Transformación blanqueadora - Whitening transformation

Una transformación blanqueadora o transformación esférica es una transformación lineal que transforma un vector de variables aleatorias con una matriz de covarianza conocida en un conjunto de nuevas variables cuya covarianza es la matriz de identidad , lo que significa que no están correlacionadas y cada una tiene varianza 1. La transformación se llama "blanqueamiento" porque cambia el vector de entrada en un vector de ruido blanco .

Varias otras transformaciones están estrechamente relacionadas con el blanqueamiento:

1. la transformada de decorrelación elimina solo las correlaciones pero deja las variaciones intactas,
2. la transformada de estandarización establece las varianzas en 1 pero deja las correlaciones intactas,
3. una transformación de coloración transforma un vector de variables aleatorias blancas en un vector aleatorio con una matriz de covarianza especificada.

Definición

Suponga que es un vector aleatorio (columna) con matriz de covarianza no singular y media . Luego, la transformación con una matriz de blanqueamiento que satisface la condición produce el vector aleatorio blanqueado con covarianza diagonal unitaria. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle Y = WX}$ ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W ^ {\ mathrm {T}} W = \ Sigma ^ {- 1}}$${\ Displaystyle Y}$

Hay infinitas matrices de blanqueamiento posibles que satisfacen la condición anterior. Las opciones comúnmente utilizadas son (blanqueamiento Mahalanobis o ZCA), donde se encuentra la descomposición de Cholesky (blanqueamiento Cholesky), o el sistema propio de (blanqueamiento PCA). ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W = \ Sigma ^ {- 1/2}}$${\ Displaystyle W = L ^ {T}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ Sigma ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$

Las transformaciones de blanqueamiento óptimas se pueden distinguir investigando la covarianza cruzada y la correlación cruzada de y . Por ejemplo, la transformación de blanqueamiento óptima única que logra la máxima correlación de componentes entre el original y el blanqueado se produce mediante la matriz de blanqueamiento, donde se encuentra la matriz de correlación y la matriz de varianza. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle W = P ^ {- 1/2} V ^ {- 1/2}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle V}$

Blanqueamiento de una matriz de datos

El blanqueamiento de una matriz de datos sigue la misma transformación que para las variables aleatorias. Se obtiene una transformada de blanqueamiento empírica estimando la covarianza (por ejemplo, por máxima verosimilitud ) y posteriormente construyendo una matriz de blanqueamiento estimada correspondiente (por ejemplo, por descomposición de Cholesky ).

Implementación de R

Una implementación de varios procedimientos de blanqueamiento en R , incluido el blanqueamiento con ZCA y el blanqueamiento con PCA, pero también con el blanqueamiento con CCA , está disponible en el paquete de "blanqueamiento" R publicado en CRAN .

Ver también

• Decorrelación
• Análisis de componentes principales
• Mínimos cuadrados ponderados
• Correlación canónica

Referencias

enlaces externos

• http://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf
• La transformación blanqueadora ZCA . Apéndice A de aprendizaje de múltiples capas de características a partir de imágenes diminutas por A. Krizhevsky.