La constante del catalán - Catalan's constant

En matemáticas , la constante $G$ del catalán se define por

{\ Displaystyle G = \ beta (2) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}} - {\ frac {1 } {7 ^ {2}}} + {\ frac {1} {9 ^ {2}}} - \ cdots,}

donde $β$ es la función beta de Dirichlet . Su valor numérico es aproximadamente (secuencia A006752 en la OEIS )

G = 0,915 965594177219015054603514932384110774 \dots

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es irracional la constante del catalán? Si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

No se sabe si $G$ es irracional , y mucho menos trascendental . $G$ ha sido llamado "posiblemente la constante más básica cuya irracionalidad y trascendencia (aunque fuertemente sospechadas) siguen sin ser probadas".

La constante catalana recibió su nombre de Eugène Charles Catalan , quien encontró series rápidamente convergentes para su cálculo y publicó una memoria sobre ella en 1865.

Usos

En topología de baja dimensión , la constante de Catalán es 1/4 del volumen de un octaedro hiperbólico ideal y, por lo tanto, 1/4 del volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead . Es 1/8 del volumen del complemento de los anillos borromeos .

En combinatoria y mecánica estadística , surge en relación con el conteo de fichas de dominó , árboles de expansión y ciclos hamiltonianos de gráficos de cuadrícula .

En teoría de números , la constante del catalán aparece en una fórmula conjeturada para el número asintótico de primos de la forma según la conjetura F de Hardy y Littlewood . Sin embargo, es un problema sin resolver (uno de los problemas de Landau ) si hay incluso infinitos números primos de esta forma. ${\ Displaystyle n ^ {2} +1}$

La constante de Catalán también aparece en el cálculo de la distribución de masa de las galaxias espirales .

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de la constante $G$ del catalán ha aumentado drásticamente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de las computadoras como a las mejoras algorítmicas.

Número de dígitos decimales conocidos de la constante $G$ del catalán
Fecha	Dígitos decimales	Computación realizada por
1832	dieciséis	Thomas Clausen
1858	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864	14	Eugène Charles Catalán
1877	20	Glaisher James WL
1913	32	Glaisher James WL
1990	20 000	Greg J. Fee
1996	50 000	Greg J. Fee
14 de agosto de 1996	100 000	Greg J. Fee y Simon Plouffe
29 de septiembre de 1996	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
4 de enero de 1998	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon y Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon y Pascal Sebah
Octubre de 2006	5 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
Agosto de 2008	10 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
31 de enero de 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee y Raymond Chan
16 de abril de 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee y Raymond Chan
7 de junio de 2015	200 000 001 100	Robert J. Setti
12 de abril de 2016	250 000 000 000	Ron Watkins
16 de febrero de 2019	300 000 000 000	Tizian Hanselmann
29 de marzo de 2019	500 000 000 000	Mike A y Ian Cutress
16 de julio de 2019	600 000 000 100	Seungmin Kim
16 de julio de 2019	600 000 000 100	Robert Reynolds

