Anomalía quiral - Chiral anomaly

En física teórica , una anomalía quiral es la no conservación anómala de una corriente quiral . En términos cotidianos, es equivalente a una caja sellada que contenía el mismo número de pernos izquierdos y derechos , pero cuando se abrió se encontró que tenía más a la izquierda que a la derecha, o viceversa.

Se espera que tales eventos estén prohibidos de acuerdo con las leyes de conservación clásicas , pero sabemos que debe haber formas en que se puedan romper, porque tenemos evidencia de no conservación de paridad de carga ("violación de CP") . Es posible que otros desequilibrios hayan sido causados ​​por la ruptura de una ley quiral de este tipo. Muchos físicos sospechan que el hecho de que el universo observable contenga más materia que antimateria se debe a una anomalía quiral. La investigación sobre las leyes que rompen la simetría quiral es un esfuerzo importante en la investigación de la física de partículas en este momento.

Introducción informal

La anomalía quiral se refería originalmente a la tasa de desintegración anómala del pión neutro , calculada en el álgebra actual del modelo quiral . Estos cálculos sugirieron que se suprimió la desintegración del pión, contradiciendo claramente los resultados experimentales. La naturaleza de los cálculos anómalos fue explicada por primera vez por Adler y Bell & Jackiw . Esto ahora se denomina anomalía de la electrodinámica cuántica de Adler-Bell-Jackiw . Esta es una simetría de la electrodinámica clásica que es violada por las correcciones cuánticas.

La anomalía de Adler-Bell-Jackiw surge de la siguiente manera. Si se considera la teoría clásica (no cuantificada) del electromagnetismo acoplado a fermiones ( espinores de Dirac cargados eléctricamente que resuelven la ecuación de Dirac ), se espera no solo una, sino dos corrientes conservadas : la corriente eléctrica ordinaria (la corriente vectorial ), descrita por el campo de Dirac así como por una corriente axial Al pasar de la teoría clásica a la teoría cuántica, se pueden calcular las correcciones cuánticas de estas corrientes; de primer orden, estos son los diagramas de Feynman de un bucle . Estos son famosos por su divergencia y requieren una regularización para poder obtener las amplitudes renormalizadas . Para que la renormalización sea significativa, coherente y consistente, los diagramas regularizados deben obedecer las mismas simetrías que las amplitudes de bucle cero (clásicas). Este es el caso de la corriente vectorial, pero no de la corriente axial: no se puede regular de forma que se preserve la simetría axial. La simetría axial de la electrodinámica clásica se rompe mediante correcciones cuánticas. Formalmente, las identidades de Ward-Takahashi de la teoría cuántica se derivan de la simetría gauge del campo electromagnético; se rompen las identidades correspondientes para la corriente axial. ${\ Displaystyle j ^ {\ mu} = {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$ ${\ Displaystyle j_ {5} ^ {\ mu} = {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi ~.}$

En el momento en que se estaba explorando la anomalía de Adler-Bell-Jackiw en física, había desarrollos relacionados en geometría diferencial que parecían involucrar los mismos tipos de expresiones. Estos no estaban relacionados de ninguna manera con correcciones cuánticas de ningún tipo, sino más bien la exploración de la estructura global de los haces de fibras , y específicamente, de los operadores de Dirac en estructuras de espín que tienen formas de curvatura parecidas a las del tensor electromagnético , ambos en cuatro y tres dimensiones (la teoría de Chern-Simons ). Después de un considerable ida y vuelta, quedó claro que la estructura de la anomalía podría describirse con paquetes con un grupo de homotopía no trivial , o, en la jerga de la física, en términos de instantones .

Los instantones son una forma de solitón topológico ; son una solución a la teoría de campo clásica , ya que tienen la propiedad de que son estables y no pueden decaer (en ondas planas , por ejemplo). Dicho de otra manera: la teoría de campo convencional se basa en la idea de un vacío , en términos generales, un espacio plano y vacío. Clásicamente, esta es la solución "trivial"; todos los campos se desvanecen. Sin embargo, también se pueden organizar los campos (clásicos) de tal manera que tengan una configuración global no trivial. Estas configuraciones no triviales también son candidatas al vacío, al espacio vacío; sin embargo, ya no son planos ni triviales; contienen un giro, el instanton. La teoría cuántica puede interactuar con estas configuraciones; cuando lo hace, se manifiesta como la anomalía quiral.

