Navegación de círculo máximo - Great-circle navigation

Curso de ortodrómica dibujado en el globo terráqueo.

La navegación de círculo máximo u navegación ortodrómica (relacionada con el rumbo ortodrómico ; del griego ορθóς , ángulo recto y δρóμος , trayectoria) es la práctica de navegar una embarcación (un barco o avión ) a lo largo de un círculo máximo . Estas rutas producen la distancia más corta entre dos puntos en el mundo hipotético.

Curso

Figura 1. La trayectoria del gran círculo entre (φ ₁ , λ ₁ ) y (φ ₂ , λ ₂ ).

La trayectoria del gran círculo se puede encontrar usando trigonometría esférica ; esta es la versión esférica del problema geodésico inverso . Si un navegante comienza en P ₁  = (φ ₁ , λ ₁ ) y planea recorrer el gran círculo hasta un punto en el punto P ₂  = (φ ₂ , λ ₂ ) (ver Fig.1, φ es la latitud, positiva hacia el norte , y λ es la longitud, positiva hacia el este), los cursos inicial y final α ₁ y α ₂ están dados por fórmulas para resolver un triángulo esférico

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ tan \ alpha _ {1} & = {\ frac {\ cos \ phi _ {2} \ sin \ lambda _ {12}} {\ cos \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {12}}}, \\\ tan \ alpha _ {2} & = {\ frac {\ cos \ phi _ {1} \ sin \ lambda _ {12}} {- \ cos \ phi _ {2} \ sin \ phi _ {1} + \ sin \ phi _ {2} \ cos \ phi _ {1} \ cos \ lambda _ {12}}}, \\\ end {alineado}}}$

donde λ ₁₂  = λ ₂  - λ ₁ y los cuadrantes de α ₁ , α ₂ están determinados por los signos del numerador y denominador en las fórmulas de tangente (por ejemplo, usando la función atan2 ). El ángulo central entre los dos puntos, σ ₁₂ , está dado por

${\ Displaystyle \ tan \ sigma _ {12} = {\ frac {\ sqrt {(\ cos \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} - \ sin \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {12}) ^ {2} + (\ cos \ phi _ {2} \ sin \ lambda _ {12}) ^ {2}}} {\ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {12}}}.}$

(El numerador de esta fórmula contiene las cantidades que se usaron para determinar tanα _1. ) La distancia a lo largo del círculo máximo será s ₁₂  =  R σ ₁₂ , donde R es el radio asumido de la Tierra y σ ₁₂ se expresa en radianes. . Usando el radio medio terrestre , R  =  R ₁  ≈ 6,371 km (3,959 mi) arroja resultados para la distancia s ₁₂ que están dentro del 1% de la distancia geodésica para el elipsoide WGS84 .

Encontrar puntos de paso

Para encontrar los puntos de paso , es decir, las posiciones de los puntos seleccionados en el gran círculo entre P ₁ y P ₂ , primero extrapolamos el gran círculo a su nodo A , el punto en el que el gran círculo cruza el ecuador en el norte. dirección: sea la longitud de este punto λ ₀ - ver Fig 1. El acimut en este punto, α ₀ , viene dado por

${\ Displaystyle \ tan \ alpha _ {0} = {\ frac {\ sin \ alpha _ {1} \ cos \ phi _ {1}} {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ alpha _ {1} + \ sin ^ {2} \ alpha _ {1} \ sin ^ {2} \ phi _ {1}}}}.}$

Deje que las distancias angulares a lo largo del círculo máximo de A a P ₁ y P ₂ sean σ ₀₁ y σ ₀₂ respectivamente. Luego, usando las reglas de Napier tenemos

${\ Displaystyle \ tan \ sigma _ {01} = {\ frac {\ tan \ phi _ {1}} {\ cos \ alpha _ {1}}} \ qquad}$(Si φ ₁  = 0 y α ₁  =  1 ⁄ 2 π, use σ ₀₁  = 0).

Esto da σ ₀₁ , de donde σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂ .

La longitud en el nodo se obtiene a partir de

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ tan \ lambda _ {01} & = {\ frac {\ sin \ alpha _ {0} \ sin \ sigma _ {01}} {\ cos \ sigma _ {01}} }, \\\ lambda _ {0} & = \ lambda _ {1} - \ lambda _ {01}. \ end {alineado}}}$

Figura 2. La trayectoria del gran círculo entre un nodo (un cruce del ecuador) y un punto arbitrario (φ, λ).

