Métrica intrínseca - Intrinsic metric

En el estudio matemático de los espacios métricos , se puede considerar la longitud de arco de los caminos en el espacio. Si dos puntos están a una distancia determinada el uno del otro, es natural esperar que uno pueda llegar del primer punto al segundo a lo largo de un camino cuya longitud de arco sea igual (o muy cercana) a esa distancia. La distancia entre dos puntos de un espacio métrico en relación con la métrica intrínseca se define como el mínimo de las longitudes de todos los caminos desde el primer punto hasta el segundo. Un espacio métrico es un espacio métrico de longitud si la métrica intrínseca concuerda con la métrica original del espacio.

Si el espacio tiene la propiedad más fuerte de que siempre existe un camino que alcanza el mínimo de longitud (una geodésica ), entonces puede llamarse espacio métrico geodésico o espacio geodésico . Por ejemplo, el plano euclidiano es un espacio geodésico, con segmentos de línea como geodésicos. El plano euclidiano con el origen eliminado no es geodésico, pero sigue siendo un espacio métrico de longitud.

Definiciones

Sea un espacio métrico , es decir, es una colección de puntos (como todos los puntos en el plano o todos los puntos en el círculo) y es una función que nos proporciona la distancia entre puntos . Definimos una nueva métrica on , conocida como métrica intrínseca inducida , de la siguiente manera: es el mínimo de las longitudes de todos los caminos desde a . ${\ Displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle d (x, y)}$${\ Displaystyle x, y \ en M}$${\ Displaystyle d _ {\ text {I}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle d _ {\ text {I}} (x, y)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Aquí, una ruta de a es un mapa continuo${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ rightarrow M}$

con y . La longitud de dicha trayectoria se define como se explica para las curvas rectificables . Establecemos si no hay un camino de longitud finita desde hasta . Si ${\ Displaystyle \ gamma (0) = x}$${\ Displaystyle \ gamma (1) = y}$${\ Displaystyle d _ {\ text {I}} (x, y) = \ infty}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle d _ {\ text {I}} (x, y) = d (x, y)}$

para todos los puntos y en , decimos que es un espacio de longitud o un espacio métrico de trayectoria y la métrica es intrínseca . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle d}$

Podemos decir que la métrica tiene puntos medios aproximados si por cualquier y cualquier par de puntos y en la que existe en tal manera que y son ambos más pequeños que ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle d (x, c)}$${\ Displaystyle d (c, y)}$

${\ Displaystyle {{d (x, y) \ over 2} + {\ varepsilon}}}$.

Ejemplos

• El espacio euclidiano con la métrica euclidiana ordinaria es un espacio métrico de trayectoria. es también.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \}}$
• El círculo unitario con la métrica heredada de la métrica euclidiana de (la métrica cordal ) no es un espacio métrico de trayectoria. La métrica intrínseca inducida mide distancias como ángulos en radianes , y el espacio métrico de longitud resultante se llama círculo de Riemann . En dos dimensiones, la métrica cordal en la esfera no es intrínseca, y la métrica intrínseca inducida viene dada por la distancia del círculo máximo .${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$
• Cada variedad de Riemann se puede convertir en un espacio métrico de trayectoria definiendo la distancia de dos puntos como el mínimo de las longitudes de las curvas continuamente diferenciables que conectan los dos puntos. (La estructura de Riemann le permite a uno definir la longitud de tales curvas.) De manera análoga, otras variedades en las que se define una longitud incluyen las variedades de Finsler y las variedades sub-Riemannianas .
• Cualquier espacio métrico completo y convexo es un espacio métrico de longitud ( Khamsi y Kirk 2001 , Teorema 2.16), resultado de Karl Menger . Sin embargo, lo contrario no se cumple en general: hay espacios métricos de longitud que no son convexos.

Propiedades

• En general, tenemos y la topología definida por es por lo tanto siempre más fina o igual que la definida por .${\ Displaystyle d \ leq d _ {\ text {I}}}$${\ Displaystyle d _ {\ text {I}}}$${\ Displaystyle d}$
• El espacio es siempre un espacio métrico de ruta (con la advertencia, como se mencionó anteriormente, que puede ser infinito).${\ Displaystyle (M, d _ {\ text {I}})}$${\ Displaystyle d _ {\ text {I}}}$
• La métrica de un espacio de longitud tiene puntos medios aproximados. Por el contrario, todo espacio métrico completo con puntos medios aproximados es un espacio de longitud.
• El Hopf-Rinow teorema afirma que si un espacio longitud es completa y localmente compacto entonces cualesquiera dos puntos en pueden ser conectados por una reducción al mínimo geodésicas delimitadas y todos los conjuntos cerrados en son compacto .${\ Displaystyle (M, d)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Referencias

• Herbert Busemann, Obras seleccionadas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.

• Herbert Busemann, Obras seleccionadas, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volumen II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

• Gromov, Mikhail (1999), Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos , Progreso en matemáticas, 152 , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3898-9
• Khamsi, Mohamed A .; Kirk, William A. (2001), Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0