Modelo Debye - Debye model

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Conjuntos termodinámicos NVE microcanónico NVT Canonical µVT Gran canónico NPH isoentálpico-isobárico NPT isotermo-isobárico
Modelos Debye Einstein Yo canto Potts
Potenciales Energía interna Entalpía Energía libre de Helmholtz Energía libre de Gibbs Gran potencial / energía libre de Landau
Científicos Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose
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En termodinámica y física del estado sólido , el modelo Debye es un método desarrollado por Peter Debye en 1912 para estimar la contribución del fonón al calor específico (capacidad calorífica) en un sólido . Trata las vibraciones de la red atómica (calor) como fonones en una caja, en contraste con el modelo de Einstein , que trata al sólido como muchos osciladores armónicos cuánticos individuales que no interactúan . El modelo de Debye predice correctamente la dependencia de la capacidad calorífica a baja temperatura, que es proporcional a la ley de Debye T ³ . Al igual que el modelo de Einstein , también recupera la ley de Dulong-Petit a altas temperaturas. Pero debido a la simplificación de los supuestos, su precisión se ve afectada a temperaturas intermedias. ${\ Displaystyle T ^ {3}}$

Derivación

El modelo de Debye es un equivalente en estado sólido de la ley de Planck de radiación de cuerpo negro , donde uno trata la radiación electromagnética como un gas fotónico . El modelo de Debye trata las vibraciones atómicas como fonones en una caja (la caja es el sólido). La mayoría de los pasos de cálculo son idénticos ya que ambos son ejemplos de un gas Bose sin masa con una relación de dispersión lineal .

Considere un cubo de lado . A partir de la partícula en un artículo de caja , los modos de resonancia de las perturbaciones sónicas dentro de la caja (considerando por ahora solo aquellos alineados con un eje) tienen longitudes de onda dadas por ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} = {2L \ over n} \ ,,}$

donde es un número entero. La energía de un fonón es ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle E_ {n} \ = h \ nu _ {n} \ ,,}$

donde es la constante de Planck y es la frecuencia del fonón. Haciendo la aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, tenemos ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle \ nu _ {n}}$

${\ Displaystyle E_ {n} = h \ nu _ {n} = {hc _ {\ rm {s}} \ over \ lambda _ {n}} = {hc_ {s} n \ over 2L} \ ,,}$

en el cual es la velocidad del sonido dentro del sólido. En tres dimensiones usaremos ${\ Displaystyle c_ {s}}$

${\ Displaystyle E_ {n} ^ {2} = {p_ {n} ^ {2} c _ {\ rm {s}} ^ {2}} = \ left ({hc _ {\ rm {s}} \ over 2L } \ right) ^ {2} \ left (n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} \ right) \ ,,}$

en el cual es la magnitud del momento tridimensional del fonón. ${\ Displaystyle p_ {n}}$

La aproximación de que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (dando una velocidad constante del sonido) es buena para los fonones de baja energía, pero no para los fonones de alta energía (ver el artículo sobre fonones ). Este desacuerdo es una de las limitaciones de la Debye y produce resultados incorrectos a temperaturas intermedias, mientras que en los límites de temperatura baja y alta los resultados son exactos.

Calculemos ahora la energía total en el cuadro,

${\ Displaystyle E = \ sum _ {n} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \ ,,}$

donde es el número de fonones en la caja con energía . En otras palabras, la energía total es igual a la suma de energía multiplicada por el número de fonones con esa energía (en una dimensión). En 3 dimensiones tenemos: ${\ Displaystyle {\ bar {N}} (E_ {n})}$${\ Displaystyle E_ {n}}$

${\ Displaystyle U = \ sum _ {n_ {x}} \ sum _ {n_ {y}} \ sum _ {n_ {z}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n} ) \ ,.}$

Aquí, el modelo de Debye y la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro difieren. A diferencia de la radiación electromagnética en una caja, hay un número finito de estados de energía de fonón porque un fonón no puede tener frecuencias arbitrariamente altas. Su frecuencia está limitada por el medio de su propagación: la red atómica del sólido. Considere una ilustración de un fonón transversal a continuación.

Es razonable suponer que la longitud de onda mínima de un fonón es el doble de la separación del átomo, como se muestra en la figura inferior. Hay átomos en un sólido. Nuestro sólido es un cubo, lo que significa que hay átomos por borde. La separación de átomos viene dada por , y la longitud de onda mínima es ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {N}}}$${\ Displaystyle L / {\ sqrt [{3}] {N}}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {min}} = {2L \ over {\ sqrt [{3}] {N}}} \ ,,}$

haciendo el número de modo máximo (infinito para fotones ) ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle n _ {\ rm {max}} = {\ sqrt [{3}] {N}} \ ,.}$

Este número limita el límite superior de la suma de energía triple

${\ Displaystyle U = \ sum _ {n_ {x}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ sum _ {n_ {y}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ suma _ {n_ {z}} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E_ {n} \, {\ bar {N}} (E_ {n}) \ ,.}$

Para funciones de variación lenta y buen comportamiento, una suma se puede reemplazar con una integral (también conocida como aproximación de Thomas-Fermi )

${\ Displaystyle U \ approx \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {\ bar {N}} \ left (E (n) \ right) \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \ ,.}$

Hasta ahora, no se ha mencionado el número de fonones con energía Los fonones obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein . Su distribución viene dada por la famosa fórmula de Bose-Einstein ${\ Displaystyle {\ bar {N}} (E)}$${\ Displaystyle E \ ,.}$

${\ Displaystyle \ langle N \ rangle _ {BE} = {1 \ over e ^ {E / kT} -1} \ ,.}$

Debido a que un fonón tiene tres posibles estados de polarización (uno longitudinal y dos transversales que aproximadamente no afectan su energía), la fórmula anterior debe multiplicarse por 3,