En matemáticas, las configuraciones no triviales se encuentran durante el estudio de los operadores de Dirac en su contexto completamente generalizado, es decir, en variedades de Riemann en dimensiones arbitrarias. Las tareas matemáticas incluyen encontrar y clasificar estructuras y configuraciones. Los resultados famosos incluyen el teorema del índice de Atiyah-Singer para operadores de Dirac. En términos generales, las simetrías del espacio-tiempo de Minkowski , la invariancia de Lorentz , los laplacianos , los operadores de Dirac y los haces de fibras U (1) xSU (2) xSU (3) pueden tomarse como un caso especial de una configuración mucho más general en geometría diferencial ; la exploración de las diversas posibilidades explica gran parte del entusiasmo en teorías como la teoría de cuerdas ; la riqueza de posibilidades explica una cierta percepción de falta de progreso.

La anomalía de Adler-Bell-Jackiw se ve experimentalmente, en el sentido de que describe la desintegración del pión neutro y, específicamente, la amplitud de la desintegración del pión neutro en dos fotones . El pión neutral en sí fue descubierto en la década de 1940; su tasa de desintegración (ancho) fue estimada correctamente por J. Steinberger en 1949. La forma correcta de la divergencia anómala de la corriente axial la obtuvo Schwinger en 1951 en un modelo 2D de electromagnetismo y fermiones sin masa. Sutherland y Veltman en 1967 obtuvieron que la desintegración del pión neutro se suprime en el análisis de álgebra actual del modelo quiral. Adler y Bell & Jackiw en 1969 proporcionan un análisis y resolución de este resultado anómalo. Bardeen analiza las anomalías en 1969.

El modelo de quark del pion indica que es un estado ligado de un quark y un anti-quark. Sin embargo, los números cuánticos , incluida la paridad y el momento angular, considerados conservados, prohíben la desintegración del pión, al menos en los cálculos de bucle cero (simplemente, las amplitudes desaparecen). Si se supone que los quarks son masivos, no sin masa, entonces se permite una desintegración que viola la quiralidad ; sin embargo, no tiene el tamaño correcto. (La quiralidad no es una constante de movimiento de los espinores masivos; cambiarán la mano a medida que se propaguen, por lo que la masa es en sí misma un término quiral que rompe la simetría. La contribución de la masa viene dada por el resultado de Sutherland y Veltman; se denomina " PCAC ", la corriente axial parcialmente conservada .) El análisis de Adler-Bell-Jackiw proporcionado en 1969 (así como las formas anteriores de Steinberger y Schwinger), proporcionan el ancho de desintegración correcto para el pión neutro.

Además de explicar la descomposición del pión, tiene un segundo papel muy importante. La amplitud de un bucle incluye un factor que cuenta el gran número total de leptones que pueden circular en el bucle. Para obtener el ancho de decaimiento correcto, se deben tener exactamente tres generaciones de quarks, y no cuatro o más. De esta manera, juega un papel importante en la restricción del modelo estándar . Proporciona una predicción física directa del número de quarks que pueden existir en la naturaleza.

La investigación actual se centra en fenómenos similares en diferentes entornos, incluidas configuraciones topológicas no triviales de la teoría electrodébil , es decir, los esfalerones . Otras aplicaciones incluyen la no conservación hipotética del número de bariones en GUT y otras teorías.

Discusión General

En algunas teorías de fermiones con simetría quiral , la cuantificación puede conducir a la ruptura de esta simetría quiral (global). En ese caso, la carga asociada con la simetría quiral no se conserva. La no conservación ocurre en un proceso de tunelización de un vacío a otro. Tal proceso se llama instanton .

En el caso de una simetría relacionada con la conservación de un número de partículas fermiónicas , se puede entender la creación de tales partículas de la siguiente manera. La definición de una partícula es diferente en los dos estados de vacío entre los que se produce el efecto túnel; por lo tanto, un estado sin partículas en un vacío corresponde a un estado con algunas partículas en el otro vacío. En particular, hay un mar de fermiones de Dirac y, cuando ocurre un túnel de este tipo, hace que los niveles de energía de los fermiones marinos se desplacen gradualmente hacia arriba para las partículas y hacia abajo para las antipartículas, o viceversa. Esto significa que las partículas que alguna vez pertenecieron al mar de Dirac se convierten en partículas reales (energía positiva) y se produce la creación de partículas.