Identidades integrales

Como escribe Seán Stewart, "hay una fuente rica y aparentemente interminable de integrales definidas que pueden equipararse o expresarse en términos de la constante catalana". Algunas de estas expresiones incluyen:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} G & = - {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ ln \ tan x \ ln \ tan x \, dx \\ [3pt] G & = \ iint _ {[0,1] ^ {2}} \! {\ frac {1} {1 + x ^ {2} y ^ {2}} } \, dx \, dy \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1-x} {\ frac {1} {1-x ^ {2} -y ^ {2}}} \, dy \, dx \\ [3pt] G & = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} \, dt \\ [3pt] G & = - \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {t} {\ sin t \ cos t}} \, dt \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {4 }} \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {t} {\ sin t}} \, dt \\ [3pt ] G & = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln \ cot t \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {\ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln \ tan t \, dt \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi } {2}} \ ln \ left (\ sec t + \ tan t \ right) \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arccos t} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {arcsinh} t} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, dt \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ arctan t} {t {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}}} \, dt \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {arccot} e ^ {t} \, dt \ \ [3pt] G & = {\ frac {1} {4}} \ int _ {0} ^ {{\ pi ^ {2}} / {4}} \ csc {\ sqrt {t}} \, dt \ \ [3pt] G & = {\ frac {1} {16}} \ left (\ pi ^ {2} +4 \ int _ {1} ^ {\ infty} \ operatorname {arccsc} ^ {2} t \, dt \ right) \\ [3pt] G & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t} {\ cosh t}} \, dt \\ [ 3pt] G & = {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (t ^ {4} -6t ^ {2} +1 \ right) \ ln \ ln t} {\ left (1 + t ^ {2} \ right) ^ {3}}} \, dt \\ [3pt] G & = 1 + \ lim _ {\ alpha \ to {1 ^ {- }}} \! \ left \ {\ int _ {0} ^ {\ alpha} \! {\ frac {\ left (1 + 6t ^ {2} + t ^ {4} \ right) \ arctan {t} } {t \ left (1-t ^ {2} \ right) ^ {2}}} \, dt + 2 \ operatorname {artanh} {\ alpha} - {\ frac {\ pi \ alpha} {1- \ alpha ^ {2}}} \ right \} \\ [3pt] G & = 1 - {\ frac {1} {8}} \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} \! \! {\ frac {x \ sin \ left (2xy / \ pi \ right)} {\, \ left (x ^ {2} + \ pi ^ {2} \ right) \ cosh x \ sinh y \,}} \, dx \, dy \\ [3pt] G & = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ sqrt [{4}] {x}} \ left ({\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}} - 1 \ right)} {(x + 1) ^ {2} {\ sqrt [{4}] {y}} (y ​​+ 1) ^ { 2} \ log (xy)}} dxdy \ end {alineado}}}

donde las últimas tres fórmulas están relacionadas con las integrales de Malmsten.

Si $K (k)$ es la integral elíptica completa del primer tipo , en función del módulo elíptico $k$ , entonces

{\ Displaystyle G = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ mathrm {K} (k) \, dk}

Si $E (k)$ es la integral elíptica completa del segundo tipo , en función del módulo elíptico $k$ , entonces

{\ Displaystyle G = - {\ tfrac {1} {2}} + \ int _ {0} ^ {1} \ mathrm {E} (k) \, dk}

Con la función gamma $Γ (x + 1) = x!$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} G & = {\ frac {\ pi} {4}} \ int _ {0} ^ {1} \ Gamma \ left (1 + {\ frac {x} {2}} \ derecha) \ Gamma \ left (1 - {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx \\ & = {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma (1 + y) \ Gamma (1-y) \, dy \ end {alineado}}}

La integral

{\ Displaystyle G = \ operatorname {Ti} _ {2} (1) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan t} {t}} \, dt}

es una función especial conocida, llamada integral tangente inversa , y fue ampliamente estudiada por Srinivasa Ramanujan .

Relación con otras funciones especiales

$G$ aparece en los valores de la segunda función poligamma , también llamada función trigamma , en argumentos fraccionarios:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ psi _ {1} \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) & = \ pi ^ {2} + 8G \\\ psi _ {1} \ izquierda ({\ tfrac {3} {4}} \ right) & = \ pi ^ {2} -8G. \ end {alineado}}}

Simon Plouffe da una colección infinita de identidades entre la función trigamma, $π$ ² y la constante de Catalán; estos se pueden expresar como trayectorias en un gráfico.

Constante de catalán se produce con frecuencia en relación con la función Clausen , la integral tangente inversa , la integral seno inverso , el Barnes $G$ -Función , así como integrales y serie sumable en términos de las funciones antes mencionadas.