${\ displaystyle {\ bar {N}} (E) = {3 \ over e ^ {E / kT} -1} \ ,.}$

(En realidad, se utiliza una velocidad sónica efectiva , es decir, la temperatura de Debye (ver más abajo) es proporcional a , más precisamente , donde se distinguen las velocidades de ondas sonoras longitudinales y transversales (contribuciones 1/3 y 2/3, respectivamente). La temperatura Debye o la velocidad sónica efectiva es una medida de la dureza del cristal.) ${\ Displaystyle c_ {s}: = c _ {\ rm {eff}}}$${\ Displaystyle T _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle c _ {\ rm {eff}}}$${\ Displaystyle T _ {\ rm {D}} ^ {- 3} \ propto c _ {\ rm {eff}} ^ {- 3}: = (1/3) c _ {\ rm {long}} ^ {- 3 } + (2/3) c _ {\ rm {trans}} ^ {- 3}}$

Sustituyendo en la integral energética los rendimientos

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} \ int _ {0} ^ {\ sqrt [{3}] {N}} E (n) \, {3 \ sobre e ^ {E (n) / kT} -1} \, dn_ {x} \, dn_ {y} \, dn_ {z} \ ,.}$

La facilidad con la que se evalúan los fotones en estas integrales se debe al hecho de que la frecuencia de la luz, al menos de forma semiclásica, no está ligada. Como ilustra la figura anterior, esto no es cierto para los fonones . Para aproximar esta integral triple, Debye usó coordenadas esféricas

${\ Displaystyle \ (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}) = (n \ sin \ theta \ cos \ phi, n \ sin \ theta \ sin \ phi, n \ cos \ theta)}$

y aproximó el cubo en un octavo de esfera

${\ Displaystyle U \ approx \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {R} E (n) \, {3 \ over e ^ {E (n) / kT} -1} n ^ {2} \ sin \ theta \, dn \, d \ theta \, d \ phi \ ,,}$

donde es el radio de esta esfera, que se encuentra conservando el número de partículas en el cubo y en el octavo de una esfera. El volumen del cubo es volúmenes de celda unitaria, ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle N = {1 \ over 8} {4 \ over 3} \ pi R ^ {3} \ ,,}$

así que obtenemos

${\ Displaystyle R = {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} \ ,.}$

La sustitución de la integración sobre una esfera por la integral correcta introduce otra fuente de inexactitud en el modelo.

La integral de energía se vuelve

${\ Displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} \ int _ {0} ^ {R} \, {hc_ {s} n \ over 2L} {n ^ {2} \ over e ^ {hc _ {\ rm {s}} n / 2LkT} -1} \, dn}$

Cambiando la variable de integración a , ${\ Displaystyle x = {hc _ {\ rm {s}} n \ over 2LkT}}$

${\ Displaystyle U = {3 \ pi \ over 2} kT \ left ({2LkT \ over hc _ {\ rm {s}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {hc _ {\ rm { s}} R / 2LkT} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx}$

Para simplificar la apariencia de esta expresión, defina la temperatura de Debye ${\ Displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

${\ Displaystyle T _ {\ rm {D}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {hc _ {\ rm {s}} R \ over 2Lk} = {hc _ {\ rm {s} } \ over 2Lk} {\ sqrt [{3}] {6N \ over \ pi}} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2k} {\ sqrt [{3}] {{6 \ over \ pi } {N \ over V}}}}$

donde es el volumen de la caja cúbica de lado . ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle L}$

Muchas referencias describen la temperatura de Debye como una mera abreviatura de algunas constantes y variables dependientes del material. Sin embargo, como se muestra a continuación, es aproximadamente igual a la energía de fonón del modo de longitud de onda mínima, por lo que podemos interpretar la temperatura de Debye como la temperatura a la que se excita el modo de frecuencia más alta (y por lo tanto, todos los modos). ${\ Displaystyle kT _ {\ rm {D}}}$

Continuando, tenemos la energía interna específica:

${\ Displaystyle {\ frac {U} {Nk}} = 9T \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx = 3TD_ {3} \ left ({T _ {\ rm {D}} \ over T} \ right) \ ,,}$

donde está la (tercera) función de Debye . ${\ Displaystyle D_ {3} (x)}$

Diferenciando con respecto a obtenemos la capacidad calorífica adimensional: ${\ Displaystyle T}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} = 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T_ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx \ ,.}$

Estas fórmulas tratan el modelo de Debye a todas las temperaturas. Las fórmulas más elementales que se dan más abajo dan el comportamiento asintótico en el límite de bajas y altas temperaturas. Como ya se mencionó, este comportamiento es exacto, en contraste con el comportamiento intermedio. La razón esencial de la exactitud a bajas y altas energías, respectivamente, es que el modelo de Debye da (i) la relación de dispersión exacta a bajas frecuencias, y (ii) corresponde a la densidad exacta de estados , con respecto al número de vibraciones por frecuencia intervalo. ${\ Displaystyle E (\ nu)}$ ${\ Displaystyle (\ int g (\ nu) \, {\ rm {d \ nu}} \ equiv 3N) \,}$

Derivación de Debye

Debye derivó su ecuación de manera algo diferente y más simple. Usando la mecánica del continuo , encontró que el número de estados vibracionales con una frecuencia menor que un valor particular era asintótico para

${\ Displaystyle n \ sim {1 \ over 3} \ nu ^ {3} VF \ ,,}$

en el cual está el volumen y es un factor que calculó a partir de coeficientes de elasticidad y densidad. Combinando esta fórmula con la energía esperada de un oscilador armónico a temperatura T (ya utilizada por Einstein en su modelo) daría una energía de ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \ ,,}$

si las frecuencias vibratorias continuaran hasta el infinito. Esta forma da el comportamiento que es correcto a bajas temperaturas. Pero Debye se dio cuenta de que no podía haber más que estados vibratorios para N átomos. Hizo la suposición de que en un sólido atómico, el espectro de frecuencias de los estados vibracionales continuaría siguiendo la regla anterior, hasta una frecuencia máxima elegida para que el número total de estados sea : ${\ Displaystyle T ^ {3}}$${\ Displaystyle 3N}$${\ Displaystyle \ nu _ {m}}$${\ Displaystyle 3N}$

