Historia de los logaritmos - History of logarithms

Página de título del Logarithmorum de John Napier desde 1620

La historia de los logaritmos es la historia de una correspondencia (en términos modernos, un isomorfismo grupal ) entre la multiplicación de los números reales positivos y la suma de la recta numérica real que se formalizó en la Europa del siglo XVII y se usó ampliamente para simplificar el cálculo hasta el advenimiento. de la computadora digital. Los logaritmos napierianos se publicaron por primera vez en 1614. Henry Briggs introdujo logaritmos comunes (base 10) , que eran más fáciles de usar. Las tablas de logaritmos se publicaron en muchas formas durante cuatro siglos. La idea de logaritmos también se utilizó para construir la regla de cálculo , que se volvió omnipresente en la ciencia y la ingeniería hasta la década de 1970. Un gran avance en la generación del logaritmo natural fue el resultado de la búsqueda de una expresión de área frente a una hipérbola rectangular , y requirió la asimilación de una nueva función en las matemáticas estándar.

Logaritmo común

Canon logarithmorum

Como el logaritmo común de diez es uno, de cien es dos y mil es tres, el concepto de logaritmos comunes está muy cerca del sistema numérico de posición decimal. Se dice que el tronco común tiene base 10, pero la base 10,000 es antigua y todavía común en el este de Asia . En su libro The Sand Reckoner , Arquímedes usó la miríada como base de un sistema numérico diseñado para contar los granos de arena en el universo. Como se señaló en 2000:

En la antigüedad, Arquímedes dio una receta para reducir la multiplicación a la suma haciendo uso de la progresión geométrica de números y relacionándolos con una progresión aritmética .

En 1616, Henry Briggs visitó a John Napier en Edimburgo para discutir el cambio sugerido a los logaritmos de Napier. Al año siguiente volvió a visitarlo con un propósito similar. Durante estas conferencias se acordó la alteración propuesta por Briggs, ya su regreso de su segunda visita a Edimburgo, en 1617, publicó el primer chiliad de sus logaritmos.

En 1624 Briggs publicó su Arithmetica Logarithmica , en folio, una obra que contenía los logaritmos de treinta mil números naturales con catorce decimales (1-20.000 y 90.001 a 100.000). Esta tabla fue ampliada más tarde por Adriaan Vlacq , pero a 10 lugares, y por Alexander John Thompson a 20 lugares en 1952.

Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones. También completó una tabla de senos logarítmicos y tangentes para la centésima parte de cada grado a catorce lugares decimales, con una tabla de senos naturales a quince lugares y las tangentes y secantes para los mismos a diez lugares, todos los cuales fueron impresos en Gouda. en 1631 y publicado en 1633 con el título de Trigonometria Britannica ; este trabajo fue probablemente un sucesor de su Logarithmorum Chilias Prima de 1617 ("Los primeros mil logaritmos"), que dio una breve descripción de los logaritmos y una larga tabla de los primeros 1000 enteros calculados hasta el decimocuarto lugar decimal.

Logaritmo natural

Opus geometricum posthumum , 1668

En 1649, Alphonse Antonio de Sarasa , ex estudiante de Grégoire de Saint-Vincent , logaritmos relacionada con la cuadratura de la hipérbola, señalando que el área A ( t ) bajo la hipérbola de x = 1 a x = t satisface

${\ Displaystyle A (tu) = A (t) + A (u).}$

Al principio, la reacción al logaritmo hiperbólico de San Vicente fue una continuación de estudios de cuadratura como en Christiaan Huygens (1651) y James Gregory (1667). Posteriormente surgió una industria de hacer logaritmos como "logaritmotechnia", el título de las obras de Nicholas Mercator (1668), Euclid Speidell (1688) y John Craig (1710).

Mediante el uso de la serie geométrica con su radio de convergencia condicional , una serie alterna llamada serie de Mercator expresa la función logarítmica en el intervalo (0,2). Dado que la serie es negativa en (0,1), el "área bajo la hipérbola" debe considerarse negativa allí, por lo que una medida con signo , en lugar de un área puramente positiva, determina el logaritmo hiperbólico.

El historiador Tom Whiteside describió la transición a la función analítica de la siguiente manera:

A finales del siglo XVII podemos decir que mucho más que ser un dispositivo de cálculo adecuadamente tabulado, la función de logaritmo, muy en el modelo del área de hipérbola, había sido aceptada en matemáticas. Cuando, en el siglo XVIII, esta base geométrica se descartó en favor de una totalmente analítica, no fue necesaria ninguna extensión o reformulación: el concepto de "área de hipérbola" se transformó sin dolor en "logaritmo natural".

