Teorema de Vinogradov - Vinogradov's theorem

En teoría de números , el teorema de Vinogradov es un resultado que implica que cualquier entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres números primos . Es una forma más débil de la conjetura débil de Goldbach , lo que implicaría la existencia de tal representación para todos los enteros impares mayores de cinco. Lleva el nombre de Ivan Matveyevich Vinogradov, quien lo probó en la década de 1930. Hardy y Littlewood habían demostrado anteriormente que este resultado se derivaba de la hipótesis generalizada de Riemann, y Vinogradov pudo eliminar esta suposición. El enunciado completo del teorema de Vinogradov da límites asintóticos sobre el número de representaciones de un entero impar como suma de tres primos. La noción de "suficientemente grande" estaba mal definida en el trabajo original de Vinogradov, pero en 2002 se demostró que 10 ¹³⁴⁶ es suficientemente grande. Además, los números hasta 10 ²⁰ se han verificado mediante métodos de fuerza bruta, por lo que solo quedan un número finito de casos para verificar antes de que la conjetura de Goldbach sea probada o refutada.

Declaración del teorema de Vinogradov

Sea A un número real positivo. Luego

${\ Displaystyle r (N) = {1 \ over 2} G (N) N ^ {2} + O \ left (N ^ {2} \ log ^ {- A} N \ right),}$

donde

${\ Displaystyle r (N) = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} = N} \ Lambda (k_ {1}) \ Lambda (k_ {2}) \ Lambda (k_ { 3}),}$

utilizando la función de von Mangoldt , y ${\ Displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle G (N) = \ left (\ prod _ {p \ mid N} \ left (1- {1 \ over {\ left (p-1 \ right)} ^ {2}} \ right) \ right ) \ left (\ prod _ {p \ nmid N} \ left (1+ {1 \ over {\ left (p-1 \ right)} ^ {3}} \ right) \ right).}$

Una consecuencia

Si N es impar, entonces G ( N ) es aproximadamente 1, por lo tanto, para todo N suficientemente grande . Al mostrar que la contribución hecha a r ( N ) por los poderes primos propios es , se ve que ${\ Displaystyle N ^ {2} \ ll r (N)}$${\ Displaystyle O \ left (N ^ {3 \ over 2} \ log ^ {2} N \ right)}$

${\ displaystyle N ^ {2} \ log ^ {- 3} N \ ll \ left ({\ hbox {número de formas en que N se puede escribir como una suma de tres números primos}} \ right).}$

Esto significa en particular que cualquier entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos, mostrando así la conjetura débil de Goldbach para todos los casos excepto para un número finito. En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura débil de Goldbach para todos los casos.

Estrategia de prueba

La demostración del teorema sigue el método del círculo de Hardy-Littlewood . Definir la suma exponencial

${\ Displaystyle S (\ alpha) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ Lambda (n) e (\ alpha n)}$.

Entonces nosotros tenemos

${\ Displaystyle S (\ alpha) ^ {3} = \ sum _ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3} \ leq N} \ Lambda (n_ {1}) \ Lambda (n_ {2} ) \ Lambda (n_ {3}) e (\ alpha (n_ {1} + n_ {2} + n_ {3})) = \ sum _ {n \ leq 3N} {\ tilde {r}} (n) e (\ alpha n)}$,

donde denota el número de representaciones restringidas a los poderes primos . Por eso ${\ Displaystyle {\ tilde {r}}}$${\ Displaystyle \ leq N}$

${\ Displaystyle r (N) = \ int _ {0} ^ {1} S (\ alpha) ^ {3} e (- \ alpha N) \; d \ alpha}$.

Si es un número racional , entonces puede estar dado por la distribución de números primos en clases de residuos módulo . Por lo tanto, usando el teorema de Siegel-Walfisz podemos calcular la contribución de la integral anterior en vecindarios pequeños de puntos racionales con denominador pequeño. El conjunto de números reales cercanos a tales puntos racionales generalmente se conoce como arcos mayores, el complemento forma los arcos menores. Resulta que estos intervalos dominan la integral, por lo tanto, para demostrar el teorema, se debe dar un límite superior para el contenido en los arcos menores. Esta estimación es la parte más difícil de la prueba. ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle {\ frac {p} {q}}}$${\ Displaystyle S (\ alpha)}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle S (\ alpha)}$${\ Displaystyle \ alpha}$

Si asumimos la Hipótesis de Riemann generalizada , el argumento utilizado para los arcos mayores se puede extender a los arcos menores. Esto fue hecho por Hardy y Littlewood en 1923. En 1937 Vinogradov dio un límite superior incondicional para . Su argumento comenzó con una identidad de tamiz simple, los términos resultantes luego se reorganizaron de una manera complicada para obtener alguna cancelación. En 1977, RC Vaughan encontró un argumento mucho más simple, basado en lo que más tarde se conoció como la identidad de Vaughan . Demostró que si , entonces ${\ Displaystyle | S (\ alpha) |}$${\ Displaystyle | \ alpha - {\ frac {a} {q}} | <{\ frac {1} {q ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle | S (\ alpha) | \ ll \ left ({\ frac {N} {\ sqrt {q}}} + N ^ {4/5} + {\ sqrt {Nq}} \ right) \ log ^ {4} N}$.

Usando el teorema de Siegel-Walfisz podemos tratar con potencias arbitrarias de , usando el teorema de aproximación de Dirichlet que obtenemos en los arcos menores. Por lo tanto, la integral sobre los arcos menores puede estar acotada arriba por ${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle \ log N}$${\ Displaystyle | S (\ alpha) | \ ll {\ frac {N} {\ log ^ {A} N}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {CN} {\ log ^ {A} N}} \ int _ {0} ^ {1} | S (\ alpha) | ^ {2} \; d \ alpha \ ll {\ frac {N ^ {2}} {\ log ^ {A-1} N}}}$,

que da el término de error en el teorema.

Referencias

• Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). El método de las sumas trigonométricas en la teoría de los números . Traducido, revisado y anotado por KF Roth y Anne Davenport. Londres y Nueva York: Interscience. Señor  0062183 .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos. Las bases clásicas . Textos de Posgrado en Matemáticas. 164 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4757-3845-2 . ISBN 0-387-94656-X. Señor  1395371 . Capítulo 8.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Vinogradov" . MathWorld .