${\ Displaystyle 3N = {1 \ over 3} \ nu _ {m} ^ {3} VF \ ,.}$

Debye sabía que esta suposición no era realmente correcta (las frecuencias más altas están más espaciadas de lo que se suponía), pero garantiza el comportamiento adecuado a altas temperaturas (la ley de Dulong-Petit ). Entonces la energía viene dada por

${\ Displaystyle U = \ int _ {0} ^ {\ nu _ {m}} \, {h \ nu ^ {3} VF \ over e ^ {h \ nu / kT} -1} \, d \ nu \ ,,}$

${\ displaystyle = VFkT (kT / h) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1 } \, dx \ ,,}$

donde esta .${\ Displaystyle T _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle h \ nu _ {m} / k}$

${\ displaystyle = 9NkT (T / T _ {\ rm {D}}) ^ {3} \ int _ {0} ^ {T _ {\ rm {D}} / T} \, {x ^ {3} \ over e ^ {x} -1} \, dx \ ,,}$

${\ Displaystyle = 3NkTD_ {3} (T _ {\ rm {D}} / T) \ ,,}$

donde es la función que más tarde recibe el nombre de la función Debye de tercer orden . ${\ Displaystyle D_ {3}}$

Otra derivación

Primero derivamos la distribución de frecuencia vibratoria; la siguiente derivación se basa en el Apéndice VI de. Considere un sólido elástico isotrópico tridimensional con N átomos en la forma de un paralelepípedo rectangular con longitudes laterales . La onda elástica obedecerá a la ecuación de onda y serán ondas planas ; considere el vector de onda y defina . Tenga en cuenta que tenemos ${\ Displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {k} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$${\ Displaystyle l_ {x} = {\ frac {k_ {x}} {| \ mathbf {k} |}}, l_ {y} = {\ frac {k_ {y}} {| \ mathbf {k} | }}, l_ {z} = {\ frac {k_ {z}} {| \ mathbf {k} |}}}$

${\ Displaystyle l_ {x} ^ {2} + l_ {y} ^ {2} + l_ {z} ^ {2} = 1.}$

( 1 )

Las soluciones de la ecuación de onda son

${\ Displaystyle u (x, y, z, t) = \ sin (2 \ pi \ nu t) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {x} x} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {y} y} {\ lambda}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi l_ {z} z} {\ lambda}} \ Derecha)}$

y con las condiciones de contorno en , tenemos ${\ Displaystyle u = 0}$${\ Displaystyle x, y, z = 0, x = L_ {x}, y = L_ {y}, z = L_ {z}}$

${\ Displaystyle {\ frac {2l_ {x} L_ {x}} {\ lambda}} = n_ {x}; {\ frac {2l_ {y} L_ {y}} {\ lambda}} = n_ {y} ; {\ frac {2l_ {z} L_ {z}} {\ lambda}} = n_ {z}}$

( 2 )

donde son enteros positivos. Sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) y también usando la relación de dispersión , tenemos ${\ Displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$ ${\ Displaystyle c_ {s} = \ lambda \ nu}$

${\ Displaystyle {\ frac {n_ {x} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {x} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {y} ^ {2} } {(2 \ nu L_ {y} / c_ {s}) ^ {2}}} + {\ frac {n_ {z} ^ {2}} {(2 \ nu L_ {z} / c_ {s} ) ^ {2}}} = 1.}$

La ecuación anterior, para frecuencia fija , describe un octavo de elipse en "espacio modal" (un octavo porque son positivos). El número de modos con frecuencia menor que es, por tanto, el número de puntos integrales dentro de la elipse, que, en el límite de (es decir, para un paralelepípedo muy grande) se puede aproximar al volumen de la elipse. Por lo tanto, el número de modos con frecuencia en el rango es ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ to \ infty}$${\ Displaystyle N (\ nu)}$${\ displaystyle [0, \ nu]}$

${\ Displaystyle N (\ nu) = {\ frac {1} {8}} {\ frac {4 \ pi} {3}} \ left ({\ frac {2 \ nu} {c _ {\ mathrm {s} }}} \ derecha) ^ {3} L_ {x} L_ {y} L_ {z} = {\ frac {4 \ pi \ nu ^ {3} V} {3c _ {\ mathrm {s}} ^ {3 }}},}$

( 3 )

donde es el volumen del paralelepípedo. Obsérvese que la velocidad de las ondas en la dirección longitudinal es diferente de la dirección transversal y que las ondas se pueden polarizar en una dirección en la dirección longitudinal y en dos direcciones en la dirección transversal; así lo definimos . ${\ Displaystyle V = L_ {x} L_ {y} L_ {z}}$${\ Displaystyle {\ frac {3} {c_ {s} ^ {3}}} = {\ frac {1} {c _ {\ text {long}} ^ {3}}} + {\ frac {2} { c _ {\ text {trans}} ^ {3}}}}$

Siguiendo la derivación de, definimos un límite superior para la frecuencia de vibración ; dado que hay N átomos en el sólido, hay 3N osciladores armónicos cuánticos (3 para cada dirección x, y, z) que oscilan en el rango de frecuencias . Por lo tanto, podemos determinar así: ${\ Displaystyle \ nu _ {D}}$${\ Displaystyle [0, \ nu _ {D}]}$${\ Displaystyle \ nu _ {D}}$

${\ Displaystyle 3N = N (\ nu _ {\ rm {D}}) = {\ frac {4 \ pi \ nu _ {\ rm {D}} ^ {3} V} {3c _ {\ rm {s} } ^ {3}}}}$.

