Salto de rango variable - Variable-range hopping

El salto de rango variable es un modelo utilizado para describir el transporte de portadores en un semiconductor desordenado o en un sólido amorfo saltando en un rango de temperatura extendido. Tiene una dependencia de la temperatura característica de

${\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {\ beta}}}$

donde es un parámetro que depende del modelo considerado. ${\ Displaystyle \ beta}$

Salto de rango variable Mott

El salto de rango variable de Mott describe la conducción a baja temperatura en sistemas fuertemente desordenados con estados portadores de carga localizados y tiene una dependencia de temperatura característica de

${\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/4}}}$

para conductancia tridimensional (con = 1/4), y se generaliza a dimensiones d${\ Displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1 / (d + 1)}}}$ .

Saltar la conducción a bajas temperaturas es de gran interés debido a los ahorros que la industria de los semiconductores podría lograr si pudiera reemplazar los dispositivos monocristalinos con capas de vidrio.

Derivación

El artículo original de Mott introdujo una suposición simplificadora de que la energía de salto depende inversamente del cubo de la distancia de salto (en el caso tridimensional). Más tarde se demostró que esta suposición era innecesaria, y aquí se sigue esta prueba. En el artículo original, se veía que la probabilidad de salto a una temperatura dada dependía de dos parámetros, R la separación espacial de los sitios y W , su separación de energía. Apsley y Hughes señalaron que en un sistema verdaderamente amorfo, estas variables son aleatorias e independientes y, por lo tanto, se pueden combinar en un solo parámetro, el rango entre dos sitios, que determina la probabilidad de saltar entre ellos. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

Mott mostró que la probabilidad de saltar entre dos estados de separación espacial y separación de energía W tiene la forma: ${\ Displaystyle \ textstyle R}$

${\ Displaystyle P \ sim \ exp \ left [-2 \ alpha R - {\ frac {W} {kT}} \ right]}$

donde α ⁻¹ es la longitud de atenuación para una función de onda localizada similar al hidrógeno. Esto supone que saltar a un estado con mayor energía es el proceso de limitación de velocidad.

Ahora definimos , el rango entre dos estados, entonces . Los estados pueden considerarse como puntos en una matriz aleatoria de cuatro dimensiones (tres coordenadas espaciales y una coordenada de energía), con la "distancia" entre ellos dada por el rango . ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}} = 2 \ alpha R + W / kT}$${\ Displaystyle \ textstyle P \ sim \ exp (- {\ mathcal {R}})}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

La conducción es el resultado de muchas series de saltos a través de esta matriz de cuatro dimensiones y, dado que se favorecen los saltos de corto alcance, es la "distancia" promedio del vecino más cercano entre estados la que determina la conductividad general. Por tanto, la conductividad tiene la forma

${\ Displaystyle \ sigma \ sim \ exp (- {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn})}$

donde es el rango promedio del vecino más cercano. Por tanto, el problema es calcular esta cantidad. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn}}$

El primer paso es obtener el número total de estados dentro de un rango de algún estado inicial en el nivel de Fermi. Para dimensiones d , y bajo supuestos particulares, esto resulta ser ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}}) = K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}}$

donde . Las suposiciones particulares son simplemente que es mucho menor que el ancho de banda y cómodamente más grande que el espaciado interatómico. ${\ Displaystyle \ textstyle K = {\ frac {N \ pi kT} {3 \ times 2 ^ {d} \ alpha ^ {d}}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn}}$

Entonces, la probabilidad de que un estado con rango sea ​​el vecino más cercano en el espacio de cuatro dimensiones (o en general el espacio ( d +1) -dimensional) es ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {R}}}$

${\ Displaystyle P_ {nn} ({\ mathcal {R}}) = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})} {\ parcial {\ mathcal {R}} }} \ exp [- {\ mathcal {N}} ({\ mathcal {R}})]}$

la distribución del vecino más cercano.

Para el caso d- dimensional entonces

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn} = \ int _ {0} ^ {\ infty} (d + 1) K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1} \ exp (-K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}) d {\ mathcal {R}}}$ .

Esto se puede evaluar haciendo una simple sustitución de en la función gamma , ${\ Displaystyle \ textstyle t = K {\ mathcal {R}} ^ {d + 1}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}$

Después de un poco de álgebra, esto da

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {R}}} _ {nn} = {\ frac {\ Gamma ({\ frac {d + 2} {d + 1}})} {K ^ {\ frac {1 } {d + 1}}}}}$

y de ahí que

${\ Displaystyle \ sigma \ propto \ exp \ left (-T ^ {- {\ frac {1} {d + 1}}} \ right)}$ .

Densidad de estados no constante

Cuando la densidad de estados no es constante (ley de potencia impar N (E)), la conductividad de Mott también se recupera, como se muestra en este artículo .

Salto de rango variable Efros – Shklovskii

El salto de rango variable de Efros-Shklovskii (ES) es un modelo de conducción que explica la brecha de Coulomb , un pequeño salto en la densidad de estados cerca del nivel de Fermi debido a interacciones entre electrones localizados. Lleva el nombre de Alexei L. Efros y Boris Shklovskii, quienes lo propusieron en 1975.

La consideración de la brecha de Coulomb cambia la dependencia de la temperatura a

${\ Displaystyle \ sigma = \ sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/2}}}$

para todas las dimensiones (es decir, = 1/2). ${\ Displaystyle \ beta}$

Ver también

• Borde de movilidad

Notas