Teorema del punto fijo - Fixed-point theorem

En matemáticas , un teorema de punto fijo es un resultado que dice que una función F tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el cual F ( x ) = x ), bajo algunas condiciones en F que se pueden establecer en términos generales. Los resultados de este tipo se encuentran entre los más útiles en matemáticas.

En análisis matemático

El teorema del punto fijo de Banach proporciona un criterio general que garantiza que, si se satisface, el procedimiento de iterar una función produce un punto fijo.

Por el contrario, el teorema del punto fijo de Brouwer es un resultado no constructivo : dice que cualquier función continua desde la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano n- dimensional hasta sí misma debe tener un punto fijo, pero no describe cómo encontrar el punto fijo (Ver también el lema de Sperner ).

Por ejemplo, la función coseno es continua en [−1,1] y la asigna a [−1, 1], por lo que debe tener un punto fijo. Esto queda claro al examinar un gráfico bosquejado de la función coseno; el punto fijo ocurre donde la curva del coseno y = cos ( x ) se cruza con la línea y = x . Numéricamente, el punto fijo es aproximadamente x = 0.73908513321516 (por lo tanto, x = cos ( x ) para este valor de x ).

El teorema del punto fijo de Lefschetz (y el teorema del punto fijo de Nielsen ) de la topología algebraica es notable porque proporciona, en cierto sentido, una forma de contar puntos fijos.

Hay una serie de generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach y más; estos se aplican en la teoría PDE . Consulte los teoremas del punto fijo en espacios de dimensión infinita .

El teorema del collage en la compresión fractal demuestra que, para muchas imágenes, existe una descripción relativamente pequeña de una función que, cuando se aplica iterativamente a cualquier imagen inicial, converge rápidamente en la imagen deseada.

En álgebra y matemáticas discretas

El teorema de Knaster-Tarski establece que cualquier función de preservación del orden en un retículo completo tiene un punto fijo y, de hecho, un punto fijo más pequeño . Véase también el teorema de Bourbaki-Witt .

El teorema tiene aplicaciones en interpretación abstracta , una forma de análisis de programa estático .

Un tema común en el cálculo lambda es encontrar puntos fijos de expresiones lambda dadas. Cada expresión lambda tiene un punto fijo, y un combinador de punto fijo es una "función" que toma como entrada una expresión lambda y produce como salida un punto fijo de esa expresión. Un combinador de punto fijo importante es el combinador Y que se utiliza para dar definiciones recursivas .

En la semántica denotacional de los lenguajes de programación, se utiliza un caso especial del teorema de Knaster-Tarski para establecer la semántica de las definiciones recursivas. Si bien el teorema del punto fijo se aplica a la "misma" función (desde un punto de vista lógico), el desarrollo de la teoría es bastante diferente.

La misma definición de función recursiva se puede dar, en la teoría de la computabilidad , aplicando el teorema de recursividad de Kleene . Estos resultados no son teoremas equivalentes; el teorema de Knaster-Tarski es un resultado mucho más fuerte que el que se usa en semántica denotacional. Sin embargo, a la luz de la tesis de Church-Turing, su significado intuitivo es el mismo: una función recursiva puede describirse como el punto menos fijo de una determinada función, mapeando funciones con funciones.

La técnica anterior de iterar una función para encontrar un punto fijo también se puede utilizar en la teoría de conjuntos ; el lema de punto fijo para funciones normales establece que cualquier función continua estrictamente creciente de ordinales a ordinales tiene uno (y de hecho muchos) puntos fijos.

Cada operador de cierre en un poset tiene muchos puntos fijos; estos son los "elementos cerrados" con respecto al operador de cierre, y son la razón principal por la que se definió el operador de cierre en primer lugar.