Técnicamente, en la formulación de integral de trayectoria , una simetría anómala es una simetría de la acción , pero no de la medida μ y, por tanto, no de la función generadora.${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} = \ int \! {\ exp (i {\ mathcal {A}} / \ hbar) ~ \ mathrm {d} \ mu}}$

de la teoría cuantizada ( ℏ es el cuanto de acción de Planck dividido por 2 π ). La medida consta de una parte que depende del campo fermiónico y una parte que depende de su complejo conjugado . Las transformaciones de ambas partes bajo una simetría quiral no se cancelan en general. Tenga en cuenta que si es un fermión de Dirac , entonces la simetría quiral se puede escribir como dónde está actuando la matriz gamma quiral . De la fórmula para uno también se ve explícitamente que en el límite clásico , ℏ → 0, las anomalías no entran en juego, ya que en este límite solo los extremos de siguen siendo relevantes. ${\ Displaystyle d \ mu}$${\ Displaystyle [\ mathrm {d} \ psi]}$${\ Displaystyle [\ mathrm {d} {\ bar {\ psi}}]}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi \ rightarrow e ^ {i \ alpha \ gamma ^ {5}} \ psi}$${\ Displaystyle \ gamma ^ {5}}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

La anomalía es proporcional al número de instantes de un campo de calibre al que se acoplan los fermiones. (Tenga en cuenta que la simetría del indicador no es siempre anómala y se respeta exactamente, como se requiere para que la teoría sea coherente).

Cálculo

La anomalía quiral se puede calcular exactamente mediante diagramas de Feynman de un bucle , por ejemplo, el "diagrama triangular" de Steinberger, que contribuye a la desintegración del pión , y . La amplitud de este proceso se puede calcular directamente a partir del cambio en la medida de los campos fermiónicos bajo la transformación quiral. ${\ Displaystyle \ pi ^ {0} \ to e ^ {+} e ^ {-} \ gamma}$

Wess y Zumino desarrollaron un conjunto de condiciones sobre cómo debería comportarse la función de partición bajo transformaciones de calibre llamadas condición de consistencia de Wess-Zumino .

Fujikawa derivó esta anomalía usando la correspondencia entre los determinantes funcionales y la función de partición usando el teorema del índice de Atiyah-Singer . Vea el método de Fujikawa .

Un ejemplo: no conservación del número bariónico

El modelo estándar de interacciones electrodébiles tiene todos los ingredientes necesarios para una bariogénesis exitosa , aunque estas interacciones nunca se han observado y pueden ser insuficientes para explicar el número bariónico total del universo observado si el número bariónico inicial del universo en el momento de la Gran Bang es cero. Más allá de la violación de conjugación de cargos y violación de CP (cargo + paridad), la violación de cargo bariónico aparece a través de la anomalía Adler-Bell-Jackiw del grupo. ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle CP}$${\ Displaystyle U (1)}$

Los bariones no se conservan mediante las interacciones electrodébiles habituales debido a la anomalía quiral cuántica. El lagrangiano electrodébil clásico conserva la carga bariónica . Los quarks siempre entran en combinaciones bilineales , de modo que un quark solo puede desaparecer en colisión con un antiquark. En otras palabras, se conserva la corriente bariónica clásica : ${\ Displaystyle q {\ bar {q}}}$${\ Displaystyle J _ {\ mu} ^ {B}}$

${\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {B} = \ sum _ {j} \ parcial ^ {\ mu} ({\ bar {q}} _ {j} \ gamma _ {\ mu} q_ {j}) = 0.}$

Sin embargo, las correcciones cuánticas conocidas como sphaleron destruyen esta ley de conservación : en lugar de cero en el lado derecho de esta ecuación, hay un término cuántico que no desaparece,

${\ Displaystyle \ parcial ^ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {B} = {\ frac {g ^ {2} C} {16 \ pi ^ {2}}} G ^ {\ mu \ nu a} {\ tilde {G}} _ {\ mu \ nu} ^ {a},}$

donde C es una constante numérica que desaparece para ℏ = 0,

${\ Displaystyle {\ tilde {G}} _ {\ mu \ nu} ^ {a} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} G ^ {\ alpha \ beta a},}$

y la intensidad del campo de calibre viene dada por la expresión ${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} ^ {a}}$

${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} ^ {a} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} ^ {a} + gf_ {bc} ^ {a} A _ {\ mu} ^ {b} A _ {\ nu} ^ {c} ~.}$

Los esfalerones electrodébiles solo pueden cambiar el número de bariones y / o leptones en 3 o múltiplos de 3 (colisión de tres bariones en tres leptones / antileptones y viceversa).

