeñas (es decir, d _p  <5 μm). El flujo de agua a través de una boquilla suele ser una situación con un número de Knudsen bajo.

Las mezclas de gases con diferentes masas moleculares se pueden separar parcialmente enviando la mezcla a través de pequeños orificios de una pared delgada porque el número de moléculas que pasan por un orificio es proporcional a la presión del gas e inversamente proporcional a su masa molecular. La técnica se ha utilizado para separar mezclas isotópicas , como el uranio , utilizando membranas porosas. También se ha demostrado con éxito su uso en la producción de hidrógeno a partir de agua.

El número de Knudsen también juega un papel importante en la conducción térmica de los gases. Para los materiales de aislamiento, por ejemplo, donde los gases están contenidos a baja presión, el número de Knudsen debe ser lo más alto posible para garantizar una baja conductividad térmica .

Ver también

• Factor de corrección de Cunningham
• Dinámica de fluidos
• Número de Mach
• Flujo de Knudsen
• Difusión de Knudsen
• Paradoja de Knudsen

Referencias

• Cussler, EL (1997). Difusión: transferencia de masa en sistemas fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-45078-0.

enlaces externos

• Calculadoras de número de Knudsen y difusividad