Error de truncamiento - Truncation error

En el análisis numérico y la computación científica , el error de truncamiento es el error causado por la aproximación de un proceso matemático. Tomemos tres ejemplos para que los mitos que rodean la definición de error de truncamiento puedan descartarse.

Ejemplo 1:

Una serie sumatoria para viene dada por una serie infinita como ${\ Displaystyle e ^ {x}}$

${\ Displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + .....}$

En realidad, solo podemos usar un número finito de estos términos, ya que se necesitaría una cantidad infinita de tiempo computacional para usarlos todos. Así que supongamos que usamos solo tres términos de la serie, luego

${\ Displaystyle e ^ {x} \ approx 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}}}$

En este caso, el error de truncamiento es ${\ Displaystyle {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + .....}$

Ejemplo A:

Dada la siguiente serie infinita, calcule el error de truncamiento para x = 0,75 si solo se utilizan los primeros tres términos de la serie.

${\ Displaystyle S = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ ldots, \ \ \ \ \ left | x \ right | <1.}$

Solución

Usar solo los primeros tres términos de la serie da

${\ Displaystyle S_ {3} = \ left (1 + x + x ^ {2} \ right) _ {x = 0,75}}$

${\ displaystyle = 1 + 0,75 + {0,75} ^ {2}}$

${\ displaystyle = 1 + 0,75 + \ left (0,75 \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle = 2.3125}$

La suma de una serie geométrica infinita

${\ Displaystyle S = a + ar + {ar} ^ {2} + {ar} ^ {3} + \ ldots, \ r <1}$

es dado por

${\ Displaystyle S = {\ frac {a} {1-r}}}$

Para nuestra serie, a = 1 yr = 0,75, para dar

${\ Displaystyle S = {\ frac {1} {1-0,75}} = 4}$

Por tanto, el error de truncamiento es

${\ displaystyle TE = 4-2,3125 = 1,6875}$

Ejemplo 2:

La definición de la primera derivada exacta de la función viene dada por

${\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

Sin embargo, si estamos calculando la derivada numéricamente, tiene que ser finita. El error causado por elegir ser finito es un error de truncamiento en el proceso matemático de diferenciación. ${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle h}$

Ejemplo A:

Encuentre el truncamiento al calcular la primera derivada de at usando un tamaño de paso de ${\ Displaystyle f (x) = 5x ^ {3}}$${\ Displaystyle x = 7}$${\ Displaystyle h = 0,25}$

Solución:

La primera derivada de es ${\ Displaystyle f (x) = 5x ^ {3}}$

${\ Displaystyle f '(x) = 15x ^ {2}}$ ,

y en , ${\ Displaystyle x = 7}$

${\ Displaystyle f '(7) = 735}$ .

El valor aproximado viene dado por

${\ displaystyle f '(7) = {\ frac {f (7 + 0.25) -f (7)} {0.25}} = 761.5625}$

Por tanto, el error de truncamiento es

${\ displaystyle TE = 735-761.5625 = -26.5625}$

Ejemplo 3:

La definición de la integral exacta de una función de a se da como sigue. ${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

Sea una función definida en un intervalo cerrado de los números reales , y ${\ Displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle P = \ left \ {[x_ {0}, x_ {1}], [x_ {1}, x_ {2}], \ dots, [x_ {n-1}, x_ {n}] \ " derecho\}}$ ,

ser una partición de yo , donde

${\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x_ {n} = b}$ .

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}) \, \ Delta x_ {i} }$

dónde

${\ Displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i} -x_ {i-1}}$ y

${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}) \, \ Delta x_ {i} }$

dónde

${\ Displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i} -x_ {i-1}}$ y

${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]}$

Esto implica que estamos encontrando el área bajo la curva usando infinitos rectángulos. Sin embargo, si estamos calculando la integral numéricamente, solo podemos usar un número finito de rectángulos. El error causado por elegir un número finito de rectángulos en lugar de un número infinito de ellos es un error de truncamiento en el proceso matemático de integración.

Ejemplo A.

Para la integral

${\ Displaystyle \ int _ {3} ^ {9} x ^ {2} {dx}}$

Encuentre el error de truncamiento si se usa una suma de Reimann de dos segmentos a la izquierda con el mismo ancho de segmentos.

Solución

Tenemos el valor exacto como

${\ Displaystyle \ int _ {3} ^ {9} {x ^ {2} {dx}} = \ left \ lbrack {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ right \ rbrack _ {3} ^ {9}}$

${\ displaystyle = \ left \ lbrack {\ frac {9 ^ {3} -3 ^ {3}} {3}} \ right \ rbrack}$

${\ displaystyle = 234}$

Usando dos rectángulos de igual ancho para aproximar el área (ver Figura 2) debajo de la curva, el valor aproximado de la integral

${\ Displaystyle \ int _ {3} ^ {9} {x ^ {2} {dx}} \ approx \ left. \ (x ^ {2}) \ right | _ {x = 3} (6-3) + \ izquierda. \ (x ^ {2}) \ derecha | _ {x = 6} (9-6)}$

${\ displaystyle = (3 ^ {2}) 3+ (6 ^ {2}) 3}$

${\ Displaystyle = 27 + 108}$

${\ displaystyle = 135}$

Error de truncamiento = Valor exacto Valor aproximado ${\ Displaystyle -}$

${\ displaystyle = 234}$ ${\ Displaystyle -}$ ${\ displaystyle 135}$

${\ displaystyle = 99.}$

Ocasionalmente, por error, el error de redondeo (la consecuencia de utilizar números de coma flotante de precisión finita en las computadoras) también se denomina error de truncamiento, especialmente si el número se redondea mediante un corte. Ese no es el uso correcto de "error de truncamiento"; llamarlo truncar un número puede ser aceptable, pero entonces ¿por qué crear confusión?

Ver también

• Error de cuantificación

Referencias

• Atkinson, Kendall E. (1989), Introducción al análisis numérico (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , p. 20, ISBN   978-0-471-50023-0
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introducción al análisis numérico (3ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 1, ISBN   978-0-387-95452-3 .