Un hecho importante es que la no conservación de la corriente anómala es proporcional a la derivada total de un operador vectorial (esto no desaparece debido a las configuraciones instantáneas del campo de calibre, que son calibre puro en el infinito), donde la corriente anómala es ${\ Displaystyle G ^ {\ mu \ nu a} {\ tilde {G}} _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ parcial ^ {\ mu} K _ {\ mu}}$${\ Displaystyle K _ {\ mu}}$

${\ Displaystyle K _ {\ mu} = 2 \ epsilon _ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} \ left (A ^ {\ nu a} \ parcial ^ {\ alpha} A ^ {\ beta a} + {\ frac {1} {3}} f ^ {abc} A ^ {\ nu a} A ^ {\ alpha b} A ^ {\ beta c} \ right),}$

que es el dual de Hodge de la forma 3 de Chern-Simons .

Forma geométrica

En el lenguaje de las formas diferenciales , a cualquier forma de curvatura auto-dual podemos asignar la forma 4 abeliana . La teoría de Chern-Weil muestra que esta forma 4 es localmente pero no globalmente exacta, con el potencial dado por la forma 3 de Chern-Simons localmente: ${\ Displaystyle F_ {A}}$${\ Displaystyle \ langle F_ {A} \ wedge F_ {A} \ rangle: = \ operatorname {tr} \ left (F_ {A} \ wedge F_ {A} \ right)}$

${\ Displaystyle d \ mathrm {CS} (A) = \ langle F_ {A} \ wedge F_ {A} \ rangle}$.

Nuevamente, esto es cierto solo en un solo gráfico y es falso para la forma global a menos que el número instanton desaparezca. ${\ Displaystyle \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle}$

Para continuar, adjuntamos un "punto en el infinito" sobre k para ceder , y usamos la construcción de agarre para trazar los haces A principales, con un gráfico en la vecindad de k y un segundo en . El engrosamiento alrededor de k , donde estos gráficos se cruzan, es trivial, por lo que su intersección es esencialmente . Por lo tanto, los instantones se clasifican por el tercer grupo de homotopía , que es simplemente el tercer grupo de 3 esferas . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle S ^ {4}}$${\ Displaystyle S ^ {4} -k}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {3} (A)}$${\ Displaystyle A = \ mathrm {SU (2)} \ cong S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {3} (S ^ {3}) = \ mathbb {N}}$

La divergencia de la corriente del número bariónico es (ignorando las constantes numéricas)

${\ Displaystyle \ mathbf {d} \ star j_ {b} = \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle}$,

y el número instanton es

${\ Displaystyle \ int _ {S ^ {4}} \ langle F _ {\ nabla} \ wedge F _ {\ nabla} \ rangle \ in \ mathbb {N}}$.

Ver también

• Anomalía (física)
• Efecto magnético quiral
• Anomalía global
• Anomalía gravitacional
• Fuerte problema de PC

Referencias

Otras lecturas

Articulos publicados

• Frampton, PH; Kephart, TW (1983). "Evaluación explícita de anomalías en dimensiones superiores". Cartas de revisión física . 50 (18): 1343-1346. Código Bibliográfico : 1983PhRvL..50.1343F . doi : 10.1103 / PhysRevLett.50.1343 .
• Frampton, PH; Kephart, TW (1983). "Análisis de anomalías en dimensiones espaciotemporales superiores". Revisión física . D28 (4): 1010–1023. Código Bibliográfico : 1983PhRvD..28.1010F . doi : 10.1103 / PhysRevD.28.1010 .
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Libros de texto

• Fujikawa, K .; Suzuki, H. (2004). Integrales de ruta y anomalías cuánticas . Prensa de Clarendon . ISBN 978-0-19-852913-2.
• Weinberg, S. (2001). La teoría cuántica de los campos. Volumen II: Aplicaciones modernas . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55002-4.

Preimpresiones

• Yang, J.-F. (2003). "Traza y anomalías quirales en QED y su interpretación de la teoría subyacente". arXiv : hep-ph / 0309311 .