Dualidad (teoría del orden) - Duality (order theory)
En el área matemática de la teoría del orden , cada conjunto P parcialmente ordenado da lugar a un conjunto parcialmente ordenado dual (o opuesto ) que a menudo se denota por P op o P d . Esta doble orden P op se define para ser el mismo conjunto, pero con el orden inverso , es decir, x ≤ y sostiene en P op si y sólo si y ≤ x sostiene en P . Es fácil ver que esta construcción, que se puede representar volteando el diagrama de Hasse para P al revés, de hecho producirá un conjunto parcialmente ordenado. En un sentido más amplio, también se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son duales si son duales isomórficos , es decir, si un conjunto poset es de orden isomórfico al dual del otro.
La importancia de esta simple definición se deriva del hecho de que cada definición y teorema de la teoría del orden se puede transferir fácilmente al orden dual. Formalmente, esto es capturado por el principio de dualidad para conjuntos ordenados:
- Si una declaración dada es válida para todos los conjuntos parcialmente ordenados, entonces su declaración dual, obtenida invirtiendo la dirección de todas las relaciones de orden y dualizando todas las definiciones teóricas de orden involucradas, también es válida para todos los conjuntos parcialmente ordenados.
Si un enunciado o definición es equivalente a su dual, se dice que es auto-dual . Tenga en cuenta que la consideración de órdenes duales es tan fundamental que a menudo ocurre implícitamente cuando se escribe ≥ para el orden dual de ≤ sin dar ninguna definición previa de este "nuevo" símbolo.
Ejemplos de
Naturalmente, hay una gran cantidad de ejemplos de conceptos que son duales:
- Elementos más grandes y elementos mínimos
- Elementos máximos y elementos mínimos
- Límites mínimos superiores (suprema, ∨) y límites inferiores máximos (infima, ∧)
- Conjuntos superiores y conjuntos inferiores
- Ideales y filtros
- Operadores de cierre y operadores de kernel .
Ejemplos de nociones que son auto-duales incluyen:
- Siendo una celosía ( completa )
- Monotonicidad de funciones
- La distributividad de las celosías , es decir, las celosías para las que se cumple ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) son exactamente aquellas para las que se cumple el enunciado dual ∀ x , y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) se cumple
- Ser un álgebra de Boole
- Siendo un isomorfismo de orden .
Dado que los órdenes parciales son antisimétricos , los únicos que son auto-duales son las relaciones de equivalencia .
Ver también
- Relación inversa
- Lista de temas de álgebra de Boole
- Transponer gráfico
- La dualidad en la teoría de categorías , de la cual la teoría de la dualidad en el orden es un caso especial
Referencias
- Davey, BA; Priestley, HA (2002), Introducción a las celosías y el orden (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1