Teorema de la desintegración - Disintegration theorem

En matemáticas , el teorema de la desintegración es un resultado en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad . Define rigurosamente la idea de una "restricción" no trivial de una medida a un subconjunto cero de medida del espacio de medida en cuestión. Está relacionado con la existencia de medidas de probabilidad condicionadas . En cierto sentido, la "desintegración" es el proceso opuesto a la construcción de una medida de producto .

Motivación

Considere el cuadrado unitario en el plano euclidiano R ² , S = [0, 1] × [0, 1] . Tenga en cuenta la medida de probabilidad μ definida en S por la restricción de bidimensional medida de Lebesgue lambda ² a S . Es decir, la probabilidad de un suceso E ⊆ S es simplemente el área de E . Suponemos E es un subconjunto medible de S .

Considere un subconjunto unidimensional de S como el segmento de línea L _x = { x } × [0, 1]. L _x tiene medida μ cero; cada subconjunto de L _x es un conjunto μ- nulo ; dado que el espacio de medida de Lebesgue es un espacio de medida completo ,

{\ Displaystyle E \ subseteq L_ {x} \ implica \ mu (E) = 0.}

Si bien es cierto, esto es algo insatisfactorio. Sería bueno decir que μ "restringido a" L _x es la medida de Lebesgue unidimensional λ ¹ , en lugar de la medida cero . La probabilidad de un evento "bidimensional" E podría obtenerse entonces como una integral de las probabilidades unidimensionales de los "cortes" verticales E ∩ L _x : más formalmente, si μ _x denota una medida de Lebesgue unidimensional en L _x , luego

{\ Displaystyle \ mu (E) = \ int _ {[0,1]} \ mu _ {x} (E \ cap L_ {x}) \, \ mathrm {d} x}

para cualquier E ⊆ S "agradable" . El teorema de la desintegración hace que este argumento sea riguroso en el contexto de medidas en espacios métricos .

Declaración del teorema

(De ahora en adelante, P ( X ) denotará la colección de medidas de probabilidad de Borel en un espacio métrico ( X , d )). Los supuestos del teorema son los siguientes:

Sean Y y X dos espacios de radón (es decir, un espacio topológico tal que cada medida de probabilidad de Borel en M es regular interior, p. Ej., Espacios métricos separables en los que cada medida de probabilidad es una medida de radón ).
Sea μ ∈ P ( Y ).
Sea π: Y → X una función medible de Borel . Aquí uno debería pensar en π como una función para "desintegrar" Y , en el sentido de dividir Y en . Por ejemplo, para el ejemplo motivador anterior, se puede definir , lo que da eso , una porción que queremos capturar. ${\ Displaystyle \ {\ pi ^ {- 1} (x) \ | \ x \ in X \}}$ ${\ Displaystyle \ pi ((a, b)) = a, (a, b) \ in [0,1] \ times [0,1]}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (a) = a \ times [0,1]}$
Sea ∈ P ( X ) la medida de avance ν = π _∗ (μ) = μ ∘ π ⁻¹ . Esta medida proporciona la distribución de x (que corresponde a los eventos ). ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (x)}$

La conclusión del teorema: existe una - casi en todas partes una familia de medidas de probabilidad determinadas de forma única {μ _x } _x_∈_X ⊆ P ( Y ), que proporciona una "desintegración" de en , tal que: ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ {\ mu _ {x} \} _ {x \ in X}}$

la función es Borel medible, en el sentido de que es una función Borel medible para cada conjunto Borel medible B ⊆ Y ; ${\ Displaystyle x \ mapsto \ mu _ {x}}$ ${\ Displaystyle x \ mapsto \ mu _ {x} (B)}$
μ _x "vive en" la fibra π ⁻¹ ( x ): para - casi todo x ∈ X , ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {x} \ left (Y \ setminus \ pi ^ {- 1} (x) \ right) = 0,}$ y entonces μ _x ( E ) = μ _x ( E ∩ π ⁻¹ ( x ));
para cada función medible de Borel f : Y → [0, ∞], ${\ Displaystyle \ int _ {Y} f (y) \, \ mathrm {d} \ mu (y) = \ int _ {X} \ int _ {\ pi ^ {- 1} (x)} f (y ) \, \ mathrm {d} \ mu _ {x} (y) \ mathrm {d} \ nu (x).}$ En particular, para cualquier evento E ⊆ Y , tomando f como función indicadora de E , ${\ Displaystyle \ mu (E) = \ int _ {X} \ mu _ {x} \ left (E \ right) \, \ mathrm {d} \ nu (x).}$

Aplicaciones

Espacios de productos

El ejemplo original fue un caso especial del problema de los espacios de productos, al que se aplica el teorema de la desintegración.

Cuando Y se escribe como un producto cartesiano Y = X ₁ × X ₂ y π _i : Y → X _i es la proyección natural , entonces cada fibra π ₁⁻¹ ( x ₁ ) puede identificarse canónicamente con X ₂ y existe una Familia de Borel de medidas de probabilidad en P ( X ₂ ) (que es (π ₁ ) _∗ (μ) -casi en todas partes determinado de forma única) tal que ${\ Displaystyle \ {\ mu _ {x_ {1}} \} _ {x_ {1} \ in X_ {1}}}$

{\ Displaystyle \ mu = \ int _ {X_ {1}} \ mu _ {x_ {1}} \, \ mu \ left (\ pi _ {1} ^ {- 1} (\ mathrm {d} x_ { 1}) \ right) = \ int _ {X_ {1}} \ mu _ {x_ {1}} \, \ mathrm {d} (\ pi _ {1}) _ {*} (\ mu) (x_ {1}),}

que es en particular

{\ Displaystyle \ int _ {X_ {1} \ times X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) \, \ mu (\ mathrm {d} x_ {1}, \ mathrm {d} x_ {2}) = \ int _ {X_ {1}} \ left (\ int _ {X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) \ mu (\ mathrm {d} x_ {2 } | x_ {1}) \ right) \ mu \ left (\ pi _ {1} ^ {- 1} (\ mathrm {d} x_ {1}) \ right)}

y

{\ Displaystyle \ mu (A \ times B) = \ int _ {A} \ mu \ left (B | x_ {1} \ right) \, \ mu \ left (\ pi _ {1} ^ {- 1} (\ mathrm {d} x_ {1}) \ derecha).}

La relación con la expectativa condicional está dada por las identidades

{\ Displaystyle \ operatorname {E} (f | \ pi _ {1}) (x_ {1}) = \ int _ {X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) \ mu (\ mathrm {d} x_ {2} | x_ {1}),}

{\ Displaystyle \ mu (A \ times B | \ pi _ {1}) (x_ {1}) = 1_ {A} (x_ {1}) \ cdot \ mu (B | x_ {1}).}

Cálculo vectorial

También se puede considerar que el teorema de la desintegración justifica el uso de una medida "restringida" en el cálculo vectorial . Por ejemplo, en el teorema de Stokes aplicado a un campo vectorial que fluye a través de una superficie compacta Σ ⊂ R ³ , está implícito que la medida "correcta" en Σ es la desintegración de la medida tridimensional de Lebesgue λ ³ en Σ, y que la desintegración de esta medida en ∂Σ es la misma que la desintegración de λ ³ en ∂Σ.

Distribuciones condicionales

El teorema de la desintegración se puede aplicar para dar un tratamiento riguroso de las distribuciones de probabilidad condicional en estadística, evitando al mismo tiempo formulaciones puramente abstractas de probabilidad condicional.

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