Toda involución en un conjunto finito con un número impar de elementos tiene un punto fijo; de manera más general, para cada involución de un conjunto finito de elementos, el número de elementos y el número de puntos fijos tienen la misma paridad . Don Zagier usó estas observaciones para dar una prueba de una oración del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , al describir dos involuciones en el mismo conjunto de triples de enteros, uno de los cuales puede demostrarse fácilmente que tiene solo un punto fijo y el otro de los cuales tiene un punto fijo para cada representación de un primo dado (congruente con 1 mod 4) como una suma de dos cuadrados. Dado que la primera involución tiene un número impar de puntos fijos, también los tiene la segunda y, por lo tanto, siempre existe una representación de la forma deseada.

Lista de teoremas del punto fijo

Notas al pie

  1. ^ Brown, RF, ed. (1988). Teoría del punto fijo y sus aplicaciones . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-5080-6.
  2. ^ Dugundji, James; Granas, Andrzej (2003). Teoría del punto fijo . Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
  3. ^ Giles, John R. (1987). Introducción al análisis de espacios métricos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-35928-3.
  4. ^ Eberhard Zeidler, Análisis funcional aplicado: principios fundamentales y sus aplicaciones , Springer, 1995.
  5. ^ Solomon Lefschetz (1937). "Sobre la fórmula del punto fijo". Ana. de Matemáticas. 38 (4): 819–822. doi : 10.2307 / 1968838 .
  6. ^ Fenchel, Werner ; Nielsen, Jakob (2003). Schmidt, Asmus L. (ed.). Grupos discontinuos de isometrías en el plano hiperbólico . Estudios de De Gruyter en matemáticas. 29 . Berlín: Walter de Gruyter & Co.
  7. ^ Barnsley, Michael. (1988). Fractales en todas partes . Academic Press, Inc. ISBN 0-12-079062-9.
  8. ^ Alfred Tarski (1955). "Un teorema de punto fijo teórico-reticular y sus aplicaciones" . Pacific Journal of Mathematics . 5: 2 : 285-309.
  9. ^ Peyton Jones, Simon L. (1987). La implementación de la programación funcional . Prentice Hall International.
  10. ^ Cutland, Nueva Jersey, Computabilidad: una introducción a la teoría de la función recursiva , Cambridge University Press, 1980. ISBN  0-521-29465-7
  11. ^ Los fundamentos de la verificación del programa , segunda edición, Jacques Loeckx y Kurt Sieber, John Wiley & Sons, ISBN  0-471-91282-4 , capítulo 4; el teorema 4.24, página 83, es lo que se usa en semántica denotacional, mientras que el teorema de Knaster-Tarski se da para demostrarlo como ejercicio 4.3-5 en la página 90.
  12. ^ Zagier, D. (1990), "Una prueba de una oración de que cada primo p  ≡ 1 (mod 4) es una suma de dos cuadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi : 10.2307 / 2323918 , Señor  1041893.

Referencias

  • Agarwal, Ravi P .; Meehan, María; O'Regan, Donal (2001). Teoría y aplicaciones del punto fijo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80250-4.
  • Aksoy, Asuman ; Khamsi, Mohamed A. (1990). Métodos no estándar en la teoría del punto fijo . Springer Verlag. ISBN 0-387-97364-8.
  • Berinde, Vasile (2005). Aproximación iterativa de punto fijo . Springer Verlag. ISBN 978-3-540-72233-5.
  • Frontera, Kim C. (1989). Teoremas de punto fijo con aplicaciones a la economía y la teoría de juegos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38808-2.
  • Kirk, William A .; Goebel, Kazimierz (1990). Temas de la teoría del punto fijo métrico . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38289-0.
  • Kirk, William A .; Khamsi, Mohamed A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . John Wiley, Nueva York. ISBN 978-0-471-41825-2.
  • Kirk, William A .; Sims, Brailey (2001). Manual de teoría del punto fijo métrico . Springer-Verlag. ISBN 0-7923-7073-2.
  • Šaškin, Jurij A; Minachin, Viktor; Mackey, George W. (1991). Puntos fijos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-9000-X.

enlaces externos