Leonard Euler trató un logaritmo como un exponente de un cierto número llamado base del logaritmo. Señaló que el número 2.71828, y su recíproco, proporcionó un punto en la hipérbola xy = 1 tal que un área de una unidad cuadrada se encuentra debajo de la hipérbola, a la derecha de (1,1) y por encima de la asíntota de la hipérbola. Luego llamó al logaritmo, con este número como base, el logaritmo natural .

Como señaló Howard Eves , "una de las anomalías en la historia de las matemáticas es el hecho de que los logaritmos se descubrieron antes de que se usaran los exponentes". Carl B. Boyer escribió: "Euler fue uno de los primeros en tratar los logaritmos como exponentes, de la manera ahora tan familiar".

Pioneros de los logaritmos

Antecesores

Los babilonios en algún momento entre 2000 y 1600 aC pueden haber inventado el algoritmo de multiplicación de cuartos de cuadrado para multiplicar dos números usando solo la suma, la resta y una tabla de cuartos de cuadrado. Por lo tanto, dicha tabla tenía un propósito similar a las tablas de logaritmos, que también permiten calcular la multiplicación mediante sumas y búsquedas en tablas. Sin embargo, el método de un cuarto de cuadrado no podría usarse para la división sin una tabla adicional de recíprocos (o el conocimiento de un algoritmo suficientemente simple para generar recíprocos ). Se utilizaron tablas grandes de cuartos de cuadrado para simplificar la multiplicación precisa de números grandes desde 1817 en adelante hasta que esto fue reemplazado por el uso de computadoras.

El matemático indio Virasena trabajó con el concepto de ardhaccheda: el número de veces que un número de la forma 2n podía reducirse a la mitad. Para potencias exactas de 2 , esto es igual al logaritmo binario, pero difiere del logaritmo de otros números. Describió una fórmula de producto para este concepto y también introdujo conceptos análogos para la base 3 (trakacheda) y la base 4 (caturthacheda).

Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Nuremberg en 1544, que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla de logaritmos binarios .

En el siglo XVI y principios del XVII, se utilizó un algoritmo llamado prostoféresis para aproximar la multiplicación y la división. Esto usó la identidad trigonométrica

${\ Displaystyle \ cos \ alpha \ cos \ beta = {\ frac {1} {2}} [\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta)]}$

o similar para convertir las multiplicaciones en sumas y búsquedas en tablas. Sin embargo, los logaritmos son más sencillos y requieren menos trabajo. Puede demostrarse mediante la fórmula de Euler que las dos técnicas están relacionadas.

Bürgi

El matemático suizo Jost Bürgi construyó una tabla de progresiones que puede considerarse una tabla de antilogaritmos independientemente de John Napier , cuya publicación (1614) se conocía cuando Bürgi publicó a instancias de Johannes Kepler . Sabemos que Bürgi tenía alguna forma de simplificar los cálculos alrededor de 1588, pero lo más probable es que así fuera el uso de la prostoféresis, y no el uso de su tabla de progresiones que probablemente se remonta a alrededor de 1600. De hecho, Wittich, quien estuvo en Kassel desde 1584 a 1586, trajo consigo el conocimiento de la prostoféresis , un método por el cual las multiplicaciones y divisiones pueden ser reemplazadas por sumas y restas de valores trigonométricos ... Este procedimiento logra lo mismo que los logaritmos unos años más tarde.

Napier

John Napier (1550-1617), el inventor de los logaritmos

El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ).

Johannes Kepler , quien usó extensivamente tablas de logaritmos para compilar sus Efemérides y, por lo tanto, las dedicó a Napier, comentó:

... el acento en el cálculo llevó a Justus Byrgius [Joost Bürgi] en el camino hacia estos mismos logaritmos muchos años antes de que apareciera el sistema de Napier; pero ... en lugar de criar a su hijo para el beneficio público, lo abandonó en el nacimiento.