( 4 )

Al definir , donde k es la constante de Boltzmann y h es la constante de Planck , y sustituyendo ( 4 ) en ( 3 ), obtenemos ${\ Displaystyle \ nu _ {\ rm {D}} = {\ frac {kT _ {\ rm {D}}} {h}}}$

${\ Displaystyle N (\ nu) = {\ frac {3Nh ^ {3} \ nu ^ {3}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}},}$

( 5 )

esta definición es más estándar. Podemos encontrar la contribución de energía para todos los osciladores que oscilan a frecuencia . Los osciladores armónicos cuánticos pueden tener energías donde y utilizando las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , el número de partículas con energía es ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle E_ {i} = (i + 1/2) h \ nu}$${\ Displaystyle i = 0,1,2, \ dotsc}$${\ Displaystyle E_ {i}}$

${\ Displaystyle n_ {i} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- (i + 1 / 2) h \ nu / (kT)}}$.

La contribución de energía para osciladores con frecuencia es entonces ${\ Displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle dU (\ nu) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} E_ {i} {\ frac {1} {A}} e ^ {- E_ {i} / (kT)}}$.

( 6 )

Al señalar que (debido a que hay modos que oscilan con la frecuencia ), tenemos ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} n_ {i} = dN (\ nu)}$${\ Displaystyle dN (\ nu)}$${\ Displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} e ^ {- ih \ nu / (kT )} = {\ frac {1} {A}} e ^ {- 1 / 2h \ nu / (kT)} {\ frac {1} {1-e ^ {- h \ nu / (kT)}}} = dN (\ nu)}$

Desde arriba, podemos obtener una expresión para 1 / A; sustituyéndolo en ( 6 ), tenemos

${\ Displaystyle dU = dN (\ nu) e ^ {1 / 2h \ nu / (kT)} (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} h \ nu (i + 1/2) e ^ {- h \ nu (i + 1/2) / (kT)} =}$

${\ Displaystyle = dN (\ nu) (1-mi ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} h \ nu (i + 1/2) e ^ {-h \ nu i / (kT)} = dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + (1-e ^ {- h \ nu / (kT)}) \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} es decir ^ {- h \ nu i / (kT)} \ right) =}$

${\ Displaystyle dN (\ nu) h \ nu \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right) }$

Integrando con respecto a los rendimientos ν

${\ Displaystyle U = {\ frac {9Nh ^ {4}} {k ^ {3} T _ {\ rm {D}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ nu _ {D}} \ left ({\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / (kT)} - 1}} \ right) \ nu ^ {3} d \ nu}$

Límite de temperatura baja

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es baja si , lo que lleva a ${\ Displaystyle T \ ll T _ {\ rm {D}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ { \ infty} {x ^ {4} e ^ {x} \ over \ left (e ^ {x} -1 \ right) ^ {2}} \, dx}$

Esta integral definida se puede evaluar exactamente:

${\ Displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim {12 \ pi ^ {4} \ over 5} \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3}}$

En el límite de temperatura baja, no se aplican las limitaciones del modelo de Debye mencionado anteriormente, y da una relación correcta entre la capacidad calorífica (fonónica), la temperatura, los coeficientes elásticos y el volumen por átomo (estas últimas cantidades están contenidas en el Temperatura de Debye).

Límite de alta temperatura

Se dice que la temperatura de un sólido de Debye es alta si . Usar si conduce a ${\ Displaystyle T \ gg T _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle e ^ {x} -1 \ approx x}$${\ Displaystyle | x | \ ll 1}$

${\ Displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 9 \ left ({T \ over T _ {\ rm {D}}} \ right) ^ {3} \ int _ {0} ^ { T _ {\ rm {D}} / T} {x ^ {4} \ over x ^ {2}} \, dx}$

${\ Displaystyle {\ frac {C_ {V}} {Nk}} \ sim 3 \ ,.}$

Esta es la ley de Dulong-Petit y es bastante precisa, aunque no tiene en cuenta la anarmonicidad, lo que hace que la capacidad calorífica aumente aún más. La capacidad calorífica total del sólido, si es un conductor o semiconductor , también puede contener una contribución no despreciable de los electrones.

Debye contra Einstein

Entonces, ¿qué tan cerca se corresponden los modelos de Debye y Einstein con el experimento? Sorprendentemente cerca, pero Debye tiene razón a bajas temperaturas, mientras que Einstein no.

¿Qué tan diferentes son los modelos? Para responder a esa pregunta, uno naturalmente trazaría los dos en el mismo conjunto de ejes ... excepto que uno no puede. Tanto el modelo de Einstein como el modelo de Debye proporcionan una forma funcional para la capacidad calorífica. Son modelos y ningún modelo carece de escala. Una escala relaciona el modelo con su contraparte del mundo real. Se puede ver que la escala del modelo de Einstein, que viene dada por

${\ displaystyle C_ {V} = 3Nk \ left ({\ epsilon \ over kT} \ right) ^ {2} {e ^ {\ epsilon / kT} \ over \ left (e ^ {\ epsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}}$

es . Y la escala del modelo de Debye es la temperatura de Debye. Ambos se encuentran generalmente ajustando los modelos a los datos experimentales. (La temperatura de Debye puede calcularse teóricamente a partir de la velocidad del sonido y las dimensiones del cristal). Debido a que los dos métodos abordan el problema desde diferentes direcciones y diferentes geometrías, las escalas de Einstein y Debye no son las mismas, es decir ${\ Displaystyle \ epsilon / k}$${\ Displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

${\ Displaystyle {\ epsilon \ over k} \ neq T _ {\ rm {D}} \ ,,}$

lo que significa que trazarlos en el mismo conjunto de ejes no tiene sentido. Son dos modelos de lo mismo, pero de diferentes escalas. Si se define la temperatura de Einstein como

