Conjetura de Cartan-Hadamard - Cartan–Hadamard conjecture
En matemáticas, la conjetura de Cartan-Hadamard es un problema fundamental en la geometría de Riemann y la teoría de la medida geométrica que establece que la desigualdad isoperimétrica clásica puede generalizarse a espacios de curvatura seccional no positiva , conocidos como variedades de Cartan-Hadamard . La conjetura, que lleva el nombre de los matemáticos franceses Élie Cartan y Jacques Hadamard , se remonta al trabajo de André Weil en 1926.
De manera informal, la conjetura establece que la curvatura negativa permite que las regiones con un perímetro determinado tengan más volumen. Este fenómeno se manifiesta en la naturaleza a través de las ondulaciones de los arrecifes de coral o las ondulaciones de una flor de petunia , que forman algunos de los ejemplos más simples de espacios con curvas no positivas.
Historia
La conjetura, en todas las dimensiones, fue formulada explícitamente por primera vez en 1976 por Thierry Aubin , y unos años más tarde por Misha Gromov , Yuri Burago y Viktor Zalgaller . En la dimensión 2 este hecho ya había sido establecido en 1926 por André Weil y redescubierto en 1933 por Beckenbach y Rado . En las dimensiones 3 y 4, la conjetura fue probada por Bruce Kleiner en 1992 y Chris Croke en 1984, respectivamente.
Según Marcel Berger , Weil, que era estudiante de Hadamard en ese momento, se vio impulsado a trabajar en este problema debido a "una pregunta formulada durante o después de un seminario de Hadamard en el Collège de France " por el teórico de probabilidades Paul Lévy .
La prueba de Weil se basa en mapas conformes y análisis armónicos , la prueba de Croke se basa en una desigualdad de Santaló en la geometría integral , mientras que Kleiner adopta un enfoque variacional que reduce el problema a una estimación de la curvatura total .
Forma generalizada
La conjetura tiene una forma más general, a veces denominada "conjetura de Cartan-Hadamard generalizada", que establece que si la curvatura de la variedad M de Cartan-Hadamard ambiental está limitada por arriba por una constante no positiva k, entonces los recintos de perímetro mínimo en M, para cualquier volumen dado, no puede tener un perímetro más pequeño que una esfera que encierra el mismo volumen en el espacio modelo de curvatura constante k.
La conjetura generalizada ha sido establecida solo en la dimensión 2 por Gerrit Bol y en la dimensión 3 por Kleiner. La conjetura generalizada también es válida para regiones de pequeño volumen en todas las dimensiones, como lo demostraron Frank Morgan y David Johnson.
Aplicaciones
Las aplicaciones inmediatas de la conjetura incluyen extensiones de la desigualdad de Sobolev y la desigualdad de Rayleigh-Faber-Krahn a espacios de curvatura no positiva.