Producto Euler - Euler product

En teoría de números , un producto de Euler es una expansión de una serie de Dirichlet en un producto infinito indexado por números primos . El producto original de este tipo se dio por la suma de todos los números enteros positivos elevados a una determinada potencia, como lo demostró Leonhard Euler . Esta serie y su continuación a todo el plano complejo se conocería más tarde como la función zeta de Riemann .

Definición

En general, si a es una función multiplicativa acotada , entonces la serie de Dirichlet

${\ Displaystyle \ sum _ {n} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} \,}$

es igual a

${\ Displaystyle \ prod _ {p} P (p, s) \ quad {\ text {para}} \ operatorname {Re} (s)> 1.}$

donde el producto se toma sobre los números primos p , y P ( p , s ) es la suma

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a (p ^ {k})} {p ^ {ks}}} = 1 + {\ frac {a (p)} { p ^ {s}}} + {\ frac {a (p ^ {2})} {p ^ {2s}}} + {\ frac {a (p ^ {3})} {p ^ {3s}} } + \ cdots}$

De hecho, si las consideramos como funciones generadoras formales , la existencia de tal expansión formal del producto de Euler es una condición necesaria y suficiente para que a ( n ) sea ​​multiplicativo: esto dice exactamente que a ( n ) es el producto de a ( p ^k ) siempre que n factores como el producto de las potencias p ^k de primos distintos p .

Un caso especial importante es aquel en el que a ( n ) es totalmente multiplicativo , de modo que P ( p , s ) es una serie geométrica . Luego

${\ Displaystyle P (p, s) = {\ frac {1} {1 - {\ frac {a (p)} {p ^ {s}}}}},}$

como es el caso de la función zeta de Riemann , donde a ( n ) = 1 , y más generalmente para los caracteres de Dirichlet .

Convergencia

En la práctica, todos los casos importantes son tales que las series infinitas y las expansiones infinitas de productos son absolutamente convergentes en alguna región.

${\ Displaystyle \ operatorname {Re} (s)> C,}$

es decir, en algún semiplano derecho de los números complejos. Esto ya da alguna información, ya que el producto infinito, para converger, debe dar un valor distinto de cero; por tanto, la función dada por la serie infinita no es cero en tal semiplano.

En la teoría de formas modulares es típico tener aquí productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios de grado my la teoría de representación para GL _m .

Ejemplos de

Los siguientes ejemplos usarán la notación para el conjunto de todos los primos, es decir: ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} = \ {p \ in N \, | \, p {\ text {es primo}} \}.}$

El producto de Euler adjunto a la función zeta de Riemann ζ ( s ) , también usando la suma de la serie geométrica, es

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left ({\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {p ^ {s} }}}} \ right) & = \ prod _ {p \ \ in \ \ mathbb {P}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p ^ { ks}}} \ right) \\ & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ zeta (s). \ end {alineado} }}$

mientras que para la función de Liouville λ ( n ) = (−1) ^{ω ( n )} , es

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left ({\ frac {1} {1 + {\ frac {1} {p ^ {s}}}}} \ right ) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s) }}.}$

Usando sus recíprocos, dos productos de Euler para la función de Möbius μ ( n ) son

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {s}}} \ right) = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}}}$

y

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left (1 + {\ frac {1} {p ^ {s}}} \ right) = \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}}.}$

Tomando la proporción de estos dos da

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left ({\ frac {1 + {\ frac {1} {p ^ {s}}}} {1 - {\ frac {1} {p ^ {s}}}}} \ right) = \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left ({\ frac {p ^ {s} +1} { p ^ {s} -1}} \ right) = {\ frac {\ zeta (s) ^ {2}} {\ zeta (2s)}}.}$

Dado que para valores pares de s la función zeta de Riemann ζ ( s ) tiene una expresión analítica en términos de un múltiplo racional de π ^s , entonces para exponentes pares, este producto infinito se evalúa como un número racional. Por ejemplo, dado que ζ (2) = π ²/6, ζ (4) =π ⁴/90y ζ (8) =π ⁸/9450, luego

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left ({\ frac {p ^ {2} +1} {p ^ {2} -1} } \ right) & = {\ frac {5} {3}} \ cdot {\ frac {10} {8}} \ cdot {\ frac {26} {24}} \ cdot {\ frac {50} {48 }} \ cdot {\ frac {122} {120}} \ cdots & = {\ frac {\ zeta (2) ^ {2}} {\ zeta (4)}} & = {\ frac {5} {2 }}, \\ [6pt] \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left ({\ frac {p ^ {4} +1} {p ^ {4} -1}} \ right) & = {\ frac {17} {15}} \ cdot {\ frac {82} {80}} \ cdot {\ frac {626} {624}} \ cdot {\ frac {2402} {2400} } \ cdots & = {\ frac {\ zeta (4) ^ {2}} {\ zeta (8)}} & = {\ frac {7} {6}}, \ end {alineado}}}$

y así sucesivamente, con el primer resultado conocido por Ramanujan . Esta familia de infinitos productos también equivale a

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left (1 + {\ frac {2} {p ^ {s}}} + {\ frac {2} {p ^ { 2s}}} + \ cdots \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {\ omega (n)}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) ^ {2}} {\ zeta (2s)}},}$

donde ω ( n ) cuenta el número de factores primos distintos de n , y 2 ^{ω ( n )} es el número de divisores libres de cuadrados .