${\ Displaystyle T _ {\ rm {E}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ epsilon \ over k} \ ,,}$

entonces uno puede decir

${\ Displaystyle T _ {\ rm {E}} \ neq T _ {\ rm {D}} \ ,,}$

y, para relacionar los dos, debemos buscar la razón

${\ Displaystyle {\ frac {T _ {\ rm {E}}} {T _ {\ rm {D}}}} =?}$

El Einstein sólido se compone de un solo -Frecuencia cuántica osciladores armónicos , . Esa frecuencia, si existiera, estaría relacionada con la velocidad del sonido en el sólido. Si uno se imagina la propagación del sonido como una secuencia de átomos golpean entre sí, a continuación, se hace evidente que la frecuencia de oscilación debe corresponder a la longitud de onda mínima sostenible por la red atómica, . ${\ Displaystyle \ epsilon = \ hbar \ omega = h \ nu}$${\ Displaystyle \ lambda _ {min}}$

${\ Displaystyle \ nu = {c _ {\ rm {s}} \ over \ lambda} = {c _ {\ rm {s}} {\ sqrt [{3}] {N}} \ over 2L} = {c_ { \ rm {s}} \ over 2} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}}}$

lo que hace que la temperatura de Einstein

${\ Displaystyle T _ {\ rm {E}} = {\ epsilon \ over k} = {h \ nu \ over k} = {hc _ {\ rm {s}} \ over 2k} {\ sqrt [{3}] {N \ over V}} \ ,,}$

y la relación buscada es por tanto

${\ Displaystyle {T _ {\ rm {E}} \ over T _ {\ rm {D}}} = {\ sqrt [{3}] {\ pi \ over 6}} \ = 0.805995977 ...}$

Ahora ambos modelos se pueden trazar en el mismo gráfico. Tenga en cuenta que esta relación es la raíz cúbica de la relación entre el volumen de un octante de una esfera tridimensional y el volumen del cubo que la contiene, que es solo el factor de corrección utilizado por Debye al aproximar la integral de energía anterior.

Alternativamente, se puede ver que la relación de las 2 temperaturas es la relación entre la frecuencia única de Einstein a la que oscilan todos los osciladores y la frecuencia máxima de Debye. La frecuencia única de Einstein puede verse entonces como una media de las frecuencias disponibles para el modelo de Debye.

Tabla de temperatura Debye

Aunque el modelo de Debye no es completamente correcto, proporciona una buena aproximación de la capacidad calorífica a baja temperatura de los sólidos cristalinos aislantes donde otras contribuciones (como los electrones de conducción altamente móviles) son insignificantes. Para los metales, la contribución de los electrones al calor es proporcional a , que a bajas temperaturas domina el resultado de Debye para las vibraciones reticulares. En este caso, solo se puede decir que el modelo de Debye se aproxima a la contribución de la red al calor específico. La siguiente tabla enumera las temperaturas de Debye para varios elementos puros y zafiro: ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T ^ {3}}$

Aluminio 0428 K Berilio 1440 K Cadmio 0209 K Cesio 0038 K Carbón 2230 K Cromo 0630 K

Cobre 0343 K Germanio 0374 K Oro 0170 K Planchar 0470 K Dirigir 0105 K Manganeso 0410 K

Níquel 0450 K Platino 0240 K Rubidio 0056 K Zafiro 1047 K Selenio 0090 K Silicio 0645 K

Plata 0215 K Tantalio 0240 K Estaño (blanco) 0200 K Titanio 0420 K Tungsteno 0400 K Zinc 0327 K

El ajuste del modelo de Debye a los datos experimentales a menudo se mejora fenomenológicamente al permitir que la temperatura de Debye se vuelva dependiente de la temperatura; por ejemplo, el valor del hielo de agua aumenta de aproximadamente 222 K a 300 K a medida que la temperatura pasa del cero absoluto a aproximadamente 100 K.

Extensión a otras cuasi-partículas

Para otras cuasi-partículas bosónicas , por ejemplo, para magnones (ondas de espín cuantificadas) en ferromagnetos en lugar de fonones (ondas sonoras cuantificadas), se obtienen fácilmente resultados análogos. En este caso a bajas frecuencias se tienen diferentes relaciones de dispersión , por ejemplo, en el caso de magnones, en lugar de para fonones (con ). Uno también tiene diferente densidad de estados (por ejemplo, ). Como consecuencia, en los ferroimanes se obtiene una contribución magnónica a la capacidad calorífica , que domina a temperaturas suficientemente bajas la contribución fonona . En los metales, por el contrario, la principal contribución de las bajas temperaturas a la capacidad calorífica proviene de los electrones. Es fermiónica , y se calcula por diferentes métodos de nuevo a que van Sommerfeld 's modelo de electrones libres . ${\ Displaystyle E (\ nu) \ propto k ^ {2}}$${\ Displaystyle E (\ nu) \ propto k}$${\ Displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}$${\ Displaystyle \ int g (\ nu) {\ rm {d}} \ nu \ equiv N \,}$${\ Displaystyle \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, magnon}}} \, \ propto T ^ {3/2}}$${\ Displaystyle \, \ Delta C _ {\, {\ rm {V | \, phonon}}} \ propto T ^ {3}}$${\ Displaystyle \ propto T}$

Extensión a líquidos

Durante mucho tiempo se pensó que la teoría de los fonones no es capaz de explicar la capacidad calorífica de los líquidos, ya que los líquidos solo sostienen fonones longitudinales, pero no transversales, que en los sólidos son responsables de 2/3 de la capacidad calorífica. Sin embargo, los experimentos de dispersión de Brillouin con neutrones y rayos X , que confirman la intuición de Yakov Frenkel , han demostrado que los fonones transversales existen en los líquidos, aunque restringidos a frecuencias por encima de un umbral llamado frecuencia de Frenkel . Dado que la mayor parte de la energía está contenida en estos modos de alta frecuencia, una simple modificación del modelo de Debye es suficiente para producir una buena aproximación a las capacidades térmicas experimentales de líquidos simples.

