Desigualdad isoperimétrica gaussiana - Gaussian isoperimetric inequality

En matemáticas, la desigualdad isoperimétrica gaussiana , probada por Boris Tsirelson y Vladimir Sudakov , y más tarde independientemente por Christer Borell , establece que entre todos los conjuntos de medidas gaussianas dadas en el espacio euclidiano n- dimensional , los medios espacios tienen la medida de frontera gaussiana mínima .

Formulación matemática

Sea un subconjunto medible de dotado de la medida gaussiana estándar con la densidad . Denotamos por ${\ Displaystyle \ scriptstyle A}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ gamma ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ exp (- \ | x \ | ^ {2} / 2)} / (2 \ pi) ^ {n / 2}}$

${\ Displaystyle A _ {\ varepsilon} = \ left \ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n} \, | \, {\ text {dist}} (x, A) \ leq \ varepsilon \ right \} }$

la ε-extensión de A . Entonces la desigualdad isoperimétrica gaussiana establece que

${\ Displaystyle \ liminf _ {\ varepsilon \ to +0} \ varepsilon ^ {- 1} \ left \ {\ gamma ^ {n} (A _ {\ varepsilon}) - \ gamma ^ {n} (A) \ right \} \ geq \ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ gamma ^ {n} (A))),}$

dónde

${\ Displaystyle \ varphi (t) = {\ frac {\ exp (-t ^ {2} / 2)} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ quad {\ rm {y}} \ quad \ Phi ( t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ varphi (s) \, ds.}$

Pruebas y generalizaciones

Las pruebas originales de Sudakov, Tsirelson y Borell se basaron en Paul Lévy 's isoperimetría esférica .

Sergey Bobkov demostró una generalización funcional de la desigualdad isoperimétrica de Gauss, a partir de una cierta "desigualdad analítica de dos puntos". Bakry y Ledoux dieron otra prueba de la desigualdad funcional de Bobkov basada en las técnicas de semigrupo que funciona en un entorno mucho más abstracto. Más tarde, Barthe y Maurey dieron otra prueba más usando el movimiento browniano .

La desigualdad isoperimétrica de Gauss también se deriva de la desigualdad de Ehrhard .

Ver también

• Concentración de medida
• Desigualdad Borell-TIS

Referencias