Si χ ( n ) es un carácter de Dirichlet del conductor N , de modo que χ es totalmente multiplicativo y χ ( n ) solo depende de n mod N , y χ ( n ) = 0 si n no es coprime a N , entonces

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ chi (p)} {p ^ {s}}}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}}.}$

Aquí es conveniente omitir los números primos p que dividen el conductor N del producto. En sus cuadernos, Ramanujan generalizó el producto de Euler para la función zeta como

${\ Displaystyle \ prod _ {p \, \ in \, \ mathbb {P}} \ left (x - {\ frac {1} {p ^ {s}}} \ right) \ approx {\ frac {1} {\ operatorname {Li} _ {s} (x)}}}$

para s > 1 donde Li _s ( x ) es el polilogaritmo . Para x = 1, el producto anterior es solo1/ζ ( s ).

Constantes notables

Muchas constantes bien conocidas tienen expansiones de productos de Euler.

La fórmula de Leibniz para π

${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1- {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots}$

se puede interpretar como una serie de Dirichlet utilizando el carácter de Dirichlet (único) módulo 4, y convertirse en un producto de Euler de proporciones superparticulares (fracciones en las que el numerador y el denominador difieren en 1):

${\ Displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ left (\ prod _ {p \ equiv 1 {\ pmod {4}}} {\ frac {p} {p-1}} \ right) \ izquierda (\ prod _ {p \ equiv 3 {\ pmod {4}}} {\ frac {p} {p + 1}} \ right) = {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac { 5} {4}} \ cdot {\ frac {7} {8}} \ cdot {\ frac {11} {12}} \ cdot {\ frac {13} {12}} \ cdots,}$

donde cada numerador es un número primo y cada denominador es el múltiplo de 4 más cercano.

Otros productos de Euler para constantes conocidas incluyen:

• La constante prima gemela de Hardy-Littlewood :

${\ Displaystyle \ prod _ {p> 2} \ left (1 - {\ frac {1} {\ left (p-1 \ right) ^ {2}}} \ right) = 0,660161 ...}$

• La constante de Landau-Ramanujan :

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ pi} {4}} \ prod _ {p \ equiv 1 {\ pmod {4}}} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} & = 0.764223 ... \\ [6pt] {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ prod _ {p \ equiv 3 {\ pmod {4}}} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {2}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} & = 0,764223. .. \ end {alineado}}}$

• Constante de Murata (secuencia A065485 en la OEIS ):

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {\ left (p-1 \ right) ^ {2}}} \ right) = 2.826419 ...}$

• La constante fuertemente despreocupada × ζ (2) ² OEIS :  A065472 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {1} {\ left (p + 1 \ right) ^ {2}}} \ right) = 0,775883 ...}$

• OEIS constante de Artin :  A005596 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {1} {p (p-1)}} \ right) = 0.373955 ...}$

• OEIS de la constante totient de Landau :  A082695 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {p (p-1)}} \ right) = {\ frac {315} {2 \ pi ^ {4}}} \ zeta (3) = 1,943596 ...}$

• La constante despreocupada × ζ (2) OEIS :  A065463 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {1} {p (p + 1)}} \ right) = 0,704442 ...}$

y su OEIS recíproco :  A065489 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {p ^ {2} + p-1}} \ right) = 1.419562 ...}$

• La constante de Feller-Tornier OEIS :  A065493 :

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {2} {p ^ {2}}} \ derecha) = 0.661317 ...}$

• La constante de número de clase cuadrática OEIS :  A065465 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {1} {p ^ {2} (p + 1)}} \ right) = 0,881513 ...}$

• La constante sumatoria totient OEIS :  A065483 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {p ^ {2} (p-1)}} \ right) = 1.339784 ...}$

• OEIS constante de Sarnak :  A065476 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p> 2} \ left (1 - {\ frac {p + 2} {p ^ {3}}} \ right) = 0,723648 ...}$

• La constante despreocupada OEIS :  A065464 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {2p-1} {p ^ {3}}} \ right) = 0,428249 ...}$

• La constante OEIS fuertemente despreocupada :  A065473 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {3p-2} {p ^ {3}}} \ right) = 0,286747 ...}$

• OEIS constante de Stephens :  A065478 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {p} {p ^ {3} -1}} \ right) = 0.575959 ...}$

• OEIS constante de Barban :  A175640 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {3p ^ {2} -1} {p (p + 1) \ left (p ^ {2} -1 \ right)}} \ right ) = 2,596536 ...}$

• OEIS constante de Taniguchi :  A175639 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {3} {p ^ {3}}} + {\ frac {2} {p ^ {4}}} + {\ frac {1} {p ^ {5}}} - {\ frac {1} {p ^ {6}}} \ right) = 0.678234 ...}$

• La constante de Heath-Brown y Moroz OEIS :  A118228 :

${\ Displaystyle \ prod _ {p} \ left (1 - {\ frac {1} {p}} \ right) ^ {7} \ left (1 + {\ frac {7p + 1} {p ^ {2} }} \ right) = 0.0013176 ...}$

Notas

Referencias

enlaces externos