Frecuencia de Debye

La frecuencia de Debye (símbolo: o ) es un parámetro en el modelo de Debye. Se refiere a una frecuencia angular de corte para ondas de una cadena armónica de masas, que se utiliza para describir el movimiento de iones en una red cristalina y, más específicamente, para predecir correctamente la capacidad calorífica en tales cristales para que sea constante para altas temperaturas ( Dulong –Ley Petit ). El término fue introducido por primera vez por Peter Debye en 1912. ${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {Debye}}}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}}}$

A lo largo de todo este artículo se asumen condiciones de contorno periódicas .

Definición

Suponiendo que la relación de dispersión es

${\ Displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}$,

con la velocidad del sonido en el cristal; y k el vector de onda, el valor de la frecuencia de Debye es la siguiente: ${\ Displaystyle v _ {\ rm {s}}}$

Para una cadena monoatómica unidimensional, la frecuencia de Debye es igual a

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = v _ {\ rm {s}} \ pi / a = v _ {\ rm {s}} \ pi N / L = v _ {\ rm {s}} \ pi \ lambda}$,

con la distancia entre dos átomos vecinos en la cadena cuando el sistema está en su estado fundamental (en este caso eso significa que ninguno de los átomos se mueve entre sí); el número total de átomos en la cadena; y el tamaño (volumen) del sistema (longitud de la cadena); y es la densidad numérica lineal . Cuando la siguiente relación: . ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle L = Na}$

Para un retículo cuadrado monoatómico bidimensional, la frecuencia de Debye es igual a

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi} {a ^ {2}}} v _ {\ rm {s}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm {s}} ^ {2} \ equiv 4 \ pi \ sigma v _ {\ rm {s}} ^ {2}}$,

donde y son los mismos que antes; es el tamaño (área) de la superficie; y la densidad numérica de la superficie . ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle A \ equiv L ^ {2} {=} Na ^ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Para un cristal cúbico primitivo monoatómico tridimensional , la frecuencia de Debye es igual a

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2}} {a ^ {3}}} v _ {\ rm {s}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ {\ rm {s}} ^ {3} \ equiv 6 \ pi ^ {2} \ rho v _ {\ rm {s}} ^ {3}}$,

donde y son los mismos que antes; el tamaño del sistema; y la densidad del número de volumen . ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle V \ equiv L ^ {3} = Na ^ {3}}$${\ Displaystyle \ rho}$

La velocidad del sonido en el cristal podría depender (entre otros) de la masa de los átomos, la fuerza de su interacción, la presión sobre el sistema y / o la polarización de la onda (longitudinal o transversal), pero en lo siguiente Primero asumiremos que la velocidad del sonido es la misma para cualquier polarización (esta suposición, sin embargo, no tiene implicaciones de gran alcance).

La supuesta relación de dispersión se demuestra fácilmente que es incorrecta para una cadena unidimensional de masas, pero en el modelo de Debye esto no resultó ser problemático.

Relación con la temperatura de Debye

La temperatura de Debye , otro parámetro en el modelo de Debye, está relacionada con la frecuencia de Debye por la relación${\ Displaystyle \ theta _ {\ rm {D}}}$

${\ Displaystyle \ theta _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ hbar} {k _ {\ rm {B}}}} \ omega _ {\ rm {D}},}$

donde es la constante de Planck reducida y es la constante de Boltzmann . ${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle k _ {\ rm {B}}}$

Derivación de Debye

Cristal tridimensional

En la derivación de Debye de la capacidad calorífica , suma todos los modos posibles del sistema. Es decir: incluyendo diferentes direcciones y polarizaciones . Supuso que el número total de modos por polarización es (con la cantidad de masas en el sistema), o en lenguaje matemático ${\ Displaystyle 3N}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rm {modos}} 3 = 3N}$,

donde en ambos lados se debe a las tres polarizaciones, por lo que la suma corre sobre todos los modos para una polarización específica. Debye hizo esta suposición porque sabía por la mecánica clásica que el número de modos por polarización en una cadena de masas siempre debería ser igual a la cantidad de masas en la cadena. ${\ Displaystyle 3}$

El lado izquierdo ahora debe hacerse explícito para mostrar cómo depende de la frecuencia de Debye (aquí se presenta simplemente como una frecuencia de corte, es decir: no pueden existir frecuencias más altas que la frecuencia de Debye), de modo que una expresión para ella podría ser encontrado.

En primer lugar, asumiendo que es muy grande ( >> 1, con el tamaño del sistema en cualquiera de las tres direcciones), el vector de onda más pequeño en cualquier dirección podría aproximarse mediante:, con . Los vectores de onda más pequeños no pueden existir debido a las condiciones de contorno periódicas . Por lo tanto, la suma se convertiría en 4${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle dk_ {i} = 2 \ pi / L}$${\ Displaystyle i = x, y, z}$

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rm {modos}} 3 = {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k}}$,

donde ; es el tamaño del sistema; y la integral es (como la suma) sobre todos los modos posibles, que se supone que es una región finita (limitada por la frecuencia de corte). ${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ equiv (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$${\ Displaystyle V \ equiv L ^ {3}}$

La integral triple podría reescribirse como una integral única sobre todos los valores posibles del valor absoluto de (ver: Jacobiano para coordenadas esféricas ). El resultado es ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$

${\ Displaystyle {\ frac {3V} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iiint d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ { 0} ^ {k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k}}$,

con el valor absoluto del vector de onda correspondiente a la frecuencia de Debye, entonces . ${\ Displaystyle k _ {\ rm {D}}}$${\ Displaystyle k _ {\ rm {D}} = \ omega _ {\ rm {D}} / v _ {\ rm {s}}}$

Como sabemos que la relación de dispersión es , esto se puede escribir como una integral sobre todos los posibles${\ Displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} | \ mathbf {k} |}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {k _ {\ rm {D}}} | \ mathbf {k} | ^ {2} d \ mathbf {k} = {\ frac {3V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}} } \ omega ^ {2} d \ omega}$,

Después de resolver la integral, se vuelve a equiparar con encontrar ${\ Displaystyle 3N}$

${\ Displaystyle {\ frac {V} {2 \ pi ^ {2} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}} \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = 3N}$.

