Evento complementario - Complementary event

Parte de una serie de estadísticas
Teoría de probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Salir único Experimentar Juicio de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución normal Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Cadena de Markov Valor observado Caminata aleatoria Proceso estocástico
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal La probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes La desigualdad de Boole
diagrama de Venn Diagrama de árbol
v t mi

En la teoría de la probabilidad , el complemento de cualquier evento A es el evento [no  A ], es decir, el evento en el que A no ocurre. El evento A y su complemento [no  A ] son mutuamente excluyentes y exhaustivos . Generalmente, solo hay un evento B de manera que A y B son mutuamente excluyentes y exhaustivos; evento que es el complemento de A . El complemento de un evento A generalmente se denota como A ' , A ^c , A o A . Dado un evento, el evento y su evento complementario definen un juicio de Bernoulli : ¿el evento ocurrió o no? ${\ Displaystyle \ neg}$

Por ejemplo, si se lanza una moneda típica y se supone que no puede caer sobre su borde, entonces puede caer mostrando "cara" o "cruz". Debido a que estos dos resultados son mutuamente excluyentes (es decir, la moneda no puede mostrar simultáneamente cara y cruz) y colectivamente exhaustivos (es decir, no hay otros resultados posibles que no estén representados entre estos dos), por lo tanto, se complementan mutuamente. Esto significa que [cara] es lógicamente equivalente a [no cruz], y [cruz] es equivalente a [no cara].

Regla de complemento

En un experimento aleatorio , las probabilidades de todos los eventos posibles (el espacio muestral ) deben sumar 1, es decir, debe ocurrir algún resultado en cada ensayo. Para que dos eventos sean complementarios, deben ser colectivamente exhaustivos , llenando en conjunto todo el espacio muestral. Por lo tanto, la probabilidad del complemento de un evento debe ser la unidad menos la probabilidad del evento. Es decir, para un evento A ,

${\ Displaystyle P (A ^ {c}) = 1-P (A).}$

De manera equivalente, las probabilidades de un evento y su complemento siempre deben sumar 1. Sin embargo, esto no significa que dos eventos cualesquiera cuyas probabilidades sumen 1 sean complementarios entre sí; Los eventos complementarios también deben cumplir la condición de exclusividad mutua .

Ejemplo de la utilidad de este concepto

Suponga que uno lanza un dado ordinario de seis caras ocho veces. ¿Cuál es la probabilidad de que uno vea un "1" al menos una vez?

Puede resultar tentador decir que

Pr (["1" en la primera prueba] o ["1" en la segunda prueba] o ... o ["1" en la octava prueba])

= Pr ("1" en la primera prueba) + Pr ("1" en la segunda prueba) + ... + P ("1" en la octava prueba)

= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

= 8/6

= 1.3333 ...

Este resultado no puede ser correcto porque una probabilidad no puede ser mayor que 1. La técnica es incorrecta porque los ocho eventos cuyas probabilidades se sumaron no son mutuamente excluyentes.

Se puede resolver esta superposición mediante el principio de inclusión-exclusión o, en este caso, simplemente encontrando la probabilidad del evento complementario y restándola de 1, así:

Pr (al menos un "1") = 1 - Pr (no "1" s)

= 1 - Pr ([no "1" en la 1ª prueba] y [no "1" en la 2ª prueba] y ... y [no "1" en la 8ª prueba])

= 1 - Pr (no "1" en la primera prueba) × Pr (no "1" en la segunda prueba) × ... × Pr (no "1" en la octava prueba)

= 1 - (5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

= 1 - (5/6) ⁸

= 0,7674 ...

Ver también

• Complemento lógico
• Disyunción exclusiva
• Probabilidad binomial

Referencias

enlaces externos

• Eventos complementarios - página (gratuita) del libro de probabilidades de McGraw-Hill