Dimensión isoperimétrica - Isoperimetric dimension

En matemáticas , la dimensión isoperimétrica de una variedad es una noción de dimensión que intenta captar cómo el comportamiento a gran escala de la variedad se asemeja al de un espacio euclidiano (a diferencia de la dimensión topológica o la dimensión de Hausdorff que comparan diferentes comportamientos locales con los de el espacio euclidiano).

En el espacio euclidiano , la desigualdad isoperimétrica dice que de todos los cuerpos con el mismo volumen, la pelota tiene la menor área de superficie. En otros colectores suele ser muy difícil encontrar el cuerpo preciso que minimice el área de la superficie, y de esto no se trata la dimensión isoperimétrica. La pregunta que haremos es cuál es aproximadamente el área de superficie mínima, cualquiera que sea el cuerpo que se dé cuenta de que puede ser.

Definicion formal

Decimos acerca de una variedad diferenciable M que satisface una desigualdad isoperimétrica d- dimensional si para cualquier conjunto abierto D en M con una frontera suave se tiene

${\ Displaystyle \ operatorname {área} (\ parcial D) \ geq C \ operatorname {vol} (D) ^ {(d-1) / d}.}$

Las notaciones vol y área se refieren a las nociones regulares de volumen y área de superficie en la variedad, o más precisamente, si la variedad tiene n dimensiones topológicas, entonces vol se refiere a volumen n- dimensional y el área se refiere a ( n  - 1) -volumen dimensional . C aquí se refiere a alguna constante, que no depende de D (puede depender de la variedad y de d ).

La dimensión isoperimétrica de M es el supremo de todos los valores de d tales que M satisface una desigualdad isoperimétrica d- dimensional.

Ejemplos

Un espacio euclidiano d- dimensional tiene dimensión isoperimétrica d . Este es el problema isoperimétrico bien conocido : como se discutió anteriormente, para el espacio euclidiano, la constante C se conoce con precisión ya que se alcanza el mínimo para la pelota.

Un cilindro infinito (es decir, un producto del círculo y la línea ) tiene una dimensión topológica 2 pero una dimensión isoperimétrica 1. De hecho, multiplicar cualquier colector con un colector compacto no cambia la dimensión isoperimétrica (solo cambia el valor de la constante C ). Cualquier colector compacto tiene una dimensión isoperimétrica 0.

También es posible que la dimensión isoperimétrica sea mayor que la dimensión topológica. El ejemplo más simple es el gimnasio de la jungla infinita , que tiene dimensión topológica 2 y dimensión isoperimétrica 3. Consulte [1] para ver imágenes y código de Mathematica.

El plano hiperbólico tiene dimensión topológica 2 y dimensión isoperimétrica infinita. De hecho, el plano hiperbólico tiene constante de Cheeger positiva . Esto significa que satisface la desigualdad

${\ Displaystyle \ operatorname {área} (\ parcial D) \ geq C \ operatorname {vol} (D),}$

lo que obviamente implica una dimensión isoperimétrica infinita.

De gráficos

La dimensión isoperimétrica de los gráficos se puede definir de manera similar. Se da una definición precisa en la encuesta de Chung. El área y el volumen se miden por tamaños establecidos. Para cada subconjunto A de la gráfica G se define como el conjunto de vértices en con un vecino en  A . Una desigualdad isoperimétrica d- dimensional ahora se define por ${\ Displaystyle \ A parcial}$${\ Displaystyle G \ setminus A}$

${\ Displaystyle | \ A parcial | \ geq C \ left (\ min \ left (| A |, | G \ setminus A | \ right) \ right) ^ {(d-1) / d}.}$

(Esta pregunta MathOverflow proporciona más detalles). Los análogos de gráficos de todos los ejemplos anteriores son válidos, pero la definición es ligeramente diferente para evitar que la dimensión isoperimétrica de cualquier gráfico finito sea 0: En la fórmula anterior, el volumen de se reemplaza por ( ver la encuesta de Chung, sección 7). ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ min (| A |, | G \ setminus A |)}$

La dimensión isoperimétrica de una cuadrícula d- dimensional es d . En general, la dimensión isoperimétrica se conserva por cuasi isometrías , tanto por cuasi-isometrías entre variedades, entre gráficos, e incluso por cuasi isometrías que llevan las variedades a los gráficos, con las respectivas definiciones. En términos generales, esto significa que un gráfico que "imita" una variedad dada (como la cuadrícula imita el espacio euclidiano) tendría la misma dimensión isoperimétrica que la variedad. Un árbol binario completo infinito tiene dimensión isoperimétrica ∞.

Consecuencias de la isoperimetría

Una integración simple sobre r (o suma en el caso de los gráficos) muestra que una desigualdad isoperimétrica d- dimensional implica un crecimiento de volumen d- dimensional , a saber

${\ Displaystyle \ operatorname {vol} B (x, r) \ geq Cr ^ {d}}$

donde B ( x , r ) denota la bola de radio r alrededor del punto x en la distancia de Riemann o en la distancia del gráfico . En general, lo contrario no es cierto, es decir, incluso el crecimiento de volumen uniformemente exponencial no implica ningún tipo de desigualdad isoperimétrica. Se puede obtener un ejemplo simple tomando el gráfico Z (es decir, todos los enteros con aristas entre n y n  + 1) y conectando al vértice n un árbol binario completo de altura | n |. Ambas propiedades (crecimiento exponencial y dimensión isoperimétrica 0) son fáciles de verificar.

Una excepción interesante es el caso de los grupos . Resulta que un grupo con crecimiento polinómico de orden d tiene dimensión isoperimétrica d . Esto es válido tanto para el caso de los grupos de Lie como para el gráfico de Cayley de un grupo generado finitamente .

Un teorema de Varopoulos conecta la dimensión isoperimétrica de una gráfica con la tasa de escape de la caminata aleatoria en la gráfica. El resultado dice

Teorema de Varopoulos: si G es una gráfica que satisface una desigualdad isoperimétrica d-dimensional, entonces

${\ Displaystyle p_ {n} (x, y) \ leq Cn ^ {- d / 2}}$

donde es la probabilidad de que una caminata aleatoria en G a partir de x esté en y después de n pasos, y C sea ​​una constante.${\ textstyle p_ {n} (x, y)}$

Referencias

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• Isaac Chavel, Desigualdades isoperimétricas: Perspectivas geométricas y analíticas diferenciales , Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido (2001), ISBN  0-521-80267-9

Discute el tema en el contexto de variedades, sin mención de gráficos.

• N. Th. Varopoulos, desigualdades isoperimétricas y cadenas de Markov , J. Funct. Anal. 63: 2 (1985), 215-239.
• Thierry Coulhon y Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les variétés , Rev. Mat. Iberoamericana 9: 2 (1993), 293–314.

Este artículo contiene el resultado de que en grupos de crecimiento polinómico, el crecimiento volumétrico y las desigualdades isoperimétricas son equivalentes. En francés.

• Fan Chung, Desigualdades isoperimétricas discretas . Surveys in Differential Geometry IX , International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Este artículo contiene una definición precisa de la dimensión isoperimétrica de un gráfico y establece muchas de sus propiedades.