Como ejemplo particular, al expresar primero la integral tangente inversa en su forma cerrada, en términos de funciones de Clausen, y luego expresar esas funciones de Clausen en términos de la función $G de$ Barnes , se obtiene la siguiente expresión (ver Función de Clausen para más información) :

{\ Displaystyle G = 4 \ pi \ log \ left ({\ frac {G \ left ({\ frac {3} {8}} \ right) G \ left ({\ frac {7} {8}} \ right )} {G \ left ({\ frac {1} {8}} \ right) G \ left ({\ frac {5} {8}} \ right)}} \ right) +4 \ pi \ log \ left ({\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {3} {8}} \ right)} {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {8}} \ right)}} \ right) + { \ frac {\ pi} {2}} \ log \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {2}}} {2 \ left (2 - {\ sqrt {2}} \ right)}} \ right ).}

Si se define el trascendente de Lerch $Φ (z, s, α)$ (relacionado con la función zeta de Lerch ) por

{\ Displaystyle \ Phi (z, s, \ alpha) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(n + \ alpha) ^ {s}}}, }

luego

{\ displaystyle G = {\ tfrac {1} {4}} \ Phi \ left (-1,2, {\ tfrac {1} {2}} \ right).}

Series que convergen rápidamente

Las siguientes dos fórmulas involucran series que convergen rápidamente y, por lo tanto, son apropiadas para el cálculo numérico:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} G & = 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {4n}}} \ left (- {\ frac {1} { 2 (8n + 2) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2} (8n + 3) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {3} ( 8n + 5) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3} (8n + 6) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 7) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 (8n + 1) ^ {2}}} \ right) - \\ & \ qquad -2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12n}}} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 2) ^ {2}}} + {\ frac {1} { 2 ^ {6} (8n + 3) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {9} (8n + 5) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {10} (8n + 6) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {12} (8n + 7) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3 } (8n + 1) ^ {2}}} \ derecha) \ end {alineado}}}

y

{\ Displaystyle G = {\ frac {\ pi} {8}} \ log \ left (2 + {\ sqrt {3}} \ right) + {\ frac {3} {8}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}.}

Broadhurst, para la primera fórmula, y Ramanujan, para la segunda fórmula, dan los fundamentos teóricos de tales series. Los algoritmos para la evaluación rápida de la constante catalana fueron construidos por E. Karatsuba.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Adamchik, Victor (2002). "Cierta serie asociada a la constante catalana" . Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1–10. doi : 10.4171 / ZAA / 1110 . Señor 1929434 .
Fee, Gregory J. (1990). "Cálculo de la constante de catalán mediante la fórmula de Ramanujan". En Watanabe, Shunro; Nagata, Morio (eds.). Actas del Simposio Internacional sobre Computación Simbólica y Algebraica, ISSAC '90, Tokio, Japón, 20-24 de agosto de 1990 . ACM. págs. 157–160. doi : 10.1145 / 96877.96917 . ISBN 0201548925. S2CID 1949187 .
Bradley, David M. (1999). "Una clase de fórmulas de aceleración de series para la constante catalana". El diario Ramanujan . 3 (2): 159-173. arXiv : 0706.0356 . doi : 10.1023 / A: 1006945407723 . Señor 1703281 . S2CID 5111792 .
Bradley, David M. (2007). "Una clase de fórmulas de aceleración de series para la constante catalana". El diario Ramanujan . 3 (2): 159-173. arXiv : 0706.0356 . Código Bibliográfico : 2007arXiv0706.0356B . doi : 10.1023 / A: 1006945407723 . S2CID 5111792 .

enlaces externos

Adamchik, Víctor. "33 representaciones para la constante catalana" . Archivado desde el original el 7 de agosto de 2016.
Plouffe, Simon (1993). "Algunas identidades (III) con el catalán" . Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. (Proporciona más de cien identidades diferentes).
Plouffe, Simon (1999). "Algunas identidades con constante catalán y Pi ^ 2" . Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. (Proporciona una interpretación gráfica de las relaciones)
Tarifa, Greg (1996). "La constante del catalán (fórmula de Ramanujan)" . (Proporciona los primeros 300.000 dígitos de la constante de catalán)
Bradley, David M. (2001). Representaciones de la constante catalana . CiteSeerX 10.1.1.26.1879 .
Johansson, Fredrik. "0,915965594177219015054603514932" . Ordner, un catálogo de números reales en Fungrim .
"La constante del catalán" . YouTube . ¡Aprendamos, Nemo !. 10 de agosto de 2020.
Weisstein, Eric W. "La constante del catalán" . MathWorld .
"Constante catalana: Representaciones en serie" . Sitio de Wolfram Functions.
"Constante catalana" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].

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