Número complejo dual - Dual-complex number

Multiplicación de doble complejo

${\ Displaystyle \ times}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle \ varepsilon j}$	${\ Displaystyle \ varepsilon k}$
${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle \ varepsilon j}$	${\ Displaystyle \ varepsilon k}$
${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle i}$	${\ Displaystyle -1}$	${\ Displaystyle \ varepsilon k}$	${\ Displaystyle - \ varepsilon j}$
${\ Displaystyle \ varepsilon j}$	${\ Displaystyle \ varepsilon j}$	${\ Displaystyle - \ varepsilon k}$	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle 0}$
${\ Displaystyle \ varepsilon k}$	${\ Displaystyle \ varepsilon k}$	${\ Displaystyle \ varepsilon j}$	${\ Displaystyle 0}$	${\ Displaystyle 0}$

Los números complejos duales forman un álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales . Su aplicación principal es la representación de movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 2D.

A diferencia de la multiplicación de números duales o de números complejos , la de números complejos duales no es conmutativa .

Definición

En este artículo, se denota el conjunto de números complejos duales . Un elemento general de tiene la forma donde , , y son números reales; es un número dual que cuadra a cero; y , y son los elementos básicos estándar de los cuaterniones . ${\ Displaystyle \ mathbb {DC}}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle \ mathbb {DC}}$${\ estilo de texto A + Bi + C \ varepsilon j + D \ varepsilon k}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle k}$

La multiplicación se realiza de la misma forma que con los cuaterniones, pero con la regla adicional que es nilpotente de índice , es decir , que en algunas circunstancias hace comparable a un número infinitesimal . De ello se deduce que las inversas multiplicativas de números complejos duales están dadas por ${\ textstyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle 2}$${\ textstyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$${\ textstyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle (A + Bi + C \ varepsilon j + D \ varepsilon k) ^ {- 1} = {\ frac {A-Bi-C \ varepsilon jD \ varepsilon k} {A ^ {2} + B ^ { 2}}}}$

El conjunto forma una base del espacio vectorial de números complejos duales, donde los escalares son números reales. ${\ Displaystyle \ {1, i, \ varepsilon j, \ varepsilon k \}}$

La magnitud de un número complejo dual se define como${\ Displaystyle q}$

Para aplicaciones en gráficos por computadora, el número se representa comúnmente como la tupla de 4 . ${\ Displaystyle A + Bi + C \ varepsilon j + D \ varepsilon k}$ ${\ Displaystyle (A, B, C, D)}$

Representación matricial

Un número complejo dual tiene la siguiente representación como una matriz compleja de 2x2: ${\ Displaystyle q = A + Bi + C \ varepsilon j + D \ varepsilon k}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A + Bi & C + Di \\ 0 & A-Bi \ end {pmatrix}}.}$

También se puede representar como una matriz numérica dual 2x2:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A + C \ epsilon & -B + D \ epsilon \\ B + D \ epsilon & A-C \ epsilon \ end {pmatrix}}.}$

Las dos representaciones matriciales anteriores están relacionadas con las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Laguerre, respectivamente.

Terminología

El álgebra discutido en este artículo a veces se llama números complejos duales . Este puede ser un nombre engañoso porque sugiere que el álgebra debería tomar la forma de:

1. Los números duales, pero con entradas de números complejos
2. Los números complejos, pero con entradas de dos números

Existe un álgebra que cumple con cualquiera de las descripciones. Y ambas descripciones son equivalentes. (Esto se debe al hecho de que el producto tensorial de las álgebras es conmutativo hasta el isomorfismo ). Esta álgebra se puede denotar usando cociente de anillos . El álgebra resultante tiene un producto conmutativo y no se analiza más. ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2})}$

