Campo completo - Complete field

En matemáticas , un campo completo es un campo equipado con una métrica y completo con respecto a esa métrica. Los ejemplos básicos incluyen los números reales , los números complejos y los campos con valores completos (como los números p -adic ).

Construcciones

Números reales y complejos

Los números reales son el campo con la métrica euclidiana estándar . Dado que se construye a partir de la finalización de con respecto a esta métrica, es un campo completo. Al extender los reales por su cierre algebraico se obtiene el campo (ya que su grupo de Galois absoluto es ). En este caso, también es un campo completo, pero este no es el caso en muchos casos. ${\ Displaystyle | xy |}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

p-adic

Los números p-adic se construyen usando el valor absoluto p-adic ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle v_ {p} (a / b) = v_ {p} (a) -v_ {p} (b)}$

donde . Luego, usando la factorización donde no divide , su valoración es el número entero . La terminación de por es el campo completo llamado números p-ádicos. Este es un caso en el que el campo no está cerrado algebraicamente. Normalmente, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo nuevamente. Este campo suele estar indicado . ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle a = p ^ {n} c}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle v_ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} _ {p}}$

Campo de función de una curva

Para el campo de función de una curva , cada punto corresponde a un valor absoluto , o lugar , . Dado un elemento expresado por una fracción , el lugar mide el orden de desaparición de at menos el orden de desaparición de at . Luego, completar en da un nuevo campo. Por ejemplo, si en , el origen en el gráfico afín , entonces la finalización de en es isomorfa al anillo de la serie de potencias . ${\ Displaystyle k (X)}$ ${\ Displaystyle X / k}$ ${\ Displaystyle p \ en X}$ ${\ Displaystyle v_ {p}}$ ${\ Displaystyle f \ en k (X)}$ ${\ Displaystyle g / h}$ ${\ Displaystyle v_ {p}}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle h}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle k (X)}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle p = [0: 1]}$ ${\ Displaystyle x_ {1} \ neq 0}$ ${\ Displaystyle k (X)}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle k ((x))}$