-  Johannes Kepler, Tablas Rudolphine (1627)

Napier imaginó un punto P viajando a través de un segmento de línea P0 a Q. Comenzando en P0, con una cierta velocidad inicial, P viaja a una velocidad proporcional a su distancia a Q, lo que hace que P nunca llegue a Q. Napier yuxtapuso esta figura con la de un punto L que viaja a lo largo de un segmento de línea ilimitado, comenzando en L0, y con una rapidez constante igual a la de la rapidez inicial del punto P. Napier definió la distancia de L0 a L como el logaritmo de la distancia de P a Q.

Mediante restas repetidas, Napier calculó (1 - 10 ⁻⁷ ) ^L para L que van de 1 a 100. El resultado para L = 100 es aproximadamente 0,99999 = 1 - 10 ⁻⁵ . Luego, Napier calculó los productos de estos números con 10 ⁷ (1 - 10 ⁻⁵ ) ^L para L de 1 a 50, y lo hizo de manera similar con 0.9998 ≈ (1 - 10 ⁻⁵ ) ²⁰ y 0.9 ≈ 0.995 ²⁰ . Estos cálculos, que ocuparon 20 años, le permitieron dar, para cualquier número N de 5 a 10 millones, el número L que resuelve la ecuación

${\ Displaystyle N = 10 ^ {7} (1-10 ^ {- 7}) ^ {L}.}$

Napier primero llamó a L un "número artificial", pero luego introdujo la palabra "logaritmo" para significar un número que indica una razón: λόγος ( logos ) que significa proporción y ἀριθμός ( arithmos ) que significa número. En notación moderna, la relación con los logaritmos naturales es:

${\ Displaystyle L = \ log _ {(1-10 ^ {- 7})} \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) \ approx 10 ^ {7} \ log _ {1 / e} \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ right) = - 10 ^ {7} \ log _ {e} \ left ({\ frac {N} {10 ^ {7}}} \ derecha),}$

donde la aproximación muy cercana corresponde a la observación de que

${\ displaystyle (1-10 ^ {- 7}) ^ {10 ^ {7}} \ approx {\ frac {1} {e}}.}$

La invención fue aclamada rápida y ampliamente. Las obras de Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (China) y Johannes Kepler 's Chilias logarithmorum (Alemania) ayudó a difundir el concepto aún más.

Euler

Gráfica de la ecuación y = 1 / x . Aquí, el número e de Euler hace que el área sombreada sea igual a 1.

Alrededor de 1730, Leonhard Euler definió la función exponencial y el logaritmo natural por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} e ^ {x} & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}, \ \ [6pt] \ ln (x) & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} n (x ^ {1 / n} -1). \ End {alineado}}}$

En su 1748 libro de texto Introducción al análisis del Infinito , Euler publicó el enfoque ahora estándar de los logaritmos a través de una función inversa : En el capítulo 6, "En exponenciales y logaritmos", comienza con una base constante una y discute la función trascendental Entonces su inverso es el logaritmo: ${\ Displaystyle y = a ^ {z}.}$

z = log _a y .

Tablas de logaritmos

Una página del Logarithmorum Chilias Prima de Henry Briggs de 1617 que muestra el logaritmo en base 10 (común) de los números enteros del 1 al 67 con catorce lugares decimales.

Parte de una tabla de logaritmos comunes del siglo XX en el libro de referencia Abramowitz y Stegun .

Una página de una tabla de logaritmos de funciones trigonométricas del 2002 American Practical Navigator . Se incluyen columnas de diferencias para facilitar la interpolación .

Las tablas matemáticas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaron ampliamente en los cálculos antes de la llegada de las computadoras y las calculadoras , no solo porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles, sino por una propiedad adicional que es única. a base 10 y resulta útil: cualquier número positivo se puede expresar como el producto de un número del intervalo [1,10) y una potencia entera de 10. Esto se puede imaginar como desplazar el separador decimal del número dado al a la izquierda dando un positivo y a la derecha un exponente negativo de 10. Solo los logaritmos de estos números normalizados (aproximados por un cierto número de dígitos), que se denominan mantisas , deben tabularse en listas con una precisión similar (un número similar de dígitos). Estas mantisas son todas positivas y encerradas en el intervalo [0,1) . El logaritmo común de cualquier número positivo dado se obtiene sumando su mantisa al logaritmo común del segundo factor. Este logaritmo se llama característica del número dado. Dado que el logaritmo común de una potencia de 10 es exactamente el exponente, la característica es un número entero, lo que hace que el logaritmo común sea excepcionalmente útil al tratar con números decimales. Para números menores que 1, la característica hace que el logaritmo resultante sea negativo, según sea necesario. Consulte el logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.