Representando movimientos de cuerpos rígidos

Dejar

ser un número complejo dual de longitud unitaria, es decir, debemos tener que

El plano euclidiano se puede representar mediante el conjunto . ${\ estilo de texto \ Pi = \ {i + x \ varepsilon j + y \ varepsilon k \ mid x \ in \ mathbb {R}, y \ in \ mathbb {R} \}}$

Un elemento en representa el punto en el plano euclidiano con coordenada cartesiana . ${\ Displaystyle v = i + x \ varepsilon j + y \ varepsilon k}$${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle (x, y)}$

${\ Displaystyle q}$se puede hacer para actuar sobre por${\ Displaystyle v}$

que se asigna a otro punto en . ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle \ Pi}$

Tenemos las siguientes formas polares (múltiples) para : ${\ Displaystyle q}$

1. Cuando , el elemento se puede escribir como${\ Displaystyle B \ neq 0}$${\ Displaystyle q}$
   $${\ Displaystyle \ cos (\ theta / 2) + \ sin (\ theta / 2) (i + x \ varepsilon j + y \ varepsilon k),}$$

   
   que denota una rotación de ángulo alrededor del punto .${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle (x, y)}$
2. Cuando , el elemento se puede escribir como${\ Displaystyle B = 0}$${\ Displaystyle q}$
   $${\ displaystyle {\ begin {alineado} & 1 + i (x \ varepsilon j + y \ varepsilon k) \\ = {} & 1-y \ varepsilon j + x \ varepsilon k, \ end {alineado}}}$$

   
   que denota una traducción por vector ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}.}$

Construcción geométrica

Se puede encontrar una construcción basada en principios de los números complejos duales al notar primero que son un subconjunto de los cuaterniones duales .

Hay dos interpretaciones geométricas de los cuaterniones duales , las cuales pueden usarse para derivar la acción de los números complejos duales en el plano:

• Como una forma de representar movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 3D . Entonces se puede ver que los números de complejo dual representan un subconjunto de esos movimientos de cuerpo rígido. Esto requiere cierta familiaridad con la forma en que actúan los cuaterniones duales en el espacio euclidiano. No describiremos este enfoque aquí, ya que se hace adecuadamente en otros lugares .
• Los cuaterniones duales pueden entenderse como un "engrosamiento infinitesimal" de los cuaterniones. Recuerde que los cuaterniones se pueden usar para representar rotaciones espaciales en 3D , mientras que los números duales se pueden usar para representar " infinitesimales ". La combinación de esas características permite que las rotaciones se varíen infinitesimalmente. Dejado denotar un plano infinitesimal acostado en la esfera unidad, equivalente a . Observe que es un subconjunto de la esfera, a pesar de ser plano (esto es gracias al comportamiento de los infinitesimales de número dual).${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ {i + x \ varepsilon j + y \ varepsilon k \ mid x \ in \ mathbb {R}, y \ in \ mathbb {R} \}}$${\ Displaystyle \ Pi}$

Observe entonces que como un subconjunto de los cuaterniones duales, los números complejos duales rotan el plano sobre sí mismo. El efecto que esto tiene depende del valor de en :${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle v \ in \ Pi}$${\ Displaystyle q = A + Bi + C \ varepsilon j + D \ varepsilon k}$${\ displaystyle qvq ^ {- 1}}$

1. Cuando , el eje de rotación apunta hacia algún punto en , de modo que los puntos en experimentan una rotación alrededor .${\ Displaystyle B \ neq 0}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle p}$
2. Cuando , el eje de rotación apunta en dirección opuesta al plano, siendo el ángulo de rotación infinitesimal. En este caso, los puntos experimentan una traducción.${\ Displaystyle B = 0}$${\ Displaystyle \ Pi}$

Ver también

• Estudio Eduard
• Cuaterniones
• Números duales
• Cuaterniones duales
• Álgebra de Clifford
• Isometría del plano euclidiano
• Transformacion afin
• Plano proyectivo
• Coordenadas homogéneas
• SLERP
• Álgebra geométrica conformada

Referencias