Conclusión:

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {6 \ pi ^ {2} N} {V}} v _ {\ rm {s}} ^ {3}}$.

Cadena unidimensional en el espacio 3D

Se podría hacer la misma derivación para una cadena de átomos unidimensional. El número de modos permanece sin cambios, porque todavía hay tres polarizaciones. Entonces

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rm {modos}} 3 = 3N}$.

El resto de la derivación es análoga a la anterior, por lo que nuevamente se reescribe el lado izquierdo;

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rm {modos}} 3 = {\ frac {3L} {2 \ pi}} \ int _ {- k _ {\ rm {D}}} ^ {k _ {\ rm {D} }} dk = {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega}$.

En el último paso, la multiplicación por dos se debe a que es negativa, pero no. Continuamos; ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {\ frac {3L} {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega = {\ frac {3L } {\ pi v _ {\ rm {s}}}} \ omega _ {\ rm {D}} = 3N}$.

Conclusión:

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}} N} {L}}}$.

Cristal bidimensional

Se podría hacer la misma derivación para un cristal bidimensional. Nuevamente, el número de modos permanece sin cambios, porque todavía hay tres polarizaciones. La derivación es análoga a los dos anteriores. Empezamos con la misma ecuación,

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rm {modos}} 3 = 3N}$.

Y luego el lado izquierdo se reescribe y se equipara a ${\ Displaystyle 3N}$

${\ Displaystyle \ sum _ {\ rm {modos}} 3 = {\ frac {3A} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ iint d \ mathbf {k} = {\ frac {3A} {2 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} \ omega d \ omega = {\ frac {3A \ omega _ { \ rm {D}} ^ {2}} {4 \ pi v _ {\ rm {s}} ^ {2}}} = 3N}$,

donde es el tamaño del sistema. ${\ Displaystyle A \ equiv L ^ {2}}$

Conclusión

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {4 \ pi N} {A}} v _ {\ rm {s}} ^ {2}}$.

Permitir que la polarización marque la diferencia

Como se mencionó en la introducción: en general, las ondas longitudinales tienen una velocidad de onda diferente a las ondas transversales. Para mayor claridad, primero se asumió que eran iguales, pero ahora descartamos esa suposición.

La relación de dispersión se convierte , donde , corresponde a las tres polarizaciones. Sin embargo, la frecuencia de corte (frecuencia de Debye) no depende de . Y podemos escribir el número total de modos como , que nuevamente es igual a . Aquí la suma de los modos depende (aunque no se indica explícitamente) de . ${\ Displaystyle \ omega _ {i} = v_ {s, i} | \ mathbf {k} |}$${\ Displaystyle i = 1,2,3}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ rm {modos}} 1}$${\ Displaystyle 3N}$${\ Displaystyle i}$

Una dimensión

Una vez más se reescribe la suma de los modos.

${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {\ rm {modos}} 1 = \ sum _ {i} {\ frac {L} {\ pi v_ {s, i}}} \ int _ {0} ^ {\ omega _ {\ rm {D}}} d \ omega _ {i} = 3N}$.

El resultado es

${\ Displaystyle {\ frac {L \ omega _ {\ rm {D}}} {\ pi}} ({\ frac {1} {v_ {s, 1}}} + {\ frac {1} {v_ { s, 2}}} + {\ frac {1} {v_ {s, 3}}}) = 3N}$.

Por lo tanto, la frecuencia de Debye se encuentra

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}} {v_ {s, 2} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 3} + v_ {s, 1} v_ {s, 2}}}}$.

O asumiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales (para tener la misma velocidad y frecuencia de fase)

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {3 \ pi N} {L}} {\ frac {v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}} {2v_ {s, t} v_ {s, l} + v_ {s, t} ^ {2}}}}$.

Se puede comprobar que esta relación es equivalente a la encontrada anteriormente (cuando la polarización no marcó la diferencia) mediante el ajuste . ${\ Displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$

Dos dimensiones

Se puede hacer la misma derivación para encontrar un cristal bidimensional (la derivación es análoga a las derivaciones anteriores)

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ { s, 3}) ^ {2}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {2} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ {2} + ( v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {2}}}}$.

O asumiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales (aunque para dos dimensiones sería más lógico si todas las polarizaciones fueran diferentes):

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {2} = {\ frac {12 \ pi N} {A}} {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {2}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {2} + v_ {s, t} ^ {4}}}}$.

Una vez más, se puede comprobar que esta relación es equivalente a la encontrada anteriormente al establecer . ${\ Displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$

Tres dimensiones

Se puede hacer la misma derivación para encontrar un cristal tridimensional (la derivación es análoga a las derivaciones anteriores)

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, 1} v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3}} {(v_ {s, 2} v_ {s, 3}) ^ {3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 3}) ^ { 3} + (v_ {s, 1} v_ {s, 2}) ^ {3}}}}$.

O asumiendo que las dos polarizaciones transversales son iguales (aunque para tres dimensiones sería más lógico cuando todas las polarizaciones fueran iguales):

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} ^ {3} = {\ frac {18 \ pi ^ {2} N} {V}} {\ frac {(v_ {s, t} ^ {2} v_ {s, l}) ^ {3}} {2 (v_ {s, t} v_ {s, l}) ^ {3} + v_ {s, t} ^ {6}}}}$.