Mesas tempranas

Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Nuremberg en 1544, que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica.

El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas relacionadas con los logaritmos naturales . El matemático inglés Henry Briggs visitó Napier en 1615 y propuso una nueva escala de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada, y luego publicaron, en 1617, Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que daba una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 enteros calculados al 14. decimal.

En 1624 apareció en folio su Arithmetica Logarithmica , una obra que contenía los logaritmos de treinta mil números naturales con catorce decimales (1-20.000 y 90.001 a 100.000). Esta tabla fue ampliada más tarde por Adriaan Vlacq , pero a 10 lugares, y por Alexander John Thompson a 20 lugares en 1952.

Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones.

Más tarde se descubrió que la tabla de Vlacq contenía 603 errores, pero "esto no puede considerarse como un gran número, cuando se considera que la tabla fue el resultado de un cálculo original y que más de 2.100.000 figuras impresas están sujetas a error". Una edición de la obra de Vlacq, que contiene muchas correcciones, se publicó en Leipzig en 1794 con el título Thesaurus Logarithmorum Completus de Jurij Vega .

La tabla de siete lugares de François Callet ( París , 1795), en lugar de detenerse en 100.000, dio los logaritmos de ocho lugares de los números entre 100.000 y 108.000, con el fin de disminuir los errores de interpolación , que eran mayores en la primera parte. de la tabla, y esta adición generalmente se incluyó en tablas de siete lugares. La única extensión importante publicada de la tabla de Vlacq fue hecha por Edward Sang en 1871, cuya tabla contenía los logaritmos de siete lugares de todos los números por debajo de 200.000.

Briggs y Vlacq también publicaron tablas originales de los logaritmos de las funciones trigonométricas . Briggs completó una tabla de senos logarítmicos y tangentes logarítmicas para la centésima parte de cada grado hasta catorce lugares decimales, con una tabla de senos naturales hasta quince lugares y las tangentes y secantes para los mismos hasta diez lugares, todos impresos en Gouda. en 1631 y publicado en 1633 con el título de Trigonometria Britannica . Las tablas de logaritmos de funciones trigonométricas simplifican los cálculos manuales en los que la función de un ángulo debe multiplicarse por otro número, como suele ser el caso.

Además de las tablas mencionadas , se construyó una gran colección, llamada Tables du Catastro, bajo la dirección de Gaspard de Prony , por un cálculo original, bajo los auspicios del gobierno republicano francés de la década de 1790. Esta obra, que contenía los logaritmos de todos los números hasta 100.000 a diecinueve lugares, y de los números entre 100.000 y 200.000 a veinticuatro lugares, existe sólo en manuscrito, "en diecisiete folios enormes", en el Observatorio de París. Se inició en 1792, y "la totalidad de los cálculos, que para asegurar una mayor precisión se realizaron por duplicado, y los dos manuscritos posteriormente recopilados con cuidado, se completaron en el corto espacio de dos años". La interpolación cúbica podría usarse para encontrar el logaritmo de cualquier número con una precisión similar.

Para diferentes necesidades, se han compilado tablas de logaritmos que van desde pequeños manuales hasta ediciones de varios volúmenes:

Regla de cálculo

William Oughtred (1575-1660), inventor de la regla de cálculo circular.

Una colección de reglas de cálculo en el Museo de Historia de la Ciencia de Oxford

La regla de cálculo se inventó alrededor de 1620-1630, poco después de la publicación del concepto de logaritmo por John Napier . Edmund Gunter de Oxford desarrolló un dispositivo de cálculo con una sola escala logarítmica; con herramientas de medición adicionales podría usarse para multiplicar y dividir. La primera descripción de esta escala fue publicada en París en 1624 por Edmund Wingate (c.1593-1656), un matemático inglés, en un libro titulado L'usage de la reigle de proporción en l'arithmetique & geometrie . El libro contiene una doble escala, logarítmica por un lado y tabular por el otro. En 1630, William Oughtred de Cambridge inventó una regla de cálculo circular, y en 1632 combinó dos reglas de Gunter portátiles para crear un dispositivo que es reconocible como la regla de cálculo moderna. Como su contemporáneo en Cambridge, Isaac Newton , Oughtred enseñó sus ideas en privado a sus estudiantes. También como Newton, se vio envuelto en una controversia mordaz sobre la prioridad, con su antiguo alumno Richard Delamain y las afirmaciones anteriores de Wingate. Las ideas de Oughtred solo se hicieron públicas en las publicaciones de su alumno William Forster en 1632 y 1653.

