Evento (teoría de la probabilidad) - Event (probability theory)

En la teoría de la probabilidad , un evento es un conjunto de resultados de un experimento (un subconjunto del espacio muestral ) al que se le asigna una probabilidad. Un solo resultado puede ser un elemento de muchos eventos diferentes, y los diferentes eventos en un experimento generalmente no son igualmente probables, ya que pueden incluir grupos de resultados muy diferentes. Un evento que consta de un solo resultado se llama evento elemental o evento atómico ; es decir, es un conjunto singleton . Se dice que un evento ocurre si contiene el resultado del experimento (o ensayo) (es decir, si ). La probabilidad (con respecto a alguna medida de probabilidad ) de que ocurra un evento es la probabilidad que contiene el resultado de un experimento (es decir, es la probabilidad de que ). Un evento define un evento complementario , es decir, el conjunto complementario (el evento que no ocurre), y juntos definen un ensayo de Bernoulli : ¿ocurrió el evento o no? ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x \ in S}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x \ in S}$

Normalmente, cuando el espacio muestral es finito, cualquier subconjunto del espacio muestral es un evento (es decir, todos los elementos del conjunto de potencias del espacio muestral se definen como eventos). Sin embargo, este enfoque no funciona bien en los casos en que el espacio muestral es incontablemente infinito . Entonces, al definir un espacio de probabilidad , es posible, y a menudo necesario, excluir ciertos subconjuntos del espacio muestral de ser eventos (ver Eventos en espacios de probabilidad , más adelante).

Un simple ejemplo

Si armamos una baraja de 52 cartas sin comodines y robamos una sola carta de la baraja, entonces el espacio muestral es un conjunto de 52 elementos, ya que cada carta es un resultado posible. Sin embargo, un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral, incluido cualquier conjunto único (un evento elemental ), el conjunto vacío (un evento imposible, con probabilidad cero) y el espacio muestral en sí mismo (un evento determinado, con probabilidad uno). Otros eventos son subconjuntos propios del espacio muestral que contienen múltiples elementos. Entonces, por ejemplo, los eventos potenciales incluyen:

Un diagrama de Euler de un evento. es el espacio muestral y es un evento. Por la razón de sus áreas, la probabilidad de es aproximadamente 0.4.

{\ Displaystyle B}

{\ Displaystyle A}

{\ Displaystyle A}

"Rojo y negro al mismo tiempo sin ser un bromista" (0 elementos),
"El 5 de Corazones" (1 elemento),
"A King" (4 elementos),
"A Face card" (12 elementos),
"A Spade" (13 elementos),
"Una figura o un traje rojo" (32 elementos),
"Una carta" (52 elementos).

Dado que todos los eventos son conjuntos, generalmente se escriben como conjuntos (por ejemplo, {1, 2, 3}) y se representan gráficamente mediante diagramas de Venn . En la situación en la que cada resultado en el espacio muestral Ω es igualmente probable, la probabilidad de un evento es la siguiente ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle A}$ fórmula :

{\ Displaystyle \ mathrm {P} (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \, \ \ left ({\ text {alternativamente:}} \ \ Pr (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} \ right)}

Esta regla se puede aplicar fácilmente a cada uno de los eventos de ejemplo anteriores.

Eventos en espacios de probabilidad

Definir todos los subconjuntos del espacio muestral como eventos funciona bien cuando solo hay un número finito de resultados, pero da lugar a problemas cuando el espacio muestral es infinito. Para muchas distribuciones de probabilidad estándar , como la distribución normal , el espacio muestral es el conjunto de números reales o algún subconjunto de números reales . Los intentos de definir probabilidades para todos los subconjuntos de los números reales se topan con dificultades cuando se consideran conjuntos con "mal comportamiento" , como los que no son medibles . Por lo tanto, es necesario restringir la atención a una familia de subconjuntos más limitada. Para que funcionen las herramientas estándar de la teoría de la probabilidad, como las probabilidades conjuntas y condicionales , es necesario utilizar un σ-álgebra , es decir, una familia cerrada bajo complementación y uniones contables de sus miembros. La elección más natural de σ-álgebra es el conjunto medible de Borel derivado de uniones e intersecciones de intervalos. Sin embargo, la clase más amplia de conjuntos medibles de Lebesgue resulta más útil en la práctica.

En la descripción general de la teoría de medidas de los espacios de probabilidad , un evento puede definirse como un elemento de un 𝜎-álgebra seleccionada de subconjuntos del espacio muestral. Según esta definición, cualquier subconjunto del espacio muestral que no sea un elemento del álgebra 𝜎 no es un evento y no tiene probabilidad. Sin embargo, con una especificación razonable del espacio de probabilidad, todos los eventos de interés son elementos del 𝜎-álgebra.

Una nota sobre la notación

Aunque los eventos son subconjuntos de algún espacio muestral , a menudo se escriben como predicados o indicadores que involucran variables aleatorias . Por ejemplo, si es una variable aleatoria de valor real definida en el espacio muestral, el evento ${\ Displaystyle \ Omega,}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Omega,}$