Círculos gemelos - Twin circles

Los círculos gemelos (rojo) de un arbelos (gris)

Animación de círculos gemelos para varias posiciones del punto B en el segmento AC

En geometría , los círculos gemelos son dos círculos especiales asociados con un arbelos . Un arbelos está determinado por tres puntos colineales A , B y C , y es la región triangular curvilínea entre los tres semicírculos que tienen AB , BC y AC como sus diámetros. Si el arbelos está dividido en dos regiones más pequeñas por un segmento de línea que pasa por el punto medio de A , B y C , perpendicular a la línea ABC , entonces cada uno de los dos círculos gemelos se encuentra dentro de una de estas dos regiones, tangente a sus dos semicirculares. lados y al segmento de división.

Estos círculos aparecieron por primera vez en el Libro de los Lemas , que mostró (Proposición V) que los dos círculos son congruentes . Thābit ibn Qurra , quien tradujo este libro al árabe, lo atribuyó al matemático griego Arquímedes . Con base en esta afirmación, los círculos gemelos, y varios otros círculos del Arbelos congruentes con ellos, también se han llamado círculos de Arquímedes . Sin embargo, esta atribución ha sido cuestionada por estudios posteriores.

Construcción

Específicamente, dejar , y ser las tres esquinas de las Arbelos, con entre y . Sea el punto donde el semicírculo más grande intercepta la línea perpendicular al punto . El segmento divide los arbelos en dos partes. Los círculos gemelos son los dos círculos inscritos en estas partes, cada tangente a uno de los dos semicírculos más pequeños, al segmento y al semicírculo más grande. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle H}$${\ displaystyle AC}$${\ Displaystyle B}$${\ displaystyle BH}$${\ displaystyle BH}$

Cada uno de los dos círculos está determinado de forma única por sus tres tangencias. Construirlo es un caso especial del Problema de Apolonio .

También se han encontrado enfoques alternativos para construir dos círculos congruentes con los círculos gemelos. Estos círculos también se han llamado círculos de Arquímedes. Incluyen el círculo de Bankoff , los círculos de Schoch y los círculos de Woo .

Propiedades

Deje una y b sea los diámetros de dos semicírculos internos, de modo que el semicírculo exterior tiene un diámetro un  +  b . El diámetro de cada círculo gemelo es entonces

${\ Displaystyle d = {\ frac {ab} {a + b}}.}$

Alternativamente, si el semicírculo exterior tiene un diámetro unitario y los círculos interiores tienen diámetros y , el diámetro de cada círculo gemelo es ${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle 1-s}$

${\ Displaystyle d = s (1-s). \,}$

El círculo más pequeño que encierra ambos círculos gemelos tiene la misma área que los arbelos.

Ver también

• Línea Schoch

Referencias