Finalmente, calcule la posición y el acimut en un punto arbitrario, P (ver Fig. 2), mediante la versión esférica del problema geodésico directo . Las reglas de Napier dan

${\ Displaystyle {\ color {blanco}. \, \ qquad)} \ tan \ phi = {\ frac {\ cos \ alpha _ {0} \ sin \ sigma} {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ sigma + \ sin ^ {2} \ alpha _ {0} \ sin ^ {2} \ sigma}}},}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ tan (\ lambda - \ lambda _ {0}) & = {\ frac {\ sin \ alpha _ {0} \ sin \ sigma} {\ cos \ sigma}}, \ \\ tan \ alpha & = {\ frac {\ tan \ alpha _ {0}} {\ cos \ sigma}}. \ end {alineado}}}$

La función atan2 debe usarse para determinar σ ₀₁ , λ y α. Por ejemplo, para encontrar el punto medio de la ruta, sustituya σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ); alternativamente para encontrar el punto a una distancia d desde el punto de partida, tomar σ = σ ₀₁  +  d / R . Asimismo, el vértice , el punto del gran círculo con mayor latitud, se encuentra sustituyendo σ = + 1 ⁄ 2 π. Puede ser conveniente parametrizar la ruta en términos de longitud utilizando

${\ Displaystyle \ tan \ phi = \ cot \ alpha _ {0} \ sin (\ lambda - \ lambda _ {0}).}$

Se pueden encontrar latitudes a intervalos regulares de longitud y las posiciones resultantes se pueden transferir a la carta de Mercator, lo que permite aproximar el círculo máximo mediante una serie de líneas de rumbo . El camino así determinado da la gran elipse que une los puntos finales, siempre que las coordenadas se interpreten como coordenadas geográficas en el elipsoide. ${\ Displaystyle (\ phi, \ lambda)}$

Estas fórmulas se aplican a un modelo esférico de la tierra. También se utilizan para resolver el gran círculo en la esfera auxiliar que es un dispositivo para encontrar el camino más corto, o geodésico , en un elipsoide de revolución; vea el artículo sobre geodésicas en un elipsoide .

Ejemplo

Calcule la ruta del gran círculo desde Valparaíso , φ ₁  = −33 °, λ ₁  = −71.6 °, a Shanghai , φ ₂  = 31.4 °, λ ₂  = 121.8 °.

Las fórmulas para el rumbo y la distancia dan λ ₁₂  = −166,6 °, α ₁  = −94,41 °, α ₂  = −78,42 ° y σ ₁₂  = 168,56 °. Tomando el radio de la Tierra como R  = 6371 km, la distancia es s ₁₂  = 18743 km.

Para calcular puntos a lo largo de la ruta, primero encuentre α ₀  = −56.74 °, σ ₁  = −96.76 °, σ ₂  = 71.8 °, λ ₀₁  = 98.07 ° y λ ₀  = −169.67 °. Luego, para calcular el punto medio de la ruta (por ejemplo), tome σ =  1 ⁄ 2 (σ ₁  + σ ₂ ) = −12.48 °, y resuelva para φ = −6.81 °, λ = −159.18 ° y α = - 57,36 °.

Si la geodésica se calcula con precisión en el elipsoide WGS84 , los resultados son α ₁  = −94,82 °, α ₂  = −78,29 ° y s ₁₂  = 18752 km. El punto medio de la geodésica es φ = −7.07 °, λ = −159.31 °, α = −57.45 °.

Carta gnomónica

Una línea recta dibujada en una carta gnomónica sería una gran trayectoria circular. Cuando se transfiere a un gráfico de Mercator , se convierte en una curva. Las posiciones se transfieren en un intervalo de longitud conveniente y esto se traza en el gráfico de Mercator.

Ver también

• Rosa de los vientos
• Gran circulo
• Distancia del gran círculo
• Gran elipse
• Geodésicas en un elipsoide
• Distancia geográfica
• Isoazimutal
• Navegación loxodrómica
• Mapa
  • Mapa de Portolan
• Reloj de arena marino
• Línea de rumbo
• Trigonometría esférica
• Red Windrose

Notas

Referencias

enlaces externos

• Great Circle: de la descripción, figuras y ecuaciones de MathWorld Great Circle. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
• Great Circle Mapper Herramienta interactiva para trazar grandes rutas circulares.
• Great Circle Calculator que deriva el rumbo (inicial) y la distancia entre dos puntos.
• Great Circle Distance Herramienta gráfica para dibujar grandes círculos sobre mapas. También muestra la distancia y el acimut en una tabla.
• Programa de asistencia de Google para navegación ortodrómica