En 1677, Henry Coggeshall creó una regla plegable de dos pies para medir la madera, llamada regla de cálculo de Coggeshall , ampliando el uso de la regla de cálculo más allá de la investigación matemática.

En 1722, Warner introdujo las escalas de dos y tres décadas, y en 1755 Everard incluyó una escala invertida; una regla de cálculo que contiene todas estas escalas se conoce generalmente como regla "polifásica".

En 1815, Peter Mark Roget inventó la regla de cálculo de logaritmo logarítmico, que incluía una escala que mostraba el logaritmo del logaritmo. Esto permitió al usuario realizar directamente cálculos con raíces y exponentes. Esto fue especialmente útil para potencias fraccionarias.

En 1821, Nathaniel Bowditch , describió en el American Practical Navigator una "regla deslizante" que contenía funciones trigonométricas de escalas en la parte fija y una línea de log-senos y log-tans en el control deslizante utilizado para resolver problemas de navegación.

En 1845, Paul Cameron de Glasgow introdujo una regla de cálculo náutica capaz de responder preguntas de navegación, incluida la ascensión recta y la declinación del sol y las estrellas principales.

Forma moderna

Ingeniero usando una regla de cálculo, con calculadora mecánica en segundo plano, mediados del siglo XX.

Una forma más moderna de regla de cálculo fue creada en 1859 por el teniente de artillería francés Amédée Mannheim , "quien tuvo la suerte de que su gobierno lo hiciera una firma de reputación nacional y de que lo adoptara la artillería francesa". Fue por esta época cuando la ingeniería se convirtió en una profesión reconocida, lo que resultó en un uso generalizado de las reglas de cálculo en Europa, pero no en los Estados Unidos. Allí, la regla cilíndrica de Edwin Thacher se impuso después de 1881. La regla dúplex fue inventada por William Cox en 1891 y fue producida por Keuffel and Esser Co. de Nueva York.

Referencias

Fuentes originales

• Henry Briggs (1624) Arithmetica Logarithmica
• Grégoire de Saint-Vincent (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni
• Christiaan Huygens (1651) Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli , en Oeuvres Complètes , tomo XI, enlace de Internet Archive .
• James Gregory (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura , Padua: Patavii, a través de Internet Archive
• William Brouncker (1667) La cuadratura de la hipérbola , Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres , edición abreviada 1809, v. I, págs. 233–6, enlace de la Biblioteca del Patrimonio de la Biodiversidad .
• Nicholas Mercator (1668) Logarithmitechnia , Londres

Fuentes secundarias

• Frances Maseres (1791) Scriptores Logarithmici, o una colección de varios tratados curiosos sobre la naturaleza y construcción de los logaritmos , enlace de Google Books .
• Karl Bopp (1907) "Die Kegelschnitte der Gregorius a St. Vincentio", Abhandlungen zum Geschichte der mathische Wissenschaft , XX Heft.
• Florian Cajori (1913) "Historia de los conceptos exponenciales y logarítmicos", American Mathematical Monthly 20: páginas 5 a 14 , páginas 35 a 47 , páginas 75 a 84 , páginas 107 a 117 , páginas 148 a 151 , páginas 173 a 182 , páginas 205 a 210 , enlaces de Jstor
• George A. Gibson (1922) "Trabajo matemático de James Gregory", Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo 41: 2 a 25 y (segunda serie) 1: 1 a 18.
• Christoph J. Scriba (1983) "La doble secuencia convergente de Gregory: una nueva mirada a la controversia entre Huygens y Gregory sobre la cuadratura 'analítica' del círculo", Historia Mathematica 10: 274 a 85.
• RC Pierce (1977) "Una breve historia del logaritmo", Two-Year College Mathematics Journal 8 (1): 22–6.
• KM Clark (2012) "Prioridad, descubrimiento paralelo y preeminencia: Napier, Burgi y la historia temprana de la relación logarítmica", Revue d'histoire de Mathematique 18 (2): 223–70.

enlaces externos

• Rafael Villareal-Calderon (2008) Cortar troncos: una mirada a la historia y los usos de los troncos , The Montana Mathematical Enthusiast 5 (2,3): 237 a 44, enlace de la Universidad de Montana
• Martin Flashman La historia de los logaritmos de la Universidad Estatal de Humboldt