Teorema de Green-Tao - Green–Tao theorem

En teoría de números , el teorema de Green-Tao , probado por Ben Green y Terence Tao en 2004, establece que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, para cada número natural k , existen progresiones aritméticas de primos con k términos. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi . El problema se remonta a las investigaciones de Lagrange y Waring de alrededor de 1770.

Declaración

Vamos a denotar el número de primos menores o iguales a . Si es un subconjunto de los números primos tal que ${\ Displaystyle \ pi (N)}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle A}$

${\ displaystyle \ limsup _ {N \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {| A \ cap [1, N] |} {\ pi (N)}}> 0}$,

entonces, para todos los enteros positivos , el conjunto contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud . En particular, todo el conjunto de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle k}$

En su trabajo posterior sobre la conjetura generalizada de Hardy-Littlewood , Green y Tao establecieron y probaron condicionalmente la fórmula asintótica

${\ Displaystyle ({\ mathfrak {S}} _ {k} + o (1)) {\ frac {N ^ {2}} {(\ log N) ^ {k}}}}$

para el número de k tuplas de primos en progresión aritmética. Aquí está la constante ${\ Displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ dotsb <p_ {k} \ leq N}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {k}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {k}: = {\ frac {1} {2 (k-1)}} \ left (\ prod _ {p \ leq k} {\ frac {1} { p}} \ left ({\ frac {p} {p-1}} \ right) ^ {\! k-1} \ right) \! \ left (\ prod _ {p> k} \ left (1- {\ frac {k-1} {p}} \ right) \! \ left ({\ frac {p} {p-1}} \ right) ^ {\! k-1} \ right) \ !.}$

El resultado fue hecho incondicional por Green-Tao y Green-Tao-Ziegler.

Resumen de la prueba

La prueba de Green y Tao tiene tres componentes principales:

1. El teorema de Szemerédi , que afirma que los subconjuntos de números enteros con densidad superior positiva tienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. No se aplica a priori a los primos porque los primos tienen densidad cero en los enteros.
2. Un principio de transferencia que extiende el teorema de Szemerédi a subconjuntos de enteros que son pseudoaleatorios en un sentido adecuado. Este resultado se denomina ahora teorema relativo de Szemerédi.
3. Un subconjunto pseudoaleatorio de enteros que contiene los primos como un subconjunto denso. Para construir este conjunto, Green y Tao utilizaron ideas del trabajo de Goldston, Pintz y Yıldırım sobre brechas primarias . Una vez establecida la pseudoaleatoriedad del conjunto, se puede aplicar el principio de transferencia, completando la demostración.

Se han encontrado numerosas simplificaciones del argumento en el artículo original. Conlon, Fox y Zhao (2014) ofrecen una exposición moderna de la prueba.

Trabajo numérico

La demostración del teorema de Green-Tao no muestra cómo encontrar las progresiones de los números primos; simplemente prueba que existen . Ha habido un trabajo computacional separado para encontrar grandes progresiones aritméticas en los números primos.

El documento de Green-Tao dice: “En el momento de escribir este artículo, la progresión aritmética de números primos más larga conocida es de 23 y fue encontrada en 2004 por Markus Frind, Paul Underwood y Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 ·  k ; k = 0, 1,. . ., 22. '.

El 18 de enero de 2007, Jarosław Wróblewski encontró el primer caso conocido de 24 números primos en progresión aritmética :

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n , para n = 0 a 23.

La constante 223092870 aquí es el producto de los números primos hasta 23, escrito de manera más compacta 23 # en notación Primorial .

El 17 de mayo de 2008, Wróblewski y Raanan Chermoni encontraron el primer caso conocido de 25 números primos:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23 # · n , para n = 0 a 24.

El 12 de abril de 2010, Benoãt Perichon con software de Wróblewski y Geoff Reynolds en un proyecto distribuido PrimeGrid encontró el primer caso conocido de 26 números primos (secuencia A204189 en la OEIS ):

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23 # · n , para n = 0 a 25.

En septiembre de 2019, Rob Gahan y PrimeGrid encontraron el primer caso conocido de 27 números primos (secuencia A327760 en la OEIS ):

224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23 # · n , para n = 0 a 26.

Extensiones y generalizaciones

Muchas de las extensiones del teorema de Szemerédi también son válidas para los números primos.

Independientemente, Tao y Ziegler y Cook, Magyar y Titichetrakun derivaron una generalización multidimensional del teorema de Green-Tao. La prueba Tao-Ziegler también fue simplificada por Fox y Zhao.

En 2006, Tao y Ziegler ampliaron el teorema de Green-Tao para cubrir progresiones polinómicas. Más precisamente, dado cualquier polinomio de valor entero P ₁ , ..., P _k en un m desconocido todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x , m tales que x  +  P ₁ ( m ), ..., x  +  P _k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de longitud k de primos.

Tao demostró ser un análogo del teorema de Green-Tao para los números primos de Gauss .

Ver también

• Conjetura de Erd sobre progresiones aritméticas
• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
• Combinatoria aritmética

Referencias

Otras lecturas

• Conlon, David ; Fox, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). "El teorema de Green-Tao: una exposición". Encuestas EMS en Ciencias Matemáticas . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . doi : 10.4171 / EMSS / 6 . Señor  3285854 . S2CID  119301206 .
• Gowers, Timothy (2010). "Descomposiciones, estructura aproximada, transferencia y el teorema de Hahn-Banach". Boletín de la London Mathematical Society . 42 (4): 573–606. arXiv : 0811.3103 . doi : 10.1112 / blms / bdq018 . Señor  2669681 . S2CID  17216784 .
• Green, Ben (2007). "Progresiones aritméticas largas de números primos". En Duke, William; Tschinkel, Yuri (eds.). Teoría analítica de números . Procedimiento de matemáticas de arcilla. 7 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 149-167. ISBN 978-0-8218-4307-9. Señor  2362199 .
• Anfitrión, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Progresiones aritméticas en los números primos (después de B. Green y T. Tao)] (PDF) . Astérisque (en francés) (307): 229–246. Señor  2296420 .
• Kra, Bryna (2006). "El teorema de Green-Tao sobre progresiones aritméticas en los números primos: un punto de vista ergódico" . Boletín de la American Mathematical Society . 43 (1): 3–23. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01086-4 . Señor  2188173 .
• Tao, Terence (2006). "Progresiones aritméticas y los números primos" . Collectanea Mathematica . Vol. Extra: 37–88. Señor  2264205 . Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015 . Consultado el 5 de junio de 2015 . |volume=tiene texto extra ( ayuda )
• Tao, Terence (2006). "Obstrucciones a la uniformidad y patrones aritméticos en los números primos". Matemáticas puras y aplicadas trimestralmente . 2 (2): 395–433. arXiv : matemáticas / 0505402 . doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a2 . Señor  2251475 . S2CID  6939076 .
• Tao, Terence (7 de enero de 2008). "Conferencia AMS: Estructura y aleatoriedad en los números primos" .