Curvatura constante - Constant curvature
En matemáticas , la curvatura constante es un concepto de geometría diferencial . Aquí, la curvatura se refiere a la curvatura seccional de un espacio (más precisamente una variedad ) y es un número único que determina su geometría local. Se dice que la curvatura de la sección es constante si tiene el mismo valor en cada punto y para cada plano tangente bidimensional en ese punto. Por ejemplo, una esfera es una superficie de curvatura positiva constante.
Clasificación
Las variedades de Riemann de curvatura constante se pueden clasificar en los siguientes tres casos:
- geometría elíptica - curvatura de sección positiva constante
- Geometría euclidiana : curvatura seccional de fuga constante
- Geometría hiperbólica : curvatura de sección negativa constante.
Propiedades
- Todo espacio de curvatura constante es localmente simétrico , es decir, su tensor de curvatura es paralelo .
- Cada espacio de curvatura constante es localmente máximamente simétrico , es decir, tiene un número de isometrías locales , donde n es su dimensión.
- A la inversa, existe una afirmación similar pero más fuerte: todo espacio simétrico al máximo , es decir, un espacio que tiene isometrías (globales) , tiene una curvatura constante.
- ( Teorema de Killing-Hopf ) La cobertura universal de una variedad de curvatura seccional constante es uno de los espacios modelo:
- esfera (curvatura seccional positiva)
- plano (curvatura seccional cero)
- colector hiperbólico (curvatura de sección negativa)
- Un espacio de curvatura constante que es geodésicamente completo se llama forma espacial y el estudio de las formas espaciales está íntimamente relacionado con la cristalografía generalizada (ver el artículo sobre forma espacial para más detalles).
- Dos formas espaciales son isomorfas si y solo si tienen la misma dimensión, sus métricas poseen la misma firma y sus curvaturas seccionales son iguales.