Una vez más, se puede comprobar que esta relación es equivalente a la encontrada anteriormente al establecer . ${\ Displaystyle v_ {s, t} = v_ {s, l}}$

Derivación con la relación de dispersión real

Este problema podría hacerse más revelador haciéndolo más complejo. En lugar de utilizar la relación de dispersión , ahora se asumirá la relación de dispersión correcta. De la mecánica clásica se sabe que para una cadena equidistante de masas que interactúan armónicamente entre sí, la relación de dispersión es la siguiente ${\ Displaystyle \ omega = v _ {\ rm {s}} k}$

${\ Displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$.

Después de trazar esta relación, está claro que la estimación de Debye de la longitud de onda de corte era correcta después de todo. Porque por cada número de onda más grande que (es decir: es más pequeño que ) un número de onda que es más pequeño de lo que podría encontrarse con la misma frecuencia angular. Esto significa que la manifestación física resultante para el modo con el número de onda más grande es indistinguible de la que tiene el número de onda más pequeño. De este modo, el estudio de la relación de dispersión puede limitarse a la primera zona de brillo, es decir, para . Esto es posible porque el sistema consta de puntos discretizados , como se demuestra en la imagen animada. Dividiendo la relación de dispersión por e insertando para , encontramos que la velocidad de una onda debe ser ${\ Displaystyle \ pi / a}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle 2a}$${\ Displaystyle \ pi / a}$${\ Displaystyle k \ in [- {\ frac {\ pi} {a}}, {\ frac {\ pi} {a}}]}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ pi / a}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k = \ pi / a}$

${\ Displaystyle v _ {\ rm {s}} (k = \ pi / a) = {\ frac {2a} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}}}$.

Simplemente insertando en la relación de dispersión original encontramos ${\ Displaystyle k = \ pi / a}$

${\ Displaystyle \ omega (k = \ pi / a) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} = \ omega _ {\ rm {D}}}$.

Combinando estos resultados se vuelve a encontrar el mismo resultado

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} {a}}}$.

Sin embargo, para las cadenas diatómicas (y cadenas más complejas), la frecuencia de corte asociada (y la longitud de onda) no es muy precisa, ya que la longitud de onda de corte es dos veces mayor y la relación de dispersión consta de dos ramas (para una cadena diatómica) . Tampoco es seguro a partir de esto si Debye predijo con precisión la frecuencia de corte para sistemas más dimensionales.

Derivación alternativa

Para una cadena unidimensional, este resultado también podría reproducirse utilizando la teoría del aliasing. El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon se utiliza en la siguiente derivación; la principal diferencia es que en la siguiente derivación la discretización no está en el tiempo, sino en el espacio. Si usamos la relación de dispersión correcta del último párrafo, quedará claro de otra manera intuitiva por qué la frecuencia de corte tiene el valor obtenido previamente (dos veces). Así que de nuevo

${\ Displaystyle \ omega (k) = 2 {\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}} \ left | \ sin \ left ({\ frac {ka} {2}} \ right) \ right |}$

se supone.

Esta derivación es completamente equivalente a la anterior, es decir: se realizan los mismos supuestos para recuperar el resultado. No es más ni menos preciso, es solo un enfoque diferente.

Para determinar dónde debería estar la frecuencia de corte, es útil determinar primero dónde debería estar el corte de la longitud de onda. De la relación de dispersión sabemos que para cada modo se repite, por lo que la longitud de onda de corte estaría en . A partir de esto y de las condiciones de contorno periódicas, puede ver inmediatamente que el número total de modos por polarización sería . Como se ve en el gif del párrafo anterior esto se debe a que cada onda con una longitud de onda más corta que la podría ser reemplazada por una onda con una longitud de onda más larga que para recuperar el mismo resultado físico. ${\ Displaystyle k> \ pi / a}$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {D}} = 2a}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle 2a}$${\ Displaystyle 2a}$

Sin embargo, la relación de dispersión del párrafo anterior (el correcto) ni siquiera es necesaria para razonar por qué el corte debería estar en . Porque, como se muestra, solo las ondas con una longitud de onda más larga de la que podrían producir el mismo resultado físico que otra. Entonces, esta es otra forma de predecir correctamente la longitud de onda de corte sin usar la relación de dispersión correcta (o incluso el conocimiento de la mecánica clásica como lo hizo Debye). Sin embargo, utilizando la relación de dispersión incorrecta que supuso Debye, las ondas con una longitud de onda más pequeña tendrían una frecuencia más alta, pero el movimiento relativo de las masas sería el mismo, por lo que esto no genera nuevos modos. ${\ Displaystyle \ lambda = 2a}$${\ Displaystyle 2a}$

Esto da como resultado de nuevo , ${\ Displaystyle k _ {\ rm {D}} = \ pi / a}$

${\ Displaystyle \ omega _ {\ rm {D}} = {\ frac {\ pi v _ {\ rm {s}}} {a}}}$.

También aquí no importa qué relación de dispersión se use (la correcta o la que usó Debye), se encontraría la misma frecuencia de corte.

Desafortunadamente, el mismo método no podría usarse (tan fácilmente) para un cristal bidimensional o tridimensional, porque las ondas diagonales tendrían una longitud de onda de corte mayor, que también son difíciles de predecir.

Ver también

• Bose gas
• Gas en una caja
• Parámetro Grüneisen

Referencias

Otras lecturas

• Manual CRC de Química y Física , 56ª edición (1975-1976)
• Schroeder, Daniel V. Introducción a la física térmica . Addison-Wesley, San Francisco (2000). Sección 7.5.

enlaces externos

• Determinación experimental de calor específico, conductividad térmica y térmica del cuarzo utilizando un criostato.
• Simon, Steven H. (2014) The Oxford Solid State Basics (los más relevantes: 1, 2 y 6)